2025年吉林省中考数学试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意．每小题3分，共18分）
1．（3分）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点A′，则点A′表示的数为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．4
2．（3分）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ）
A．我B．中C．国D．梦
3．（3分）计算（2a2）3的结果为（ ）
A．2a5B．2a6C．8a5D．8a6
4．（3分）不等式x﹣3＞2的解集为（ ）
A．x＞5B．x＜5C．x＞﹣1D．x＜﹣1
5．（3分）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（ ）
A．90°B．120°C．150°D．180°
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（ ）
A．∠B＝∠DCBB．∠BDC＝90°C．DB＝DCD．AD+DC＝BC
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．（3分）因式分解：a2﹣ab＝ ．
8．（3分）计算：
．
9．（3分）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ．
10．（3分）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为 度．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y
的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
三、解答题（本题共11小题，共87分）
12．（6分）先化简，再求值：
，其中a＝2025．
13．（6分）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率．
14．（6分）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．
15．（7分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
16．（7分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
17．（7分）端午节是我国的传统节日．某食品公司为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定：粽子质量为（150±9）克时，其质量等级为合格；粽子质量为（150±3）克时，其质量等级为优秀．共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在相同时间内分别包了220个和200个粽子，质检员小李从甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下信息：
被抽检粽子的质量（单位：克）分布
甲组 | 144 | 146 | 147 | 148 | 150 | 152 | 152 | 152 | 154 | 155 |
乙组 | 146 | 147 | 147 | 150 | 150 | 151 | 153 | 154 | 155 |
被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计
参赛小组 | 平均数 | 众数 |
甲组 | 150 | 152 |
乙组 | 150 | 147 |
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量等级是否为优秀？
（2）此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等级为优秀的个数较多的小组获得奖励．估计甲、乙两个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由．
18．（8分）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表时间：2025年5月29日
项目分析 | 活动目标 | 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度 |
测量工具 | 测角仪、皮尺 | |
灰实施 | 任务一 测量数据 | 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高CD＝1.4m． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°． 3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m． |
任务二 计算实际高度 | 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精项到1m） （参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804） | |
任务三 换算模型高度 | 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打即模型的高度约为cm．（结果精确到1cm） | |
项目结果 | 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据 |
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝3
＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）AC的长为 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
20．（10分）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
21．（10分）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
【探究发现】如图①，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．
【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出
的值；如果不能，说明理由．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由．
（3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标．
（4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
