2025年中考上海市
黄浦区二模数学第25题
已知，在△ABC中，AC=5, AB=7,
cosA =3/5, D是边AB上一动点，联结
CD，点O在线段CD上，且CO/OD=4/5，
以点为O圆心，CO为半径作⊙O，
交边AC于点 E .
(1）当点D与点A重合时，判断⊙O与
边AB的位置关系并明理由；
(2）已知点F在⊙O上，且弧CE=弧CF,
EF与边BC交于点H，当EF经过圆心O时
(如图1)，求EH/EF的值；
图1
(3）过点D作DP//AC，交边BC于点P，
当⊙O与线段DP只有一个交点时，
求BD的取值范围．
【解析】(1)⊙O与边 AB 相切，
过点O作OG⊥AB，垂足为点G，
∵AC=5，
CO/OD=4/5，
∴OC=20/9,
OA=25/9，
∵cosA=3/5,
∴sinA=4/5,
∴OG=OA·sinA
=20/9，
∴OG=OC,
∴⊙O与边 AB 相切；
(2）方法1：过点C作CM⊥AB，
垂足为点M ，
∵AC=5,cosA=3/5,
∴AM=3，CM=4.
∵AB=7,
∴BM=4,
∴∠B=45°,
BC=4√2，
∵弧CE=弧CF ,
CD 过圆心O,.
∴CO⊥EF ，
∵CO=EO ,
∴∠CEH=45°,
∴∠CEH=∠B ，
又∵∠ECH=∠ECH ,
∴△CEH∽△CBA
∴ EH/AB=CE/CB，
∴EH=7CE/(4√2)
=7EO/4，
∵EF=2EO,
∴EH/EF=7/8；
方法2：过点C作CM⊥AB，
垂足为点M，
∵AC=5, cosA=3/5 ,
∴AM =3，CM=4，
∵AB=7,
∴BM=4,
∴∠MCB =45°，
∵弧CE=弧CF ,
CD过圆心O，
∴CO⊥EF ，
∵CO=EO ,
∴∠ECO=45°,
∴∠CMF=∠OCH ，
又∵∠COF=∠AMC，
∴△COH∽△CMA ，
∴ OH/AM=OC/CM ,
∴OH=3/4OC,
∴EH=7/4OC,
∵EF=2CO，
∴ EH/EF=7/8；
(3）设 BD = x .
当⊙O与线段DP相切时，
切点记为点N，联结ON，
∴ON⊥DP , ON=CO ,
∵CO/OD=4/5，
∴sin∠ODN=ON/OD=4/5，
∵DP//AC ,
∴∠ACD=∠ODN ,
∴ sin∠ACD=4/5，
又∵ sin∠A4/5，
∴∠ACD=∠A ，
∴CD=AD，
∵CM⊥AB，CM=4，
∴CD=√[4²+(4-x)²]，
又∵AD=7-x,
∴ √[4²+(4-x)²]=7-x,
解得 x=17/6，
当点P在⊙O上时，
分别过点O，D作
QQ⊥CB , DR⊥BC ，
垂足为点Q，R ，
∴CQ=PQ ,
∵DP//AC ,
∴CP/BC=AD/AB，
∴CP=4√2(7-x)/7 ,
CQ=2√2-2√2x/7，
∵DR⊥BC，∠B=45°,
∴BR=√2x/2 ,
∴CR =4√2-√2x/2，
∵CO/OD=4/5，
又 OQ//DR ,
∴ CO/OD=CQ/CR=4/9，
∴(2√2-2√2x/7)/(4√2-√2x/2)=4/9，
∴x=7/2，
∴当7/2< BD<7时，
点P在⊙O 内，⊙O与线段DP只有
一个交点，
综上所述，
当 BD=17/6
或 7/2<BD<7时，
⊙O与线段DP只有一个交点．
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