一、试题重现
23．（8分）【定义新运算】
对正实数a，b，定义运算“⊗”，满足a⊗b．
例如：当a＞0时，（2a）⊗1．
（1）当a＞0时，请计算：（2a）⊗（2a）＝a；
【探究运算律】
对正实数a，b，运算“⊗”是否满足交换律a⊗b＝b⊗a？
∵a⊗b，
b⊗a，
∴a⊗b＝b⊗a．
∴运算“⊗”满足交换律a⊗b＝b⊗a．
（2）对正实数a，b，c，运算“⊗”是否满足结合律（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）？请说明理由；
【应用新运算】
（3）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成，AF＝a，BF＝b，且a＞b．若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为26和16，则（2a）⊗b⊗（2a）的值为．
二、试题解答
解：（1）由新定义得，（2a）⊗
，
故答案为：a；
（2）对正实数a，b，c，运算“⊗”满足结合律（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c），
理由如下：左边：（a⊗b）⊗⊗
，
右边：
，
∴左边＝右边，
∴对正实数a，b，c，运算“⊗”满足结合律（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）；
（3）由题意得，∠AFB＝90°，
∴AF2+BF2＝AB2，
∵AF＝a，BF＝b，且a＞b，正方形ABCD的面积为26，
∴a2+b2＝26，
∵四个直角三角形全等，
∴AE＝BF＝b，
∴EF＝AF﹣AE＝a﹣b，
∵正方形EFGH的面积为16，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16，
∴26﹣2ab＝16，
∴ab＝5，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝16+4×5＝36，
∴a+b＝6（舍负），
∴（2a）⊗b⊗（2a）＝（2a）⊗（2a）⊗b＝a⊗，
故答案为：．
三、课标体现与教学导向
这道以 “定义新运算⊗”为核心的考题，融合代数运算、运算律探究、数形结合等内容，紧扣《义务教育数学课程标准》对初中数学抽象、运算能力、推理能力、创新意识、几何直观等核心素养的培养要求，既考查了数与式、勾股定理、正方形面积等基础知识，又突出了探究性、综合性、迁移性的命题特点，充分体现了新课标重视过程、融合知识、发展能力的核心理念，同时为初中数学教学明确了强化抽象、注重探究、融数于形、培养迁移的实施方向。
（一）新课标体现
1.聚焦核心素养，全方位发展初中数学关键能力
本题以新运算定义为载体，让学生经历理解定义、运用定义、探究规律、综合应用的过程，
数学抽象体现在要求学生从文字与符号定义中，抽象出新运算的数学本质，将新运算转化为常规的分式乘除与加减运算，培养学生对数学符号和新规则的抽象理解能力。运算能力体现在考查分式的通分、约分、化简，完全平方公式的灵活运用，以及结合新运算规则的分步运算。推理能力体现在探究交换律、结合律时，要求学生从新运算定义出发，通过演绎推理分别推导相等性，步步推导，培养学生的逻辑推理与论证能力。创新意识体现在创设全新的运算规则，要求学生打破已有运算的思维定式，迁移已有知识解决新问题，同时将新运算与几何图形结合，培养学生在新情境下的数学应用与创新能力。几何直观体现在将正方形拼接的几何图形转化为勾股定理、面积关系的代数表达式，通过几何图形直观感知数量关系，再转化为代数运算求解，落实数形结合的核心要求。
2.强化知识融合，体现代数与几何的整体性
新课标倡导强调知识的综合性与关联性，本题实现了多领域知识的有机融合。
将新运算的分式运算、乘法公式、代数式变形代数内部的融合，考查学生对代数知识的综合运用能力。第三问以 “赵爽弦图” 式的正方形拼接为背景，将正方形面积、勾股定理的几何知识，转化为代数关系，再结合新运算求解，让学生体会代数与几何的相互转化。
将“运算律探究”的方法迁移到新运算中，让学生体会交换律、结合律的通用探究思路，实现知识与方法的融合。
3.注重过程性探究，落实新课标过程与结果并重的目标
新课标强调让学生经历数学知识的形成与探究过程，交换律的探究给出了完整的推导示范，引导学生掌握从定义出发，分别表示两边表达式，验证相等的探究方法。结合律的探究要求学生自主完成上述推导过程，经历理解规则、猜想结论、分步推导、得出结论的探究流程，这种设计让学生掌握探究数学规律的通用方法。
4.突出知识迁移，培养以旧知解新的数学能力
新课标强调学生能运用已有的知识和经验解决新问题，本题的核心考查点之一就是知识迁移能力。
（二）教学导向
1.培养数学抽象与符号意识，强化新定义问题的教学
新定义问题是考查数学抽象和符号意识的重要载体，教学中应注重引导学生理解新定义、转化新定义、运用新定义。设计多样化的新定义问题，培养学生的符号意识和抽象理解能力，提升学生在新情境下的数学适应能力。
2.强化运算能力的综合性培养
运算能力是初中数学的基础能力，教学中应转向综合性、技巧性、严谨性的运算能力培养。
强化分式的通分、约分、化简，乘法公式的灵活运用，勾股定理与面积关系的转化，确保学生的基础运算准确、规范。引导学生运用运算律化简复杂运算，学会观察式子特征，选择最优的运算方法。设计代数与几何融合的运算问题，让学生学会将几何数量关系转化为代数运算，提升综合运算能力。
3.重视探究性教学，让学生经历完整过程
教学中应将探究融入日常教学，尤其是运算律、数学规律、公式推导等内容，避免直接告知结论。以运算律、公式等为载体，设计探究性活动，引导学生经历提出猜想、自主推导、验证结论、总结方法的探究过程。鼓励学生大胆猜想、严谨验证，培养学生的推理能力和探究精神，让学生在探究中理解数学知识的形成过程。
4.落实数形结合思想，打破代数与几何的孤立教学
代数与几何是初中数学的两大核心领域，二者相互关联、相互转化，教学中应打破二者的壁垒，实现数形融合教学。在代数教学中融入几何直观，如用图形解释乘法公式、用数轴理解实数、用函数图象理解函数性质，让代数知识更直观。在几何教学中融入代数运算，如用勾股定理、相似、全等转化为代数数量关系，用代数运算解决几何求值、证明问题，让几何问题更易解。
