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①平等与对称
②旋转
③折叠
④坐标与尺规作图
平行与对称
1．（2024·云南昭通·二模）文字是传承人类文明的重要媒介，我国的汉字传承了数千年之久，是各国文字中的佼佼者．下列汉字中，既可以看作轴对称图形，又可以看作中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·内蒙古包头·二模）如图，已知，则的度数是（）
A．B．C．D．
3．（2024·宁夏银川·二模）凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若，，则的度数是（）
A．B．C．D．
4．（2024·山东济宁·二模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则的度数等于（）
A．50°B．30°C．20°D．15°
5．（2023·浙江金华·二模）如图，于A，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·商丘夏邑·二模）如图，直线，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·山东日照·二模）数学中处处存在着美，从三国时期的赵爽弦图，到19世纪的莱洛三角形，再到近代的科克曲线和谢尔宾斯基三角形，这种特殊的数学之美，令人沉迷．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．赵爽弦图
B．莱洛三角形
C．科克曲线
D．谢尔宾斯基三角形
8．（2024·山东济宁·二模）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．
9．（2024·江苏镇江·二模）如图，在、两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东，如果 、两地同时开工，那么为
旋转
10．（2024·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为(1，2)，将绕点 逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（）
A．2B．3C．4D．6
11．（2024·河南南阳·二模）如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点的坐标为（）
A．B．C．D．
12．（2024·内蒙古包头·二模）如图，正方形
的边长为4，点
是
的中点，
平分
交
于点
，将
绕点
顺时针旋转90°得
，则
的长为．
13．（2024·宁夏银川·二模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，E分别在线段，上，且．
(1)观察猜想小华将绕点A逆时针旋转，连接，，如图②，当点E与点F重合时：
①的值为______；
②的度数为______度；
(2)类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)拓展延伸：若，当所在的直线垂直于时，直接写出的长．
14．（2024·宁夏银川·二模）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，，，解答下列问题：
(1)将线段绕原点顺时针方向旋转得到线段，再将线段向下平移2个单位长度得到线段，画出线段和线段；
(2)如果线段旋转可以得到线段，则旋转中心P的坐标为_______．（A和E是对应点）
15．（2024·广东惠州·二模）综合探究
【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，根据条件填空：
①的度数为 ；
②若，则的长为 ；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长．
16．（2024·山东日照·二模）问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接；
(1)解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______；
(2)深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明：
(3)拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值．
17．（2024·浙江杭州·二模）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．
(1)求的值；
(2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
折叠
18．（2024·河南信阳·二模）如图，中，是的中线，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交线段于点，当是直角三角形时，．
19．（2024·浙江杭州·二模）已知矩形纸片，将纸片沿折叠，使点与边上的点重合，展开纸片，连结，，与相交于点．将纸片继续沿折叠，点的对应点恰好落在上，展开纸片，连结，与交于点．已知，，则；．
20．（2024·山东日照·二模）如图，在等腰中，，，为边的中点，为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点的对应点为．当时，的长度为．
21．（2024·浙江杭州·二模）如图，腰长为22的等腰ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与ABC的某一条腰垂直时，BD的长为．
22．（2024·内蒙古包头·二模）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）
(1)当点和点重合时，线段的长为__________；
(2)当点和点重合时，求；
(3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
23．（2024·江苏镇江·二模）“折纸”是同学们经常做的手工活动．
如图1，矩形纸片，，点O为其对称中心，小明沿着过点 O 的直线将矩形纸片进行折叠，折痕交边于点 M、N，点A、B的对应点记为交边于点E．
(1)如图2，当点与点D重合时，；
(2)在上述折叠过程中，求证：
①为等腰三角形；
② ；
(3)如图3，，连结交于点F，连接，则的面积为．
坐标与尺规作图
24．（2024·浙江杭州·二模）如图所示，若点坐标为，则对应的点可能是（）
A．点B．点C．点D．点
25．（2024·浙江温州·二模）尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，为半径作弧交于点E；③连结与．若要求的度数，则只需知道（）
A．的度数B．的度数
C．的度数D．的度数
26．（2024·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（）
A．B．C．D．
27．（2024·河南新乡·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
(1)图1中点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的中点，要求保留作图痕迹，不写作法．
(2)图2中的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的角平分线，要求保留作图痕迹，不写作法．（要求：的角平分数用实线表示，其它线用虚线表示．）
28．（2024·陕西西安·二模）如图，在中，，，为上一点，且，利用圆规和无刻度直尺在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
29．（2024·浙江杭州·二模）如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
(1)在线段上画出点，使．
(2)画出的外接圆圆心，并连接，，求弧的长
30．（2024·广东惠州·二模）如图，在中，．
(1)实践与操作：在边上找一点D（点C，D不重合），使得为等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)猜想与证明：在（1）的条件下，试猜想之间的数量关系，并加以证明．
31．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，平分．
(1)作交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：．
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