2025年云南省中考数学试卷
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作+10元，则支出5元可记作（ ）
A．﹣5元B．5元C．﹣10元D．10元
2．（2分）地球绕太阳公转的速度约是110000km/h．110000用科学记数法可以表示为（ ）
A．1.1×102B．11×103C．1.1×105D．11×107
3．（2分）如图，已知直线c与直线a，b都相交．若a∥b，∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．53°B．52°C．51°D．50°
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．x+2x＝3x2B．x2•x3＝x5C．x6÷x2＝xD．（xy）2＝xy2
5．（2分）若点（1，2）在反比例函数y
（k为常数，且k≠0）的图象上，则k＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2分）下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A．正方体B．长方体C．圆锥D．圆柱
7．（2分）一个六边形的内角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
8．（2分）如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2分）函数y
的自变量x的取值范围为（ ）
A．x≠4B．x≠3C．x≠2D．x≠1
10．（2分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
11．（2分）某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ）
A．70B．80C．90D．100
12．（2分）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，⋯，第n个代数式是（ ）
A．（2n﹣1）aB．（2n+1）aC．（n+1）aD．2025a
13．（2分）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
14．（2分）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．6000（1+x）2＝6200B．6000（1﹣x）2＝6200
C．6000（1+2x）＝6200D．6000x2＝6200
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16．（2分）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为cm．
17．（2分）分解因式：x2+x＝ ．
18．（2分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 ．
19．（2分）某中学为了解全校1000名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有 名．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20．（7分）计算：（π﹣2）0
|﹣6|
2cos60°．
21．（6分）如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D．
求证：△AOC≌△BOD．
22．（7分）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．
23．（6分）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．
游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为x．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y．若x＝y，则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y，则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB．连接AD，CD．记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若l2﹣l1＝2，l3＝28，求AC的长．
25．（8分）请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 | 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． |
素材一 | 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等； |
素材二 | 购买2个篮球和5个排球共需800元； |
素材三 | 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． |
请完成下列任务： | |
任务一 | 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ |
任务二 | 给出最节省费用的购买方案． |
26．（8分）已知a是常数，函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，记T
．
（1）若x＝﹣4，a＝1，求y的值；
（2）若x＝3a+2，y＝1，比较T与3的大小．
27．（12分）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF．
（1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由．
2025年云南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
答案 | A． | C． | D | B | B | D | C | A | D | C | C |
题号 | 12 | 13 | 14 | 15 | |||||||
答案 | A | B | A | D | |||||||
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【2025·云南】中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作+10元，则支出5元可记作（ ）
A．﹣5元B．5元C．﹣10元D．10元
【答案】A
2．【2025·云南】地球绕太阳公转的速度约是110000km/h．110000用科学记数法可以表示为（ ）
A．1.1×102B．11×103C．1.1×105D．11×107
【答案】C
3．【2025·云南】如图，已知直线c与直线a，b都相交．若a∥b，∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．53°B．52°C．51°D．50°
【答案】D
4．【2025·云南】下列计算正确的是（ ）
A．x+2x＝3x2B．x2•x3＝x5C．x6÷x2＝xD．（xy）2＝xy2
【答案】B
5．【2025·云南】若点（1，2）在反比例函数y
（k为常数，且k≠0）的图象上，则k＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B【解析】把点（1，2）代入反比例函数y
（k为常数，且k≠0）中，得2
，解得k＝2．
6．【2025·云南】下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A．正方体B．长方体C．圆锥D．圆柱
【答案】D【解析】根据主视图和左视图为矩形可判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体是圆柱．
7．【2025·云南】一个六边形的内角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【答案】C【解析】一个六边形的内角和等于（6﹣2）×180°＝720°．
8．【2025·云南】如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴
．
9．【2025·云南】函数y
的自变量x的取值范围为（ ）
A．x≠4B．x≠3C．x≠2D．x≠1
【答案】D【解析】已知函数y
，则x﹣1≠0，即x≠1.
10．【2025·云南】中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
【答案】C【解析】A，B，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
11．【2025·云南】某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ）
A．70B．80C．90D．100
【答案】C【解析】在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90．
12．【2025·云南】按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，⋯，第n个代数式是（ ）
A．（2n﹣1）aB．（2n+1）aC．（n+1）aD．2025a
【答案】A【解析】第1个代数式为a，第2个代数式为3a，第3个代数式为5a，第4个代数式为7a，第5个代数式为9a，…，以此类推，可知，第n个代数式是 （2n﹣1）a.
13．【2025·云南】若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
【答案】B【解析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，则2πr
，解得r＝10，即圆锥的底面圆的半径为10cm．
14．【2025·云南】某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．6000（1+x）2＝6200B．6000（1﹣x）2＝6200
C．6000（1+2x）＝6200D．6000x2＝6200
【答案】A【解析】由题意可得，6000（1+x）2＝6200.
15．【2025·云南】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，∴sinA
.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16．【2025·云南】已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为cm．
【答案】5
17．【2025·云南】分解因式：x2+x＝ ．
【答案】x（x+1）
18．【2025·云南】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 ．
【答案】15【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝5，∴菱形ABCD的面积
AC•BD
6×5＝15．
19．【2025·云南】某中学为了解全校1000名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有 名．
【答案】200【解析】该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有1000×20%＝200（名）．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20．【2025·云南】（7分）计算：（π﹣2）0
|﹣6|
2cos60°．
解：原式＝1﹣3+6+5﹣2
＝1﹣3+6+5﹣1
＝8．
21．【2025·云南】（6分）如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D．
求证：△AOC≌△BOD．
解：在△AOC和△BOD中，
，∴△AOC≌△BOD（AAS）．
22．【2025·云南】（7分）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．
解：设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运（x+20）千克化工原料，
根据题意得：
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+20＝80+20＝100（千克）．
答：机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．
23．【2025·云南】（6分）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．
游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为x．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y．若x＝y，则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y，则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P．
解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果总数，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有2种，即（1，1），（2，2），
∴A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P
．
24．【2025·云南】（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB．连接AD，CD．记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若l2﹣l1＝2，l3＝28，求AC的长．
解：（1）证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3，
∴l2﹣l1＝BC﹣AB＝b﹣a＝2，l3＝2（AB+BC）＝2（a+b）＝28，
∴
∴
∴AB＝6，BC＝8，
∴AC
10．
25．【2025·云南】（8分）请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 | 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． |
素材一 | 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等； |
素材二 | 购买2个篮球和5个排球共需800元； |
素材三 | 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． |
请完成下列任务： | |
任务一 | 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ |
任务二 | 给出最节省费用的购买方案． |
解：（任务一）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：
，解得：
．
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元；
（任务二）设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买（60﹣m）个排球，
根据题意得：w＝150m+100（60﹣m）＝50m+6000，
∵k＝50＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵60﹣m≤2m，解得：m≥20，
∴当m＝20时，w取得最小值，此时60﹣m＝60﹣20＝40（个）．
答：当购买20个篮球，40个排球时，总费用最低．
26．【2025·云南】（8分）已知a是常数，函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，记T
．
（1）若x＝﹣4，a＝1，求y的值；
（2）若x＝3a+2，y＝1，比较T与3的大小．
解：（1）把x＝﹣4，a＝1代入函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，
得y＝（﹣4+4）（﹣4﹣12+1﹣3）+1＝1，
∴y的值为1；
（2）将x＝3a+2，y＝1代入函数，
得（3a+2+4）（3a+2﹣a2+a﹣3）+1＝1，
整理得：﹣3（a+2）（a2﹣4a+1）＝0，
①当a+2＝0时，即a＝﹣2，
∴
②当a2﹣4a+1＝0时，a≠0，
则有a2＝4a﹣1a2+1＝4a，
∴a
4，
∴T
综上可知：当a＝﹣2时，T＜3；当a2﹣4a+1＝0时，T＞3．
27．【2025·云南】（12分）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF．
（1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵CE＝CB，且∠CBE＝60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°；
（2）证明：延长CO交⊙O于点M，连接EM，如图，
∵CM是⊙O的直径，
∴∠CEM＝90°，
∴∠AEC+∠AEM＝90°，
∵∠AEM＝∠ACM，∠AEC＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACM＝90°，
∴∠MCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CF是⊙O的切线；
（3）存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；理由如下：
如图，设AC与BE交于点N，
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵∠EAC＝∠EBC，∠BEC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠EBC＝∠BAC＝∠BEC，
∴CE＝CB，
∵∠BCN＝∠ACB，∠CBE＝∠BAC，
∴△BCN∽△ACB，
∴
∴BC2＝AC•CN①，
∵∠AEN＝∠BEA，∠EAC＝∠BAC，
∴△AEN∽△ACB，
∴
∴AE•AB＝AC•AN②，
①+②得：BC2+AE•AB＝AC•CN+AC•AN＝AC（CN+AN）＝AC2，
∵CE＝CB，
∴AC2＝BC•CE+AB•AE，
∴此时a＝1，b＝1．
∴存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立．
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