(65)2025年安徽省中考
芜湖市一模数学第23题
已知抛物线
y=x²+bx+c (b, c为常数，b<0)，
与x 轴交于点A(-2，0)与点B(2-b，0)，
与 y 轴相交于点C ，顶点为P .
(1）求C点的坐标(用含b的式子表示);
(2）连接BC，若5√5AB=7BC，
求b的值；
(3）若点M在抛物线上，设点M的横坐标
为m，满足﹣b/2<m<﹣c/2，且MP//BC，
过点M作MN⊥ x 轴，垂足为N，
当MN=5时，求此时b和m的值．
【解析】(1）由题意，设抛物线的
解析式为
y=(x +2)[x-(2-b)]
=x²+ bx +2b-4,
令 x=0，
则 y=2b-4，
∴点C(0，2b-4)，
(2）由⑴可知
BC=√[(2b-4)²+(2-b)²]
=√5(2-b).
由A(-2，0), B(2-b，0)，
可得 AB=2-b-(-2)=4-b，
∵5√5AB=7BC,
∴5√5(4-b)=7√5(2-b)，
解得 b =-3，
(3）由⑴可知，抛物线的解析式为
y =x²+ bx +2b-4
则点M(m，m²+bm+2b-4)，
其中﹣b/2<m<-c/2,
∵y=x²+bx+2b-4
=(x+b/2)²-b²/4+2b-4，
∴顶点P的坐标为
(-b/2，-b²/4+2b-4)，
对称轴方程为
x=-b/2，
∵﹣b/2＜m＜-c/2,
图1
如图1，过点M作MQ⊥l于点Q ，
则∠BOC=∠MOP=90°，
延长PM，交x轴于点H,
∵MP//BC ,
QM//x ,
∴∠QMP=∠OHP，
∠OBC=∠OHP，
∴∠QMP=∠OBC ,
∴△OBC∽△QMP ,
∴QP/QM=OC/OB
=(4-2b)/(2-b)
=2，
∴QP=2QM，
∴m²+bm+2b-4-(-b²/4+2b-4)
=2(m+b/2)，
即 (b+2m)²=4(b+2m)，
∵-b/2<m<-c/2，
∴解得 b=4-2m①.
∵MN⊥x轴，
且 MN=5,
∴yM=-5.
∴m²+bm+2b-4=-5②
联立①②，得方程组
b=4-2m，
m²+bm+2b-4=-5，
解得 b=-2, m =3 .
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