中考热点:相似三角形专题

一、显性的“相等角”

题1：如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P共有                 (          )个.

 A.1              B.2           C.3          D.4

简析：首先画出两个目标相似三角形，再去分析问题：连接PD、PC，如图1-1所示；

接下来解决这个相似三角形存在性问题，只需两步，即可轻松搞定： 

第一步：先找到一组关键的“相等角”，在这道题目中很显然，两个相似三角形是直角三角形，∠A=∠B=90°是显然的，这两个相等的角一定是一组对应角，点A与点B一定是一组对应顶点；

第二步：上一步中找到的两个关键“相等角”的两邻边分两类对应成比例即可，即∠A的两边AD、AP与∠B的两边BC、BP分两类对应成比例，设元列方程即可；

设AP=x（0<x<8），则BP=8-x，分两种情形列方程：

解题后反思：

本题是一个相似三角形存在性问题，解决此种题型的关键要分两步走；

第一步：先找到一组关键的相等角，本题的相等角非常明显，即为直角；

第二步：再以这两个关键的相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程即可；

在第二步分类列方程中，建议同学们先固定一个三角形的顺序，将另一个三角形换个顺序即可：本例分的两种情形分别为：△ADP∽△BCP或△ADP∽△BPC，就是先固定第一个△ADP的顶点顺序，然后第二个△BCP中顶点C与P换个顺序即列出两种情形;

为此给同学们提供一道练习题，请你试一试，练一次就成了你的方法喽！

二、隐性的“相等角”

题2：如图2，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

(1)求抛物线的函数解析式．

(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．

(3)连接BC交x轴于点F．y轴上是否存在点P，使得△POC与△BOF相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）这是一个“名字（顺序）确定”的平行四边形存在性问题，由平行四边形AODE知：AO∥DE且AO=DE；

接下来，同学们可以用一把直尺以AO为起始位置，上下平移操作，平移后直尺与抛物线的交点为点D，与抛物线对称轴的交点为点E，找到DE=AO=2的大致位置，画出图形即可，注意因为平行四边形AODE顶点顺序已定，易知点D一定位于点E右侧，不要画出多余的不合名称的情形；

如图2-1，画出符合题意的图形，只有这一种情形，这里提供两种思路解决此问：

解题后反思：

思路一优势在不需添加其他辅助线，用最基本的设坐标法计算即可，但稍微饶了些许，偏代数一些；思路二构造的全等三角形是平行四边形问题中惯用伎俩，这对全等也是平行四边形问题“平移思想”的本质解释，是一种“改斜归正”常见的辅助线，计算简洁美观，偏几何一些，建议学生用心体味！两种方法，各有千秋，相得益彰！

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