中考数学抢分秘籍---秘籍04 圆的综合

秘籍04 圆的综合    

圆的综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容！圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，难度系数中等。

1．从考点频率看，圆是高频考点，中考对圆的知识点考查，综合能力要求极高！

2．从题型角度看，以解答题为主，分值10分左右！

圆常见辅助线的作法

1：连接半径，构造等腰三角形

在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理。

2：遇弦添加弦心距或半径

根据垂径定理，连半径，可以构造直角三角形。设未知数，利用勾股定理列方程，求线段的长度。

3：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角解题

在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

4：构造直角或直径    

直径所对的圆周角是90°。

5：切线的性质有关的辅助线——添加过切点的半径

利用切线性质，可得半径与切线垂直

6：切线的判定有关的辅助线

（1）有公共点，连半径，证垂直。（2）无公共点，作垂直，证明与半径相等。

7：与三角形内切圆有关的辅助线

遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算与证明。

中考圆的综合题常见的隐含条件：①同圆所有的半径都相等；②直径所对的圆周角相等；③同弧或等弧所对的圆周角相等。有关圆的解答题综合性特别强，会用到初中阶段所学所有几何知识点，如果所有方法都尝试不行，记得用相似，对应边成比例。

例1、如图， 是 的半径，过点M作 的切线 ，且 ， ， 分别交 于点C，D，求证：

例2、如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心， 为半径的 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 的延长线交 于点 ，连接 交 于点 ，求 和 的度数．     

例3、如图， 的直径 交弦(不是直径) 于点P，且 ．求证： ． 

例4、（2021·南通）如图， 为 的直径，C为 上一点，弦 的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D， ，连接 . 

（1）求 的度数； 

（2）若 ，求 的长. 

例5、（2021·安顺）如图，在 中，AC为  的直径，  AB为  的弦，点 E 是  的中点，过点 E 作 AB 的垂线，交 AB 于点 M ，交  于点 N ，分别连接 EB ， CN .     

（1） 与  的数量关系是　            　；

（2）求证： ；

（3）若 ，  ，求阴影部分图形的面积.

例6、（2021·桂林）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E.点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG.

（1）求证：△ECD∽△ABE；

（2）求证：⊙O与AD相切；

（3）若BC＝6，AB＝3 ，求⊙O的半径和阴影部分的面积. 

例7、（2021·绵阳）如图，四边形 是⊙ 的内接矩形，过点 的切线与 的延长线交于点 ，连接 与 交于点 ， ， .    

（1）求证： ；

（2）设 ，求 的面积（用 的式子表示）；

（3）若 ，求 的长.

例8、（2021·毕节）如图， 是 的外接圆，点E是 的内心，AE的延长线交BC于点F，交 于点D，连接BD，BE. 

（1）求证： ； 

（2）若 ， ，求DB的长. 

圆的题目总如果出现三角函数，基本都与三角形相似产生关系，以此为着手点，寻求题目突破。

1.（2021·贵港）如图，⊙O是 ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.     

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若cosB＝ ，AD＝2，求FD的长. 

2.（2021·资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F.

（1）       求证：DE是⊙O的切线；

（2）       若AC＝6，tanE＝ ，求AF的长. 

1．（2022·威海模拟）如图，已知ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．    

2．（2022·云南模拟）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E.

（1）求证：DE与⊙O相切；

（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；

（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．

3．（2022·蚌埠模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．

（1）求证：OD⊥DE．

（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积．

4．（2022·中山模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E在⊙O上，且，连接BE交AC于点F，已知BA＝BF．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若AF＝6，，求⊙O的直径．

5．（2022·坪山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD．

（1）求证：AC为⊙O的切线；

（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径．

6．（2022·亳州模拟）如图，为⊙O的直径，过点的切线与弦的延长线交于点为半径，于点，连接．    

（1）求证：；

（2）若，求的长．

7．（2022·合肥模拟）如图，点A，C是上的点，且，过点A作，连接BC交于点D，点D是BC的中点．

（1）求的度数；

（2）求的值．

8．（2022·安徽模拟）如图，的半径为1，A、B、C是上的三个点，点P在劣弧AB上，，PC平分．

（1）求证：；

（2）当点P位于什么位置时，的面积最大？求出最大面积．

9．（2021·铁岭模拟）如图，半径为7的 上有一动点 ，点 为半径 上一点，且 最大为10，以 为边向外作正方形 ，连接 ． 

（1）请直接写出 的长；  

（2）过点 作 ，且 ，连接 ，在点 的运动过程中， 的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出 的长；  

（3）当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写 的长；  

（4）请直接写出 的最大值和最小值．