史上最全无死角!中考数学专题之线段最值及路径长问题

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史上  线段(和)差最值问题的知识背景

  1.线段公理——两点之间,线段最短;

  2.对称的性质——关于一条直线对称的两个图形全等、对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线;

  3.三角形两边之和大于第三边;

  4.三角形两边之差小于第三边;

  5.垂直线段最短;

  6.过圆内一点,最长的弦为直径,最短的弦为垂直于直径的弦。

  解题思路与策略

  最值问题处理思路

  1.分析定点、动点,寻找不变特征;

  2.若属于常见模型、结构,调用模型、结构解决问题;若不属于常见模型,要结合所求目标,根据不变征转化为基本定理或表达为函数解决问题。

  转化原则:尽量减少变量,向定点、定线段、定图形靠拢,或使用同一变量表达所求目标。

  路径长问题的思路

  2.确定运动路径:通过起点、终点、特殊点猜测运动路径,并结合不变特征进行验证

  3.设计方案,求出路径长.

  常见最值模型一.已知两定点

  1.在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小

  (1)点A、B在直线m两侧:当P、A、B三点共线时取最小值

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  (2)点A、B在直线同侧,则先做其中一点关于直线的对称点,对称点与另两点共线时最值

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  2.直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小

  (1)两点都在直线外侧:

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  动图欣赏

  

  (2)一个点在内侧,一个点在外侧

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  (3)两个点都在内侧

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  (4)台球两次碰

  壁模型

  变式一:已知点A、B位于直线m、n内侧,在直线上分别找点D、E,使得围成的四边形ADEB周长最小

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  变式二:已知点A位于直线内侧,在直线上分别找P、Q,使PA+PQ+QA周长最小

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  二.一个动点,一个定点

  (一)动点在直线上运动

  点B在直线n上运动,在直线m上找一点P使PA+PB最小

  1.两点在直线两侧

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  2.两点在直线同侧

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  (二)动点在圆上运动

  点B在圆上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小

  1.点与圆在直线两侧

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  2.点与圆在直线同侧

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  动图欣赏

  

  三.用平移解决线段最值问题

  已知A、B是两个定点,P、Q是直线上两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度不变,在直线上找两点P、Q,使得PA+PQ+QB的值最小

  (1)点A、B在直线m两侧

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  过A作AC平行于m,AC长等于PQ长,连接BC,交直线于Q,Q向左移动PQ长,即P点,此时,P、Q即为所求的点

  (2)点A、B在直线同侧

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  四.求两线段差的最大值问题

  1.在一条直线上,求一点P,使PA与PB的差最大值

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  (2)点A、B在直线异侧

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  过 B 作关于直线 m 的对称点 B’,连接 AB ’交点直线 m 于 P,此时 PB=PB ’,PA-PB 最大值为 AB ’

  五.转化为某个变量的函数

  

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