(64)205年辽宁省中考
抚顺市一模数学第23题
定义：在平面直角坐标系中，如果一个点
的横坐标与纵坐标绝对值相等，则称该点
为"绝值点"，例如(1，-1)，(-1，1)，(1，1)，(-1，-1)都是"绝值点"．若某函
数图象上只存在两个"绝值点"，则称该函
数为"绝值函数"．例如y=2x-1的图象上
存在(1，1)，(1/3，-1/3)两个"绝值点",
则称函数y=2x-1为"绝值函数".
(1）求反比例函数y=4/x图象上的"绝值
点"的坐标；
(2）判断二次函数y=x²-4x+4是不是"绝值
函数"，请说明理由；
(3)"绝值函数" y=x²+bx+2的"绝值点"分别
是点 A , B （点 A 在点 B 的左侧），与Y
轴交于点C ，当△ABC的面积为1时，
求b的值．
【解析】(1）由"绝值点"的定义得，
反比例函数
y=4/x
图象上的横坐标与纵坐标绝对值相等，
即 |y|=|x|,
∴y=x 或 y=-x ，
∴ x²=4①，
或 ﹣x²=4②,
由①解得 x₁=2,
x₂=-2，
②无解，
∴反比例函数
y=4/x
图象上"绝值点"的坐标为
（2，2)，(-2，-2)，
(2） y=x²-4x+4是"绝值函数",
∵ 二次函数
y=x²-4x+4
图象上的横坐标与纵坐标绝对值相等，
当 y=x 时，
得 x =x²-4x+4，
即 x²-5x+4=0,
解得 x₁=1,
x₂=4,
得两个"绝值点"分别为
（1，1)，(4，4),
当y=-x时，
得 -x=x²-4x+4，
即 x²-3x+4=0
∵△=(-3)²-4x4
=-7＜0
∴此方程无解
∴二次函数
y=x²-4x+4
的图象上只存在两个"绝值点",
∴二次函数
y=x²-4x+4
是"绝值函数"，
(3）把x=0代入二次函数解析式，
得 y=2
∴C(0，2)，
∴OC=2，
∵二次函数
y=x²+bx+2
为"绝值函数",
①当 y=x时，
得 x=x²+bx+2，
即 x²+(b-1)x+2=0,
∴xA+xB=-(b-1)
=1-b,
xA·xB=2,
∵ S△ABC=S△BCO - S△ACO
=1/2CO|xA-xB|
=1,
∴|xA-xB|=1,
∵(xA-xB)²=(xA+xB)²-4xA·xB，
∴1=(1-b)²-4x2,
解得 b₁=-2,
b₂=4,
检验：当b=-2时，
得 y=x²-2x+2，
当 y=x时，
得 x=x²-2x+2，
即 x²-3x+2=0,
∵△=1>0,
∴方程有两个不相等的实数解；
当 y=-x时，
得 -x=x²-2x+2，
即 x²-x+2=0,
∵△=-7<0,
∴此方程无解；
∴二次函数
y=x²-2x+2
只存在两个"绝值点",
∴二次函数
y=x²-2x+2
为"绝值函数"，
当b=4时，
得 y=x²+4x+2,
当 y=x时，
得 x=x²+4x+2，
即 x²+3x+2=0,
∵△=1>0,
∴方程有两个不相等的实数解，
当 y=-x时，
得 -x=x²+4x+2，
即 x²+5x+2=0,
∵△=17>0,
∴方程有两个不相等的实数解
∴二次函数
y=x²+4x+2
存在四个"绝值点"
∴二次函数
y=x²+4x+2
不是"绝值函数"
∴b₂=4不合题意，故舍去，
∴ b=-2
②当 y=-x时，
同理可求得，b=2，
综上所述，b=-2或b=2 .
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