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中考数学 | 证明【三角形相似】的5种常考方法.

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中考数学

证明【三角形相似】

5种常考方法

【方法一】利用平行线判定两三角形相似
1、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.
中考数学 | 证明【三角形相似】的5种常考方法. 第1张
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；
解：△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，
△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.
(2)求BP：PQ：QR.
解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形．
∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，
∴△BCP∽△BER，
则PC/RE＝BP＝BR＝BC/BE＝1/2，
∴BP＝PR，PC/RE＝1/2.
∵点R是DE的中点，∴DR＝RE.
又PC∥DR，∴PQ/QR＝PC/DR＝PC/RE＝1/2.
∴QR＝2PQ.
又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，
∴BP：PQ：QR＝3：1：2.
【方法二】利用边或角的关系判定两直角三角形相似
2、如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝9.3，CE＝3.1，求证：△ABC∽△DEC.
中考数学 | 证明【三角形相似】的5种常考方法. 第2张
解：证明：∵AD＝6.4，CD＝1.6，
∴AC＝AD－CD＝6.4－1.6＝4.8.
∴AN/CD＝4.8/1.6＝3.
又∵BC/ED＝9.3/3.1＝3，∴AC/CD＝BC/EC
又∵BC⊥AD，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴△ABC∽△DEC.
【方法三】利用角判定两三角形相似
3、如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E.
中考数学 | 证明【三角形相似】的5种常考方法. 第3张
(1)求证：△ABD∽△CED；
解：证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°.∴∠ACF＝120°.
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝1/2∠ACF＝1/2×120°＝60°.
∴∠A＝∠ACE.
又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED.
(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
解：如图，作BM⊥AC于点M，
中考数学 | 证明【三角形相似】的5种常考方法. 第4张
则AM＝CM＝3，BM＝3√3.
∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4.则MD＝1.
在Rt△BDM中，BD＝√BM²+MD²＝2√7.
由△ABD∽△CED得BD/ED＝AD/CD，即2√7/ED＝2，
∴ED＝√7.∴BE＝BD＋ED＝3√7.
【方法四】利用边角判定两三角形相似
4、如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE.
中考数学 | 证明【三角形相似】的5种常考方法. 第5张
解：证明：∵BD∥AC，
点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA＝∠CAE，
又∵AB/AC＝BD/AE＝3，
∴△ABD∽△CAE.
【方法五】利用三边判定两三角形相似
5、如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.
中考数学 | 证明【三角形相似】的5种常考方法. 第6张
解：证明：∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BD.
又∵E，F分别是AB，AC的中点．
∴在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线．
∴DE＝1/2AB，即DE/AB＝1/2.
同理DF/AC＝1/2.
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF＝1/2BC，即EF/BC＝1/2.
∴DE/AB＝EF/BC＝DF/AC.
∴△DEF∽△ABC.
中考数学 | 证明【三角形相似】的5种常考方法. 第7张
中考数学 | 证明【三角形相似】的5种常考方法. 第8张
中考数学 | 证明【三角形相似】的5种常考方法. 第9张

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中考数学 | 证明【三角形相似】的5种常考方法. 第7张

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