2024年安徽省亳州市、芜湖市中考数学模拟试卷(5月份)

2024年安徽省亳州市、芜湖市中考数学模拟试卷（5月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1．（4分）下列各数中是负数的是（　　）

A．|﹣3|       B．﹣（﹣1）       C．0       D．﹣2

【解答】解：A．|﹣3|＝3＞0，是正数，不符合题意．

B．﹣（﹣1）＝1＞0，是正数，不符合题意．

C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意．

D．﹣2＜0，是负数，符合题意．

故选：D．

2．（4分）计算（﹣a）⁶÷a的结果是（　　）

A．a⁶       B．﹣a⁶       C．a⁵       D．﹣a⁵

【解答】解：（﹣a）⁶÷a＝a⁵．

故选：C．

3．（4分）2024年第一季度我省地区生产总值约为11300亿元，其中11300亿用科学记数法表示为（　　）

A．1.13×10⁴       B．1.13×10¹²       C．1.13×10¹³       D．113×10¹⁰

【解答】解：11300亿即1130000000000大于1，用科学记数法表示为a×10ⁿ，其中a＝1.13，n＝12，

∴11300亿用科学记数法表示为1.13×10^12，

故选：B．

4．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．       B．       C．       D．

【解答】解：A的俯视图

C的俯视图

D的俯视图

都与题目给出的三视图矛盾．B的三视图为

，

故图中三视图对应的几何体不是选项A、C、D中图形，选项B的三视图与题目的三视图相一致．

故选：B．

5．（4分）如图，一个45°角的三角板的直角顶点恰好在直尺的一边上，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）

A．20°       B．25°       C．75°       D．65°

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠3＝∠1＝70°，    

∵∠4＝45°，

∴∠2＝∠3﹣∠4＝25°．

故选：B．

6．（4分）一款纯电家用汽车电池容量为60Ah，电池的剩余电量y（Ah）与行驶路程x（km）之间满足一次函数关系．已知该汽车行驶100km时，电池的剩余电量为45Ah，行驶300km时，电池的剩余电量为15Ah．若该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为（　　）

A．350km       B．400km       C．450km       D．500km

【解答】解：设电池的剩余电量y（Ah）与行驶路程x（km）之间的关系式为y＝kx+b，

根据题意得，

解得

∴

当y＝0时，

解得x＝400，

∴该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为400km．

故选：B．

7．（4分）一个小组12名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：

则下列说法错误的是（　　）    

A．这组数据的平均数是7      

B．这组数据的众数是8      

C．这组数据的中位数是6      

D．这组数据的方差是3.5

【解答】解：A．平均数＝，正确，该选项不符合题意；

B.8出现的次数最多，因此众数为8，正确，该选项不符合题意；

C．中位数：，错误，该选项符合题意；

D．数据的方差＝，正确，该选项不符合题意．

故选：C．

8．（4分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，AD∥BC，则下列说法错误的是（　　）

A．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形      

B．若BD平分∠ABC，则四边形ABCD是菱形      

C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形      

D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形

【解答】解：∵AD∥BC，

∴∠ADO＝∠CBO，    

∵OA＝OC，∠AOD＝∠BOC，

在△AOD和△COB中，

∴△AOD≌△COB（AAS），

∴AD＝BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，故A选项不符合题意；

若BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

则四边形ABCD是菱形，故B选项不符合题意；

若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形，故C选项不符合题意；

若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形，故D选项符合题意；

故选：D．

9．（4分）二次函数y＝ax²+2ax+b与一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）

A．       B．      

C．       D．    

【解答】解：∵二次函数y＝ax²+2ax+b，

∴对称轴为直线，故B，D不符合题意；

∵当x＝0时，y＝ax²+2ax+b＝b，y＝ax+b＝b，

∴二次函数与一次函数交于y轴上的点（0，b），故C不符合题意，A符合题意．

故选：A．

10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是边AB，CD上的点，EF⊥AC，垂足为点O，连接EC，AF，则EC+AF的最小值为（　　）

A．       B．       C．       D．

【解答】解：分别以EF、EC为边作平行四边形ECHF，连接AH，过点F作FG∥BC交AB于点G，则FG＝BC＝6，FH＝EC，

∵AB＝8，BC＝6，

∴

∵∠AOE＝∠FGE＝90°，∠BAC＝90°﹣∠AEO＝∠GFE，

∵∠ABC＝∠FGE＝90°，

∴△FGE∽△ABC，

∴

即

解得

∵四边形ECHF是平行四边形，    

∴EF∥CH，

∵AC⊥EF，

∴∠ACH＝90°，

在Rt△ACH中，由勾股定理得：

∴EC+FA的最小值为

故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）不等式的解集是 　x＞﹣4　．

【解答】解：

去分母得，1+4x＞3（x﹣1），

去括号得，1+4x＞3x﹣3，

移项，合并同类项得，x＞﹣4．

故答案为：x＞﹣4．

12．（5分）分解因式：x³﹣6x²+9x＝　x（x﹣3）²　．

【解答】解：x³﹣6x²+9x    

＝x（x²﹣6x+9）

＝x（x﹣3）^2，

故答案为：x（x﹣3）²．

13．（5分）如图，正方形OABC的边长为6，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，反比例函数的图象与正方形OABC的两边AB，BC分别相交于点M，N．若△OMN的面积为10，则k的值为 　24　．

【解答】解：∵正方形OABC的边长为6，

∴OC＝OA＝AB＝BC＝6，

设

∴

∵△OMN的面积为10，

∴S_{正方形OABC}﹣S_△OAM﹣S_△OCN﹣S_△BMN＝10，

∴

解得k＝±24，

∵反比例函数的图象在第一象限，

∴k＝24．

故答案为：24．

14．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形ABE，顶点E恰好落在CD边上．    

（1）∠AED与∠EBC的大小关系是 　相等　（填“相等”或“不相等”）；

（2）若AD＝2，则CE的长是 　2　．

【解答】解：（1）∵等腰Rt△ABE，

∴∠BAE＝90°，∠ABE＝45°．

∵AD∥BC，

∴∠DAE+∠EBC＝180°﹣90°﹣45°＝45°，

∵∠C＝45°，

∴∠D＝180°﹣45°＝135°，

∴∠D＝180°﹣45°﹣135^*，

∴∠AED＝∠EBC；

故答案为：相等；

（2）如图．过点A作AF⊥BC于点F，过点E作GH⊥BC于点H，交AD的延长线于点G，

则∠AFB＝∠CHE＝90°，

∴AF∥GH，

∵AD∥BC，

∴AF＝GH，∠AGE＝90°，∠EDG＝∠C＝45°，    

∵∠B A F+∠F A E＝90°，∠E A G+∠F A E＝90°，

∴∠BAF＝∠EAG，

∵AB＝AE，∠AFB＝∠AGE＝90°，

∴△AFB≌△AGE（AAS），

∴AF＝AG，

∴AG＝GH，

∵∠EDG＝∠C＝45°，

∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，

∴DG＝EG，CH＝EH，

∴AD＝EH＝CH＝2，

由勾股定理得．

故答案为：．

三、（本大题共2小题.每小题8分，满分16分）

15．（8分）计算：．

【解答】解：原式＝

＝

＝2．

16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC是格点三角形，点D，E均为格点（网格线的交点）．

（1）画出△ABC关于直线DE对称的△A₁B₁C₁；

（2）将（1）中的△A₁B₁C₁绕点C₁逆时针旋转90°得到△A₂B₂C₁，画出△A₂B₂C₁．    

【解答】解：（1）如图所示，△A₁B₁C₁即为所求；

（2）如图所示，△A₂B₂C₁即为所求；

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）《孙子算经》中有这样一道问题：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，始尽．问城中家几何？大意是：今有100头鹿进城，每户分一头鹿后，没有分完，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：城中有多少户人家？请解答上述问题．

【解答】解：设城中有x户人家，

根据题意得：x+x＝100，

∴x＝100，

解得：x＝75．

答：城中有75户人家．

18．（8分）图1有1个三角形，记作a₁＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有1+4×1＝5个三角形，记作a₂＝5；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有1+4×2＝9个三角形，记作a₃＝9；……．根据上述规律，解答下面的问题：    

（1）图4中有 　13　个三角形，记作a₄＝　13　．

（2）猜想图n中有 　（4n﹣3）　个三角形，记作a_n＝　4n﹣3　；（用含n的代数式表示）

（3）求a₁+a₂+a₃+⋯+a_n的值．（结果用含n的代数式表示）

【解答】解：（1）∵第一个图中1个三角形，

第二个图中5个三角形，

第三个图中9个三角形，

∴图4中有13个三角形，记作a₄＝13

（2）由（1）可得，

图n中有（4n﹣3）个三角形，记作a_n＝4n﹣3；

（3）a₁+a₂+a₃+⋯+a_n

＝4×1﹣3+4×2﹣3+4×3﹣3+•••+4n﹣3

＝4×（1+2+3+•••+n）﹣3n

＝

＝2n（n+1）﹣3n

＝2n²﹣n．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）如图，四边形ABCD是一个零部件的截面示意图，由相邻两个直角三角形组合而成，作菱形AEFG，使点E，G分别在边AB，AD上，点F在对角线BD上，已知AD＝CD，，若菱形AEFG的边长为3dm，求该零部件截面ABCD的面积．（结果保留根号）    

【解答】解：∵四边形AEFG是菱形，

∴A E＝E F＝F G＝A G＝3，EF∥AD，

∴∠BFE＝90°，

在Rt△BEF中，

∵

∴B E＝3 E F＝9，

∴A B＝A E+B E＝3+9＝12（dm），

在Rt△ABD中，

∵

∴

∴ D＝A D＝4（dm），

在Rt△BCD中，

∴四边形ABCD的面积为

即该零部件截面ABCD的面积为．

20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且＝交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE＝BF．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若EF＝18，．求⊙O的半径．    

【解答】（1）证明：如图所示，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CEB+∠CBE＝90°，

∵BE＝BF，

∴∠CEB＝∠F，

∵

∴

∴∠F+∠C A B＝90°，

∴∠ABF＝180°﹣90°＝90°，

∴AB⊥BF，

∴BF是⊙O的切线；

（2）解：∵BE＝BF，∠ACB＝90°，    

∴

在Rt△BCF中，

∵

∴；

在Rt△ABF中，

∵

∴

∴

∴⊙O的半径为10．

六、（本题满分12分）

21．（12分）“吃粽子，赛龙舟”是端午节的习俗，一直保留至今，某校为了解学生对端午节习俗的喜爱程度，随机抽取了部分学生进行调查，通过调查统计，将该校学生对端午节习俗的喜爱程度分为四个等级：A．非常喜爱，B．比较喜爱，C．一般喜爱，D．不喜爱．并绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）这次抽查的学生人数是 　40　人，图中m＝　12.5　，n＝　32.5　，补全条形统计图；

（2）已知该校在校学生人数为2800人，请估计该校对端午节习俗“一般喜爱”的人数；

（3）老师计划从对端午节习俗非常喜爱的甲、乙、丙、丁、戊五名学生中选取两人参加学校组织的端午节习俗宣讲活动，请用“列表法”或“画树状图法”，求出甲、乙至少有一人参加了端午节习俗宣讲活动的概率．    

【解答】解：（1）这次抽查的学生人数为：2÷5%＝40（人），

则C的人数为：40﹣5﹣20﹣2＝13（人），

∵m%＝5÷40×100%＝12.5%，n%＝13÷40×100%＝32.5%，

∴m＝12.5，n＝32.5，

条形统计图补充完整如下：

故答案为：40，12.5，32.5；

（2）估计该校对端午节习俗“一般喜爱”的人数为2800×32.5%＝910（人）；

（3）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人参加了端午节习俗宣讲活动的结果有14种，

∴甲、乙至少有一人参加了端午节习俗宣讲活动的概率为．

七、（本题满分12分）

22．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点E是边BC的中点，点F在边AC上，连接FE并延长到点G，使EG＝EF．（1）求证：BG⊥AB；

（2）如图2，点M是边AB的中点，连接EM，FM，EN平分∠MEC交FM于点N，若BE＝BM+BG，求证：MN＝FN．    

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠A＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵点E是边BC的中点，

∴BE＝CE，

又∵∠BEG＝∠CEF，EG＝EF，

∴△BEG≌△CEF（SAS），

∴∠EBG＝∠ECF＝45°，

∴∠ABG＝∠ABC+∠EBG＝90°，即BG⊥AB；

（2）如图，延长EN交AC于点H，

∵点M是AB的中点，点E是BC的中点，

∴EM∥AC，

∴∠MEN＝∠CHE，

∵EN平分∠MEC，

∴∠MEN＝∠CEH，

∴∠CHE＝∠CEH，    

∴CE＝CH，

由（1）知△BEG≌△CEF，

∴BG＝CF，

∵BE＝BM+BG，CH＝FH+CF，BE＝CE，

∴BE＝CE＝CH，即BM+BG＝FH+CF，

∴BM＝FH，

∵AB＝AC，EM∥AC，

∴∠MBC＝∠C＝∠MEB，

∴BM＝EM，

∴FH＝EM，

又∵∠MEN＝∠FHE，∠MNE＝∠FNH，

∴△MNE≌△FNH（AAS），

∴MN＝FN．

八、（本题满分14分）

23．（14分）已知，抛物线y＝ax²+2ax+c经过点A（﹣3，0），其顶点为M．

（1）求点M的坐标（用a表示）；

（2）若该抛物线与y轴的交点为B，如图．

①当△ABM的面积为时，求a的值；

②当△ABM为直角三角形时，求点B的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax²+2ax+c经过点A（﹣3，0），

∴0＝9 a﹣6 a+c，

∴c＝﹣3a，

∵y＝ax²+2ax+c＝ax²+2ax﹣3a＝a（x²+2x）﹣3a＝a（x+1）²﹣4a，

∴顶点M的坐标为（﹣1，﹣4a）．

（2）①当x＝0时，y＝c＝﹣3 a，

∴抛物线与y轴的交点B的坐标为（0，﹣3a）．

如图所示，过点M作平行于y轴的直线l交x轴于点E，交AB于点F，过点B作BN⊥l于点N，

∴S_△ABM＝S_△AMF+S_△BMG

＝

＝

＝

设直线AB的表达式为y＝kx+b，

把B（0，﹣3a），A（﹣3，0）代入

得

解得

∴直线AB的表达式为y＝﹣ax﹣3a，    

当x＝﹣1时，y＝﹣2a，

∴点F的坐标为（﹣1，﹣2a），

∴M F＝2 a，

∴

解得；

②由①得点M的坐标为（﹣1，﹣4a），点B的坐标为（0，﹣3a）．

∴AM²＝2²+（﹣4a）²＝4+16a^2，

BM²＝（﹣1）²+（﹣a）²＝1+a^2，AB2＝（﹣3）²+（3a）²＝9+9a^2，

∵△ABM为直角三角形，

∴分以下几种情况：

当∠AMB＝90°时，AM²+BM²＝AB^2，

∴4+16 a²+1+a²＝9+9a^2，

整理得8a²＝4，

解得或（舍去），

∴点B的坐标为；

当∠ABM＝90°时，AB²+BM²＝AM^2，

∴9+9a²+1+a²＝4+16a^2，

整理得6a²＝6，

解得a＝1或a＝﹣1（舍去），

∴点B的坐标为（0，﹣3）；

当∠MAB＝90°时，AB²+AM²＝BM^2，

∴9+9a²+4+16a²＝1+a^2，    

整理得24a²＝﹣12，此方程无实数解；

综上，点B的坐标为或（0，﹣3）．

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