一、解一元一次方程
概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程。
原理：利用等式性质进行移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解。
例题：解方程 3x - 5 = 7
解：3x = 7 + 5 → 3x = 12 → x = 4
配套练习：
2x + 3 = 11
5x - 8 = 2x + 7
3(x - 2) = 2x + 1
(x + 1)/2 = (2x - 3)/3
0.5x - 0.3 = 0.2x + 0.7
二、解二元一次方程组
概念：含有两个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程组。
原理：常用代入消元法或加减消元法，将二元化为一元求解。
例题：解方程组 {2x + y = 7, x - y = 2}
解：用加减法，两式相加得 3x = 9，x = 3，代入得 y = 1
配套练习：
{x + y = 5, 2x - y = 4}
{3x + 2y = 8, x - y = 1}
{2x + 3y = 7, 3x - 2y = 4}
{x/2 + y/3 = 1, x - y = 1}
{0.2x + 0.3y = 1.3, 0.4x - 0.1y = 1.1}
三、解一元一次不等式
概念：用不等号连接，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式。
原理：解法类似方程，但注意不等号方向在乘除负数时要改变。
例题：解不等式 2x - 3 > 5
解：2x > 8 → x > 4
配套练习：
3x + 2 < 11
2x - 5 ≥ x + 1
3(x - 1) ≤ 2x + 4
(x + 3)/2 > (2x - 1)/3
2 - 3x < 5x + 6
四、解分式方程
概念：分母中含有未知数的方程。
原理：去分母化为整式方程求解，最后必须检验分母不为零。
例题：解方程 1/(x - 2) = 2
解：去分母得 1 = 2(x - 2)，解得 x = 2.5，经检验是原方程的解
配套练习：
1/x = 2
3/(x + 1) = 1
(x + 2)/(x - 1) = 2
1/(x - 3) + 1/(x + 3) = 2/(x² - 9)
(2x - 1)/(x + 2) = 3
五、解一元二次方程
概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
原理：常用方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
例题：解方程 x² - 5x + 6 = 0
解：因式分解得 (x - 2)(x - 3) = 0，x₁ = 2，x₂ = 3
配套练习：
x² - 4 = 0
x² + 6x + 5 = 0
2x² - 5x - 3 = 0
x² - 4x + 1 = 0
3x² + 2x - 1 = 0
六、分式的化简求值
概念：将分式通过约分、通分等运算化为最简形式，再代入数值计算。
原理：先化简再求值，注意分母不为零的条件。
例题：先化简，再求值：(x² - 4)/(x² + 4x + 4)，其中 x = 1
解：原式 = (x - 2)(x + 2)/(x + 2)² = (x - 2)/(x + 2)，当 x = 1 时，原式 = -1/3
配套练习：
(x² - 9)/(x² + 6x + 9)，x = 2
(x² - 4x + 4)/(x² - 4)，x = 3
(x² - 1)/(x² + 2x + 1) - x/(x + 1)，x = 2
(1/x - 1/(x + 1)) ÷ 1/(x² + x)，x = 2
(a² - b²)/(a² + 2ab + b²) ÷ (a - b)/(a + b)，a = 3，b = 1
七、整式的化简求值
概念：将整式通过合并同类项、去括号等运算化为最简形式，再代入数值计算。
原理：先化简再求值，注意运算顺序。
例题：先化简，再求值：2(3a - b) - 3(a + 2b)，其中 a = 1，b = -2
解：原式 = 6a - 2b - 3a - 6b = 3a - 8b，当 a = 1，b = -2 时，原式 = 3 + 16 = 19
配套练习：
3x - 2(x - y) + 4y，其中x = 2，y = 1
2(a² - b) - 3(a² + 2b)，其中a = -1，b = 2
(2m + n)² - (m - n)²，其中m = 1，n = 2
(x + 2)(x - 2) - (x - 3)²，其中x = 4
(a + b)(a - b) + (a + b)² - 2a²，其中a = 3，b = 1
参考答案如下:
一、解一元一次方程
核心思路：移项、合并同类项、系数化为1
2x + 3 = 11
解：2x = 11 - 3 = 8 → x = 4
5x - 8 = 2x + 7
解：5x - 2x = 7 + 8 → 3x = 15 → x = 5
3(x - 2) = 2x + 1
解：3x - 6 = 2x + 1 → 3x - 2x = 1 + 6 → x = 7
(x + 1)/2 = (2x - 3)/3
解：3(x + 1) = 2(2x - 3) → 3x + 3 = 4x - 6 → x = 9
答案：x = 9
0.5x - 0.3 = 0.2x + 0.7
解：0.5x - 0.2x = 0.7 + 0.3 → 0.3x = 1 → x = 10/3
二、解二元一次方程组
核心思路：代入消元法或加减消元法
{x + y = 5, 2x - y = 4}
解：两式相加：3x = 9 → x = 3，代入得 y = 2
答案：{x = 3, y = 2}
{3x + 2y = 8, x - y = 1}
解：由②得 x = y + 1，代入①：3(y + 1) + 2y = 8 → y = 1，x = 2
答案：{x = 2, y = 1}
{2x + 3y = 7, 3x - 2y = 4}
解：①×2 + ②×3：4x + 6y + 9x - 6y = 14 + 12 → 13x = 26 → x = 2，y = 1
答案：{x = 2, y = 1}
{x/2 + y/3 = 1, x - y = 1}
解：①×6得 3x + 2y = 6，与②联立解得 x = 8/5，y = 3/5
答案：{x = 8/5, y = 3/5}
{0.2x + 0.3y = 1.3, 0.4x - 0.1y = 1.1}
解：②×3 + ①：0.2x + 0.3y + 1.2x - 0.3y = 1.3 + 3.3 → 1.4x = 4.6 → x = 23/7，y = 11/7
答案：{x = 23/7, y = 11/7}
三、解一元一次不等式
⚠️注意：乘除负数时，不等号方向要改变！
3x + 2 < 11
解：3x < 9 → x < 3
2x - 5 ≥ x + 1
解：2x - x ≥ 1 + 5 → x ≥ 6
3(x - 1) ≤ 2x + 4
解：3x - 3 ≤ 2x + 4 → x ≤ 7
答案：x ≤ 7
(x + 3)/2 > (2x - 1)/3
解：3(x + 3) > 2(2x - 1) → 3x + 9 > 4x - 2 → x < 11
答案：x < 11
2 - 3x < 5x + 6
解：-3x - 5x < 6 - 2 → -8x < 4 → x > -1/2（注意变号！）
四、解分式方程
🔍关键步骤：去分母后必须检验！
1/x = 2
解：1 = 2x → x = 0.5，经检验成立
答案：x = 0.5
3/(x + 1) = 1
解：3 = x + 1 → x = 2，经检验成立
答案：x = 2
(x + 2)/(x - 1) = 2
解：x + 2 = 2(x - 1) → x = 4，经检验成立
答案：x = 4
1/(x - 3) + 1/(x + 3) = 2/(x² - 9)
解：通分后得 2x/(x² - 9) = 2/(x² - 9) → 2x = 2 → x = 1，经检验成立
答案：x = 1
(2x - 1)/(x + 2) = 3
解：2x - 1 = 3(x + 2) → x = -7，经检验成立
答案：x = -7
五、解一元二次方程
四大解法：直接开方、因式分解、配方法、公式法
x² - 4 = 0
解：直接开方 → x = ±2
x² + 6x + 5 = 0
解：因式分解：(x + 1)(x + 5) = 0 → x = -1 或 -5
2x² - 5x - 3 = 0
解：因式分解：(2x + 1)(x - 3) = 0 → x = -1/2 或 3
x² - 4x + 1 = 0
解：公式法：x = 2 ± √3
答案：x = 2 ± √3
3x² + 2x - 1 = 0
解：公式法：x = (-2 ± 4)/6 → x = 1/3 或 -1
六、分式的化简求值
口诀：先化简，再代入，分母不能为零！
(x² - 9)/(x² + 6x + 9)，x = 2
化简：(x - 3)/(x + 3)，代入得 -1/5
(x² - 4x + 4)/(x² - 4)，x = 3
化简：(x - 2)/(x + 2)，代入得 1/5
(x² - 1)/(x² + 2x + 1) - x/(x + 1)，x = 2
化简：-1/(x + 1)，代入得 -1/3
[1/x - 1/(x + 1)] ÷ 1/(x² + x)，x = 2
化简：1（与x无关），代入得 1
(a² - b²)/(a² + 2ab + b²) ÷ (a - b)/(a + b)，a = 3，b = 1
化简：1（与a,b无关），代入得 1
七、整式的化简求值
核心技巧：合并同类项，去括号要变号
3x - 2(x - y) + 4y，x = 2，y = 1
化简：x + 6y，代入得 8
2(a² - b) - 3(a² + 2b)，a = -1，b = 2
化简：-a² - 8b，代入得 -17
(2m + n)² - (m - n)²，m = 1，n = 2
化简：3m² + 6mn，代入得 15
(x + 2)(x - 2) - (x - 3)²，x = 4
化简：6x - 13，代入得 11
(a + b)(a - b) + (a + b)² - 2a²，a = 3，b = 1
化简：2ab，代入得 6
📌 复习建议
基础为王：熟练掌握各类方程的解法步骤
易错点：分式方程检验、不等式变号、去括号符号
举一反三：每个例题对应一类题型，要融会贯通
