第十六届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

一、(本题30分，每小题6分)

(1)

(2) 设  ，函数

在点  处连续，则 

(3) 设数列  满足  ，且点  都在直线  上，则

(4) 设函数  ，则

(5) 函数  满足条件  的最大值为 

二、(本题10分)

假设函数  满足  且对  ，有 证明：  存在，且不大于 

解答. 对于  ，因为  ，所以  是单调递增的函数.当  时， 

所以  由于  单调递增且有上界，所以极限存在，且 

三、(本题12分)

设

证明：  ，并求该积分的值.

解答. 作变换  得

注意到

于是

而

所以

四、(本题12分)

求微分方程  的通解.

法1： 原方程变形为  从而，  令  则  令  则  代入方程，得  积分得  于是，  即  积分得 

所以通解为

其中  是任意常数.

法2： 原方程变形为  从而，  令  则  上述方程为二阶常系数齐次线性方程，其通解为 ，其中  是任意常数.将  带入上式可得原方程的通解为

五、(本题12分)

讨论级数

当  时的敛散性.

解答. 当  时，级数是交错级数：

根据Leibniz判别法，可知该级数收敛.又级数  发散，所以  时级数条件收敛.

当  时，对级数加括号，

这是由发散级数  与收敛级数  逐项相减得到的级数，因而发散，所以原级数发散.

综上所述，所给级数当  时条件收敛，当  时发散.

六、(本题12分)

设  为  阶实正定矩阵，  为矩阵  的迹.证明： (1) ； (2) 

证明. (1) 由  可得

而  ，所以只需证明  即可.因为  为正定矩阵，所以存在可逆矩阵  ，使得 .

于是，

所以 .

(2) 由 ，类似(1)的证明，只需证 . 而  为正定阵，所以由(1)的证明过程可知， . 类似地，亦有 . 所以 .

七、(本题12分)

设  是  上的二阶可导的奇函数，证明：存在  ，使得

证明. 因为  为奇函数，所以  ，且  为偶函数. 记  ，考虑  ，则  在  上可导，  ，且 . 对  在  上利用Rolle定理，存在  ，使得  ，即 . 注意到  为偶函数，所以 .

设  ，则

且 

对  在  上利用Rolle定理，存在  ，使得 ，即

八、(本题12分)

设数列  满足  ，其中  且  .

(1) 利用变换  求数列  的通项表达式；

(2) 令  ，判断级数  的收敛性.

证明. (1) 由  可得

由变换  可得 

以及

所以

因此，

(2) 由(1)的结论可得 

由于

故 . 因此当  时，级数  收敛；当  时，级数  发散.