中考数学 专题05 一次方程(组)(解析版)-备战2024年中考数学真题题源解密(全国通用)

本文《专题05 一次方程（组）（解析版）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）》是《备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）》系列中的专题。会对每个专题从知识目标、中考解密、考点回归、重点考向和最新真题荟萃多个方面进行分析。同时每个专题都有原卷版和解析版，资源展示的都是解析版，如果需要原卷版和全部题源word版本，可以按文末方式获取。建议可以在中考复习中使用。

专题05  一次方程（组）

目录一览

1. 掌握等式的基本性质；

2. 能解一元一次方程；掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组；

3. 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；

4. 能利用一次方程解决实际应用问题，并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．    

1．从考查的题型来看，填空题或选择题、解答题的形式都有考查,一般情况三种形式选择 其一,不同时存在一套试题,占比分相当大,难度属于中档题较多.

2．从考查内容来看,由实际问题抽象出一次方程组为主要考查，其次考查列一次方程组、 判断一次方程（组）的解、解一次方程组.

3．从考查热点来看,涉及本知识点的有:二元一次方程组的解法,由实际问题列出二元一次方程组,由二元一次方程组的解求有关问题等比较受命题者的关注.

►考向一 解一元一次方程

1．（2023•海南）若代数式x+2的值为7，则x等于（　　）

A．9       B．﹣9       C．5       D．﹣5

【思路点拨】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．

【规范解答】解：根据题意得：x+2＝7，

解得：x＝5．

故选：C．

【真题剖析】此题考查了解一元一次方程方程，根据题意列出方程是解本题的关键．

2．（2022•黔西南州）小明解方程﹣1＝的步骤如下：

解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①

去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②

移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③

合并同类项，得x＝﹣4④

以上解题步骤中，开始出错的一步是（　　）

A．①       B．②       C．③       D．④    

【思路点拨】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．

【规范解答】解：方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），

∴出错的步骤为：①，

故选：A．

【真题剖析】本题考查解一元一次方程，解题关键在于能准确观察出出错的步骤．

3．（2023•衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：

解：2×7x＝（4x﹣1）+1，

…

（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．

（2）写出你的解答过程．

【思路点拨】（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；

（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．

【规范解答】解：（1）如图：

（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，

去括号：14x＝4x﹣1+6，

移项：14x﹣4x＝﹣1+6，

合并同类项：10x＝5，

系数化1：x＝．

【真题剖析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．

►考向二  一元一次方程的应用

4．（2023•枣庄）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（　　）

A．240x+150x＝150×12       B．240x﹣150x＝240×12      

C．240x+150x＝240×12       D．240x﹣150x＝150×12

【思路点拨】利用路程＝速度×时间，结合x天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【规范解答】解：依题意得：240x﹣150x＝150×12．

故选：D．

【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

5．（2023•台湾）有一东西向的直线吊桥横跨溪谷，小维、阿良分别从西桥头、东桥头同时开始往吊桥的另一头笔直地走过去，如图所示，已知小维从西桥头走了84步，阿良从东桥头走了60步时，两人在吊桥上的某点交会，且交会之后阿良再走70步恰好走到西桥头，若小维每步的距离相等，阿良每步的距离相等，则交会之后小维再走多少步会恰好走到东桥头（　　）

A．46       B．50       C．60       D．72

【思路点拨】设交会之后小维再走x步会恰好走到东桥头，由题意得出，则可得出答案．

【规范解答】解：设交会之后小维再走x步会恰好走到东桥头，由题意得，    

，

∴x＝72，

故选：D．

【真题剖析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的运算，正确理解题意是解题的关键．

6．（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．

【思路点拨】设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，根据买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．

【规范解答】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x﹣3）元，

∵买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，

∴4x+6（x﹣3）＝62，

解得：x＝8；

答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．

【真题剖析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程解决问题．

►考向三  二元一次方程求解与应用

7．（2023•无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　）

A．       B．       C．       D．

【思路点拨】二元一次方程2x+y＝10的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．

【规范解答】解：A、把x＝1，y＝2代入方程，左边＝2+2＝右边，所以是方程的解；

B、把x＝2，y＝0代入方程，左边＝右边＝4，所以是方程的解；    

C、把x＝0.5，y＝3代入方程，左边＝4＝右边，所以是方程的解；

D、把x＝﹣2，y＝4代入方程，左边＝0≠右边，所以不是方程的解．

故选：D．

【真题剖析】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．

8．（2023•温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（　　）

A．x+y＝30       B．x+y＝30       C．x+y＝30       D．x+y＝30

【思路点拨】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是1.5x g，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．

【规范解答】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为x g，

∴碳水化合物含量是1.5x g．

根据题意得：1.5x+x+y＝30，

∴x+y＝30．

故选：A．

【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

9．（2023•齐齐哈尔）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（　　）

A．5种       B．6种       C．7种       D．8种

【思路点拨】设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，根据“长度为150cm的导线”列出二元一次方程，求正整数解即可．

【规范解答】解：设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，

根据题意得10x+20y＝150，

∴x＝15﹣2y，    

∵15﹣2y＞0，

∴y＜7.5，

∵y是正整数，

∴y的值为1，2，3，4，5，6，7，

即截取方案共有7种．

故选：C．

【真题剖析】本题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程是解决问题的关键．

►考向四  解二元一次方程组

10．（2023•眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　）

A．0       B．1       C．2       D．3

【思路点拨】把方程组的两个方程相减得到2x﹣2y＝2m+6，结合x﹣y＝4，得到m的值．

【规范解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为，

①﹣②，得：

2x﹣2y＝2m+6，

∴x﹣y＝m+3，

∵x﹣y＝4，

∴m+3＝4，

∴m＝1．

故选：B．

【真题剖析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相减得到m的方程，此题难度不大．

11．（2023•衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（　　）

A．       B．       C．       D．

【思路点拨】代入x，y的值，找出方程左边＝方程右边的选项，即可得出结论．    

【规范解答】解：A．当x＝1，y＝2时，方程左边＝2×1+3×2＝8，方程右边＝8，

∴方程左边＝方程右边，选项A符合题意；

B．当x＝2，y＝1时，方程左边＝2×2+3×1＝7，方程右边＝8，7≠8，

∴方程左边≠方程右边，选项B不符合题意；

C．当x＝﹣1，y＝2时，方程左边＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右边＝8，4≠8，

∴方程左边≠方程右边，选项C不符合题意；

D．当x＝2，y＝4时，方程左边＝2×2+3×4＝16，方程右边＝8，16≠8，

∴方程左边≠方程右边，选项D不符合题意．

故选：A．

【真题剖析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等

12．（2023•朝阳）已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为 　2　．

【思路点拨】利用方程①﹣方程②，可得出x﹣y＝a+2，结合x﹣y＝4，可得出a+2＝4，解之即可得出a的值．

【规范解答】解：，

①﹣②得：x﹣y＝a+2，

又∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，

∴a+2＝4，

∴a＝2．

故答案为：2．

【真题剖析】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，根据二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，找出关于a的一元一次方程是解题的关键．

►考向五  二元一次方程组的应用

13．（2023•巴中）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（　　）

A．6       B．8       C．12       D．16

【思路点拨】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x个，底面的数量为3y个，然后根据等量关系：底面数量＝侧面数量的2倍，列出方程组即可．

【规范解答】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，

由题意得，，

解得 ，

∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．

故选：C．

【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．还需注意本题的等量关系是：底面数量＝侧面数量的2倍．

14．（2023•吉林）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．

【思路点拨】设每箱A种鱼的价格为x元，每箱B种鱼的价格为y元，由题意得x，y的二元一次方程，解得即可．

【规范解答】解：设每箱A种鱼的价格为x元，每箱B种鱼的价格为y元，由题意得，

，    

解得，

答：每箱A种鱼价格是700元，每箱B种鱼的价格300元．

【真题剖析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．

15．（2023•盐城）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 　7人　．

【思路点拨】设该问题中的人数为x人，物品的价格为y钱，根据“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【规范解答】解：设该问题中的人数为x人，物品的价格为y钱，

根据题意得：，

解得：，

∴该问题中的人数为7人．

故答案为：7人．

【真题剖析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

►考向六  三元一次方程组的应用

16．（2023•台湾）已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜40元，阿俊打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜10元，则根据题意可得到下列哪一个结论（　　）

A．一份套餐的价钱必为140元      

B．一份套餐的价钱必为120元      

C．单点一片鸡排的价钱必为90元      

D．单点一片鸡排的价钱必为70元

【思路点拨】设一片鸡排的价钱为x元，一杯可乐的价钱为y元，一份套餐的价钱为z元，根据题意列方程求解即可．    

【规范解答】解：设一片鸡排的价钱为x元，一杯可乐的价钱为y元，一份套餐的价钱为z元，根据题意得：

，

①×2﹣②得：x＝90，

∴一片鸡排的价钱为90元．

另解：

设一份鸡排的价格为x元，杯可乐的价格为y元，由条件得，

x+2y+10＝2x+2y﹣2×40

∴x＝90

∴一份鸡排的价格是90元．

故选：C．

【真题剖析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设出未知数，根据题意找对等量关系是解决本题的关键．

17．（2021•重庆）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为　155　元．

【思路点拨】根据题意确定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，列代数式即可．

【规范解答】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；

∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（个），

∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，    

∴B盒中有多接口优盘10×＝5（个），蓝牙耳机有5×＝3（个），迷你音箱有10﹣5﹣3＝2（个），

设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，

由题知：，

∵①×2﹣②得：a+b＝45，

②×2﹣①×3得：b+c＝55，

∴C盒的成本为：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），

故答案为：155．

【真题剖析】本题主要考查列代数式和代数式的运算，利用A、B盒中的价格关系求出C盒的价格是解题的关键．

1．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（　　）

A．x＝4       B．x＝﹣4       C．x＝7       D．x＝﹣7

【思路点拨】方程移项合并，即可求出解．

【规范解答】解：移项得：3x﹣2x＝7，

合并同类项得：x＝7．

故选：C．

【真题剖析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．（2023•连云港）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　）

A．＝       B．＝﹣12      

C．240（x﹣12）＝150x       D．240x＝150（x+12）

【思路点拨】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了（x+12）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【规范解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，    

∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．

根据题意得：240x＝150（x+12）．

故选：D．

【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

3．（2023•黑龙江）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（　　）

A．5种       B．6种       C．7种       D．8种

【思路点拨】当购买5本A种图书时，设购买x本B种图书，y本C种图书，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出当购买5本A种图书时，有3种采购方案；当购买6本A种图书时，设购买m本B种图书，n本C种图书，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出当购买6本A种图书时，有3种采购方案，进而可得出此次采购的方案有6种．

【规范解答】解：当购买5本A种图书时，设购买x本B种图书，y本C种图书，

根据题意得：30×5+25x+20y＝500，

∴x＝14﹣y，

又∵x，y均为正整数，

∴或或，

∴当购买5本A种图书时，有3种采购方案；

当购买6本A种图书时，设购买m本B种图书，n本C种图书，

根据题意得：30×6+25m+20n＝500，

∴n＝16﹣m，

又∵m，n均为正整数，

∴或或，    

∴当购买6本A种图书时，有3种采购方案．

∴此次采购的方案有3+3＝6（种）．

故选：B．

【真题剖析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

4．（2023•甘孜州）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（　　）

A．       B．      

C．       D．

【思路点拨】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．

【规范解答】解：由题意得：，

故选：A．

【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．

5．（2023•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（　　）

A．      

B．      

C．          

D．

【思路点拨】根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相

交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【规范解答】解：∵甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，

∴9x＝11y；

∵两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，

∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．

根据题意可列方程组．

故选：C．

【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

6．（2023•衡阳）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”

设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（　　）

A．       B．      

C．       D．

【思路点拨】根据今有鸡兔同笼，上有三十五头，可以得到x+y＝35，再根据下有九十四足，可以得到2x+4y＝94，然后即可得到相应的方程组．

【规范解答】解：由题意可得，

，

故选：C．

【真题剖析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

7．（2023•陕西）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？    

【思路点拨】根据“如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗，小组数目不变”列方程求解．

【规范解答】解：设学校这次共买了x棵树苗，

则：＝，

解得：x＝81，

答：学校这次共买了81棵树苗．

【真题剖析】本题考查了一元一次方程是应用，找到相等关系是解题的关键．

8．（2022•威海）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 　1　．

【思路点拨】不知x的正负，因此需要分类讨论，分别求解．

【规范解答】解：当x＞0时，+1＝2，

解并检验得x＝1．

当x≤0时，2x﹣1＝2，

解得x＝1.5，

∵1.5＞0，舍去．

所以x＝1．

故答案为：x＝1．

【真题剖析】本题中的字母表示的数没有明确告知正负数时，需要分类讨论，再代入解方程，注意：解必须在条件下才成立．    

9．（2023•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 　5x+45＝7x+3　．

【思路点拨】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程即可．

【规范解答】解：设合伙人数为x人，

依题意，得：5x+45＝7x+3．

故答案为：5x+45＝7x+3．

【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

10．（2023•大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何．”其大意是：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、鸡价各是多少．”设共有x人合伙买鸡，根据题意，可列方程为 　9x﹣11＝6x+16　．

【思路点拨】根据“鸡的钱数不变”，列方程求解．

【规范解答】解：由题意得：9x﹣11＝6x+16，

故答案为：9x﹣11＝6x+16．

【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找到相等关系是解题的关键．

11．（2023•丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 　　斤．

【思路点拨】可设原有生丝为x斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解．

【规范解答】解：设原有生丝为x斤，

x：12＝30：（30﹣3），

解得x＝．    

故原有生丝为斤．

故答案为：．

【真题剖析】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键．

12．（2023•德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝　39　．

【思路点拨】设九宫格中最中间的数为x，由于第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，建立方程16+4＝7+x，求得x，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍所以m＝3x．

【规范解答】解：设九宫格中最中间的数为x，

∵第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，

∴16+4＝7+x，

∴x＝13，

根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍，

∴m＝3x＝39，

故答案为：39．

【真题剖析】本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．

13．（2023•河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如下：

在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次．脱靶4次．

（1）求珍珍第一局的得分；

（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．

【思路点拨】（1）根据题意列出算式可求解；

（2）由题意列出方程可求解．

【规范解答】解：（1）由题意可得：4×3+2×1+4×（﹣2）＝6（分），

答：珍珍第一局的得分为6分；

（2）由题意可得：3k+3×1+（10﹣k﹣3）×（﹣2）＝6+13，

解得：k＝6．

∴k的值为6．

【真题剖析】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．

14．（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．    

【思路点拨】设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，根据题意得列方程即可得到结论．

【规范解答】解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，

根据题意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，

解得x＝4，

答：边的宽为4cm，天头长为24cm．

【真题剖析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键．

15．（2023•重庆）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种，甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．

（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？

（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？

【思路点拨】（1）设乙区有农田x亩，则甲区有农田（x+10000）亩，根据“甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同”，可得出关于x的一元一次方程，解之可得出乙区的农田亩数，再将其代入（x+10000）中，即可求出甲区的农田亩数；    

（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒（y﹣）亩，根据派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），可得出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．

【规范解答】解：（1）设乙区有农田x亩，则甲区有农田（x+10000）亩，

根据题意得：80%（x+10000）＝x，

解得：x＝40000，

∴x+10000＝40000+10000＝50000．

答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩；

（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒（y﹣）亩，

根据题意得：＝×1.2，

解得：y＝100，

经检验，y＝100是所列分式方程的解，且符合题意．

答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．

【真题剖析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．

16．（2023•西藏）列方程（组）解应用题

如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成．

（1）求一块长方形墙砖的长和宽；

（2）求电视背景墙的面积．    

【思路点拨】（1）首先设一块长方形墙砖的长为x，宽为y，然后用x，y的代数式分别表示出长方形的两条长边分别为2x，x+4y，宽为x+y，进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案；

（2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案．

【规范解答】解：（1）设一块长方形墙砖的长为x m，宽为y m．

依题意得：，解得：，

答：一块长方形墙砖的长为1.2m，宽为0.3m．

（2）求电视背景墙的面积为：2×1.2×1.5＝3.6（m²）．

答：电视背景墙的面积为3.6m²．

【真题剖析】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键．

17．（2023•海南）2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功，为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，问甲、乙两种型号客车各租多少辆？

【思路点拨】设租用甲型车x辆，乙型车y辆，可得：，即可解得答案．

【规范解答】解：设租用甲型车x辆，乙型车y辆，

根据题意得：，

解得，

答：租用甲型车5辆，乙型车10辆．

【真题剖析】本题考二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程组．    

的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．

18．（2023•河南）方程组的解为 　　．

【思路点拨】利用加减消元法求解或代入消元法求解都比较简便．

【规范解答】解：，

①+②，得4x+4y＝12，

∴x+y＝3③．

①﹣③，得2x＝2，

∴x＝1．

②﹣①，得2y＝4，

∴y＝2．

∴原方程组的解为．

故答案为：．

【真题剖析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．

19．（2023•连云港）解方程组．

【思路点拨】利用加减消元法解方程组即可．

【规范解答】解：，

①+②得：5x＝15，

解得：x＝3，

将x＝3代入①得：3×3+y＝8，

解得：y＝﹣1，

故原方程组的解为：．

【真题剖析】本题考查解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本方法为代入消元法和加减消元法，必须熟练掌握．    

20．（2023•西宁）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（　　）

A．       B．      

C．       D．

【思路点拨】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可以列出相应的方程组，本题得以解决．

【规范解答】解：由题意可得，

，

故选：A．

【真题剖析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

21．（2023•重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．

（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？

（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？

【思路点拨】（1）设购买杂酱面x份，牛肉面y份，利用总价＝单价×数量，结合该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买牛肉面m份，则购买杂酱面（1+50%）m份，利用单价＝总价÷数量，结合每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，可得出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．

【规范解答】解：（1）设购买杂酱面x份，牛肉面y份，    

根据题意得：，

解得：．

答：购买杂酱面80份，牛肉面90份；

（2）设购买牛肉面m份，则购买杂酱面（1+50%）m份，

根据题意得：﹣＝6，

解得：m＝60，

经检验，m＝60是所列方程的解，且符合题意．

答：购买牛肉面60份．

【真题剖析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．

22．（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：

（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？

（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？

【思路点拨】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+15＝师生总数，60×（45座客车辆数﹣3）＝师生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；

（2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍．

【规范解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．

根据题意，得，

解得．    

答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；

（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），

租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），

∵2800＜3000，

∴租用14辆45座客车更合算．

【真题剖析】本题考查二元一次方程的应用，注意租车时最后一辆不管几个人都要用一辆，所以在计算车的辆数时用“收尾法”，而不是“四舍五入”．

23．（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．

（1）求A，B玩具的单价；

（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？

【思路点拨】（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，根据购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元元列出方程，求出方程的解即可得到结果；

（2）设商场最多可以购置A玩具y个，根据B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元列出不等式，求出不等式的解即可得到结果．

【规范解答】解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，

根据题意得：2（x+25）+x＝200，

解得：x＝50，

可得x+25＝50+25＝75，

则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；

（2）设商场可以购置A玩具y个，

根据题意得：50y+75×2y≤20000，

解得：y≤100，

则最多可以购置A玩具100个．

【真题剖析】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系和不等关系是解本题的关键．    

24．（2020•重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是　1：8　．

【思路点拨】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，由题意列出方程组，可求a，b的值，即可求解．

【规范解答】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，

由题意可得：，

解得：，

∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比＝（5b﹣5a）：20b＝1：8，

故答案为：1：8．

【真题剖析】本题考查了三元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的等量关系是本题的关键