我们来聚焦刚刚过去的2025年四川绵阳中考数学压轴题。这份试卷的压轴部分，延续了绵阳中考一贯的“重思维、重能力、重综合”的风格，题目设计巧妙，层次分明，对学生的几何直观、逻辑推理、代数运算及综合转化能力提出了较高要求。下面，让我们一同来深入剖析这三道经典压轴题的解题思路与核心要点。
可以先下载题目练习一下：2025年四川绵阳中考压轴题.docx
18题：如图，在四边形中，，，，，点在四边形内，，于点。将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为。
答案：
方法点拨
本题是一道融合了平行线、翻折（轴对称）、全等与相似三角形、正方形判定、三角函数的综合几何题。解题的关键在于通过添加辅助线，将分散的条件整合，并识别出隐藏在题目中的“半角模型”结构。
“补形”构造背景图形：看到 和 ，首要思路是过点 作 的垂线 ，将原四边形补成一个我们熟悉的图形——矩形。这是打开局面的第一步。 “45度”触发“半角模型”思维：题目给出 ，这是一个强烈信号。在几何中，45度角常常与“半角模型”相关联，即它往往是某个角的一半。我们需要主动寻找或构造这个“倍角”（）。在这里，构造出的恰好是。射线在内部，这个条件，与翻折（）相结合，可以推导出。这一步是证明后续全等的核心，也是“半角模型”思维（利用特殊角推导等角关系）的典型应用。 利用翻折性质转化条件：“翻折后点 与 重合”直接给出了等线段（）和等角，并暗示了对称轴 的特殊性。结合上一步得到的等角，可证明关键的全等三角形（），从而得到 ，最终证明我们补出的矩形实际上是正方形。正方形的确定为后续的所有计算建立了清晰、对称的坐标系。 转化所求距离：直接求点到直线的距离较难。通过观察，过点 作，可证（因和均垂直于）。因此，点到直线的距离即转化为线段的长度，问题简化为在和中计算与的差。
思考主线：作垂线补形 → 利用 及翻折证等角（半角模型思想） → 证全等得正方形 → 在正方形框架下利用相似与三角比计算长度。
解题过程
添加辅助线，构造正方形：
过点 作 ，交 延长线于 。 ，，，四边形 是矩形。 由翻折知：，。 ，即 。 在矩形 中，，。 又 ，（关键推导，体现“半角”关系）。 在 和 中，，，，（AAS）。 。故矩形 是边长为 的正方形。。 计算相关线段长度：
在 中，，，。 ，。 ，即 ，解得 。 求解目标距离：
过点 作于。可证（同垂直于），故点到直线的距离等于的长度。 （等角的余角相等），。 在 中，。 。
综上，点 到直线 的距离为 。
23题
【题目】如图，点在上，连接并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为，与交于点，连接，，垂足为点，。
(1) 求证：平分 ； (2) 设 ，求 的值； (3) 求 的值。
答案：(1) 证明见解题过程 (2) (3)
方法点拨
本题是一道经典的圆的综合题，三问设计由易到难，层层递进，全面考查了圆的切线性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、相似三角形、勾股定理以及锐角三角函数等核心知识。
切线性质是基石：题目明确是切线，切点为。这立刻应联想到两个核心性质：
切线垂直于过切点的半径：即 。这是后续所有垂直和平行关系的起点。 切线长定理（虽未直接使用，但提供了思路背景）。 (1)问的突破：要证平分，即证。由和，可直接推出，从而得到内错角。再结合（半径）得到的等腰三角形等角，通过等量代换即可得证。此问是“送分”但“定调”的关键一步，确立了图形中的基本平行与等角关系。
(2)问的破题关键：此问是第一个计算难点。关键在于利用已知线段()求出圆的半径。
半径求解：连接。由，可得。在中，应用勾股定理：，从而解出半径。 设未知数列方程：由，设，则，。由此可用表示。 寻找第二个方程：利用(1)中证得的，可得。通过相似比，结合，可以将用表示出来。 终极方程：在中，对应用勾股定理，将上面用表示的各线段代入，即可得到一个关于的方程，解之可得的值。此问综合了方程思想与相似三角形，是典型的代数与几何结合问题。 (3)问的模型转化：此问是思维难度的高峰。直接求困难，需进行转化。
圆周角与圆心角转化：观察，其顶点在圆上，所对弧为。连接，根据圆周角定理，有**圆心角**。因此，求转化为求。 构造角平分线：作的角平分线，交于。则。于是，。 利用全等与勾股定理解：由平分，，可证，从而，且。在中，，，由勾股定理可列出方程求出。最后在中，利用和求得的，即可求出，从而得到。此问的核心技巧在于“将圆周角转化为圆心角，再通过角平分线将倍角问题转化为单角问题”，是几何中处理倍角三角函数的经典方法。
思考主线：**(1)切线性质→平行→等角→角平分线 → (2)勾股定理求半径→相似三角形建方程→勾股定理解方程 → (3)圆周角定理转化倍角→构造角平分线化归→全等与勾股定理计算。**
三、解题过程
(1) 证明平分连接。 ∵是的切线，为切点， ∴。 又∵， ∴。 ∴（两直线平行，内错角相等）。 ∵（半径）， ∴（等边对等角）。 ∴。 即平分。
(2) 求的值连接。 由(1)知。设半径为，则。 ∴ 。 在中，由勾股定理得：解得：。 ∴ 。
∵ ，设，则。 ∴ ，即。
由(1)中，易证。 ∴ 。 又， ∴ ，解得：。
在中，由勾股定理得：代入,,：令，则解得：，取正值。 ∴，解得：。
(3) 求的值由圆周角定理，。 过点作平分，交于点，连接。 则。
在和中， ，，， ∴ 。 ∴ ，且。
在中，，。 由勾股定理：，即。 解得：。
在中，，， ∴ 。 ∴ 。
综上，，。
核心总结：本题是一道优秀的圆的综合题范本。第一问奠定基础（切线→平行→等角），第二问搭建桥梁（勾股、相似、方程思想），第三问升华思维（圆周角转化、倍角处理、构造与计算），三问环环相扣，全面考查了学生的逻辑推理和综合运算能力。其中，第三问通过构造角平分线将“求圆周角的余弦”转化为“求圆心角一半的余弦”，是解决此类问题的经典思路。
24题
【原题】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过三点，顶点为。
(1) 求抛物线的解析式及点的坐标；(2) 点在直线上运动，当的周长最小时，求点的坐标；(3) 探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由。
答案：(1) ，，(2) (3) 能，此时矩形在边上的顶点的坐标为，或 。
方法点拨
本题是典型的二次函数与几何动态综合压轴题，其难度在于将待定系数法、轴对称最值（将军饮马）、直角三角形判定、函数建模与最值、分类讨论等核心考点深度融合，对学生的综合思维能力要求极高。
（1）问：基础奠基。这是常规的解析几何起点，通过直线与坐标轴的交点求出坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，再通过因式分解求点坐标，通过配方法求顶点坐标。此问是后续所有问题的基础，务必计算准确。
（2）问：轴对称最值（“将军饮马”模型的升级）。这是本题的第一个难点。求周长的最小值，由于是定长，问题转化为求的最小值。关键在于发现是直角三角形（通过勾股定理逆定理验证）。由可知，直线是线段的垂直平分线的一部分。利用此特性，构造点关于直线的对称点会异常简单：只需将延长，使即可，因为和关于对称。这样，的最小值就转化为的最小值，即当三点共线时取得。此问的关键在于敏锐地发现并利用的几何特性，将复杂的轴对称作图转化为简单的线段延长。
（3）问：动态几何与函数最值的综合探究。这是本题的巅峰，考察分类讨论思想和建立函数模型求最值的能力。要在直角三角形内部截出面积最大的矩形，矩形的位置有多种可能。题目中“顶点在各边上”是一个关键描述，意味着矩形的每个顶点都必须落在三角形的边上，但没有限定哪个顶点在哪条边上，这就产生了两种主要的构图情况： 情况一：矩形的两个顶点在斜边上，另两个顶点分别在两直角边和上。这是最常见的内接矩形模型。 情况二：矩形的一个顶点与直角顶点重合，此时一组对边分别落在和上，另一组对边中的一个顶点在上，另一个在另一条直角边上。 对于每一种情况，都需要设出矩形的某一关键边长（如或）为自变量，然后利用相似三角形的性质，将矩形的另一边长也用表示出来，从而建立矩形面积关于的二次函数关系式。最后利用二次函数的性质求出面积最大值及取得最大值时的值，进而反推出矩形在边上的顶点坐标。此问的难点不仅在于建模计算，更在于全面、不重不漏地考虑到所有可能取得最大面积的矩形情况。
思考主线：（1）求解析式奠定基础 → （2）利用垂直关系简化对称，转化为“两点之间线段最短” → （3）分类讨论构图，利用相似三角形建立面积函数模型，分别求最值并比较。
三、解题过程（简化）
(1) 求抛物线解析式及点坐标
由，令得；令得。 将代入得： 解得：。 ∴ 抛物线解析式为：。 令，得，解得。 ∴ 。 将解析式化为顶点式：。 ∴ 顶点。
(2) 求使周长最小的点坐标
由，计算得。 ∵ ， ∴ ，即。
延长至点，使，连接交直线于点。
由于是线段的垂直平分线，故点与关于直线对称。此时，，的周长。为定值，当三点共线时，最小，即周长最小。
易求（利用是的中位线，轴）。
求得直线的解析式为：。
联立直线与直线()： 解得：，代入得。 ∴ 点坐标为。
(3) 探究能否截出面积最大的矩形能。需分两种情况讨论：
情况一：矩形有两个顶点在上（设为），另两个顶点分别在()、()上。设。
由，得，即，解得。 矩形面积。 化为顶点式：。 ∵ ，当时，取得最大值。 此时，，即，且，故为中点，同理为中点。
情况二：矩形的一个顶点与重合（设与重合），在上，在上，在上。设。
由，得，即，解得。 矩形面积。 化为顶点式：。 当时，取得最大值。 此时，，即为中点。由是的中位线，得为中点。
结论：在内部能截出面积最大的矩形，最大面积为。此时，矩形在边上的顶点坐标为和（对应情况一），或（对应情况二）。
核心总结：本题是二次函数压轴题的典范。（1）问是基础送分；（2）问是“将军饮马”模型的灵活变式，关键在于发现并利用直角条件简化对称点的构造；（3）问则是动态几何与函数最值问题的深度结合，全面考查了学生的分类讨论意识、建模能力（利用相似建立函数关系）以及利用二次函数性质求最值的能力。它要求学生不仅会算，更要有清晰的构图想象力和严谨的数学思维。
