(56)2025年重庆市中考
忠县一模数学第26题
如图1，在△ABC 中，已知AB=AC，
点D在BC边上，连接AD .
图1
(1）如图1，若AB=3, AD=2,
∠ADC=60°，求线段BD的长度；
图2
(2）如图2，若AD=DE,∠BAC=∠ADE，
证明： AC//BE ;
图3
(3）如图3，若∠BAC=120°, E为△ABC
内一点，且满足AE⊥DE , AE=√3DE，
连接BE并延长交AC于点F ，将△ADB
绕点D逆时针旋转120°至△GDH位置，
连接BG ，证明：BG²=16DE²-CD².
【解答】(1）如图4，作AW⊥BC于W,
图4
在 Rt△ADW中，
∠ADC=60°, AD=2,
∴AW=2sin60°
=2x√3/2
＝√3,
DW=2·cos60°
=2x1/2
=1,
∴BW=√(AB²-AW²)
=√[3²-(√3)²]
=√6,
∴ BD=BW-DW
=√6-1；
(2）∵AB=AC ,
∴∠ABC=∠ACB ,
∵AD=DE ,
∴∠DAE=∠AED ,
∵∠BAC=∠ADE ,
∴∠ABC=∠AED
=∠DAE
=∠ACB ,
∴点A，B，E，D共圆，
∴∠DBE=∠DAE ,
∴∠ACB=∠DBE ,
∴ACH//BE ；
(3）如图5，连接BH，
作AQ⊥BC于点Q,
图5
∵AB=AC , ∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠C=30°,
BQ=CQ = ABcos∠ABC
=√3/2AB ,
∴BC=2BQ=√3AB ,
∵△ADB绕点D逆时针旋转120°
至△GDH ,
∴BD=DH ,∠BDH=120°,
∠DHG=∠ABC=30°,
AB=GH ,
∴∠DHB=∠DBH=30°,
∴∠DHG=∠DHB ,
∴点B，G，H共线，
∴ BG=BH-GH=BH-AB ,
同理可得：
BH=√3BD,
∵BD=BC-CD ,
∴BG=√3(BC-CD)-AB ,
∵BC=√3AB,
∴BG=√3(√3AB-CD)-AB
=2AB-√3CD,
∵AC=AB ,
∴BG=2AC-√3CD.
.BG²=4AC²+3CD²-4√3AC·CD
=4(AC²+CD²-√3AC·CD)-CD²,
在 Rt△ACQ中，
AQ =1/2AC ,
CQ=√3/2AC,
在 Rt△ADQ中，
DQ=CD-CQ
=CD-√3/2AC ,
∴AD²=DQ²+AQ²
=(CD-CQ)²+(1/2AC)²
=(CD-AC)²
=AC²+CD²-√3AC·CD ,
∴BG²=4AD²-CD²,
∵AE⊥DE , AE=√3DE,
∴AD²=AE²+DE²
=(√3DE)²+DE²
=4DE²,
∴BG²=16DE²-CD².
往期文章
