中考:妙法迭出的中点应用

一、基本图形

先谈谈与中点有关的基本定理与基本图形，如图1所示：

1.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

2.等腰三角形底边上的中线、底边上的高线以及顶角的平分线重合，简称“三线合一”；

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

4.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；

5.平行四边形的对角线互相平分；

由这些基本定理及其相关逆定理衍生出的基本图形，是我们处理中点问题的常见策略，如倍长中线等方法.结合面积问题，还会有“三角形的中线平分其面积”等结论.

二、例题呈现

（2017山东济南中考题）某学习小组在学习时遇到了下面的问题：

如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠CAB＝∠EAD＝60°，点E、A、C在同一条直线上，连接BD，F是BD的中点，连接EF、CF，试判断△CEF的形状并说明理由.

问题探究

(1)小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF＝CF.以下是她的证明过程：

请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图2中作出证明中所描述的辅助线；

②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）.

(2)在(1)的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状.

问题拓展

(3)如图3，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明.

三、解法初探

先解决第(2)小问：

再来解决最后一问：

第(3)小问，在题中交点P的提示下，联想到对称变换，将原来两个相似的直角三角形转化为两个相似的等腰三角形，如图6，

进一步得到如图7所示的全等三角形，

这个模型可形象地称为“共顶角顶点的双相似等腰三角形模型”，其必然会产生一个手拉手式的全等，这往往是解题的关键之所在.

四、妙法迭出

成也点P，败也点P.原题在点P的提示下，联想构造，得到方法一，但也正是点P的出现，在一定程度上限制了思维，略显多余.

“见中点，想中点；缺什么，补什么”，请看下面的中位线解法：

于是有∠FMA＋∠AME＝∠FNA＋∠ANC，即∠EMF＝∠FNC；

由此可得△EMF≌△FNC（SAS），故有EF＝FC且∠MFE＝∠NCF；

接下来，连续导角可得：∠EFC＝∠MFN－∠MFE－∠NFC＝（180°－∠FNA）－∠NCF－∠NFC＝（180°－∠FNA）－（∠NCF＋∠NFC）＝（180°－∠FNA）－（180°－∠FNC）＝∠FNC－∠FNA＝∠ANC＝2∠ABC＝60°，故△CEF为等边三角形，问题得解.

该解法忽略点P，通过再取中点，构造中位线模型，导边导角，进而解决问题.

见中点，除了可以联想构造常见的中位线模型，还可以尝试采取倍长中线的方法求解，具体如下：

方法三依然无视点P的干扰，我行我素，倍长中线，导边导角，巧借相似，从而顺利解决问题.有趣的是，此法与前两问中的特例关联性更大，重叠性更多.

既然可以倍长EF，当然也可以倍长CF，如图10所示，方法雷同，不再赘述.