第94期【中考复习系列】在不等式中应用数形结合思想

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第94期【中考复习系列】在不等式中应用数形结合思想 第1张

教师简介:王保国,男,高级讲师,经常参与我县中小学听评课及课堂教学培训活动。2014年5月为《初中学科教师专业发展指导.数学》一书写作部分内容。临漳县拔尖人才,邯郸市优秀教师,河北省骨干教师,河北省特级教师,多次被评为邯郸市“一小时”培训优秀授课教师,多次被邯郸市教育局评为优秀辅导教师。邯郸市姜红梅初中数学名师工作室成员,临漳县初中数学名师工作室主持人。多年从事数学教学、研究及教师培训工作。《分类思想在课堂教学之中应用》《课堂小结的“六要”》等多篇论文在《中小学数学》与《小学教学参考》杂志上发表,2008年主持省级课题《提高教师新课程实施能力的途径与方式研究》等多个课题已结题,2020年主持的市规划课题《初中数学解题教学研究》于2024年7月已结题。且2013年1月主持的课题《初中数学课堂教学探究性学习研究》被邯郸市科协与教育局评为三等奖。在教师培训上,能从理论与实践两方面与教师交流,课堂教学效果好,如《核心素养下教学设计与策略》《核心素养下课堂教学》等受到教师好评。
一、考点分析
1. 数形结合思想
数形结合是数学解题中常用的思想方法之一。所谓数形结合,就是根据之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合思想可以使数学领域中,某些抽象的问题直观化、具体化、生动化,能够变抽象思维为形象思维。
在解有关不等式的问题时,有些问题需要我们借助图形来给出解答。解决此类问题时,要充分利用图形反馈的信息,或将文字信息反馈到图形上,做到有数思形,有形思数,顺利解决问题。
2. 用数轴表示不等式(组)的解集
在解不等式(组)时,可以通过数轴找出解集。
例题  已知关于x的不等式
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的整数解共有3个,则b的取值范围是     
解析:解决问题时,如果不结合图形,那么难度就会很大,所以为了顺利的解决问题,先化简原不等式组,得
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将其中的
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表示在数轴上如图,b的位置应是题意中告知的原不等式组有三个整数解,所以b必须包含567三个整数。所以b的取值范围是
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将数与形结合起来,方便于问题的解决。
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答案:
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二、用数轴求不等式(组)的解或字母的取值范围
例题1  求不等式
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的负整数解。
解析:首先,按照解一元一次不等式的步骤,求得不等式的解集;其次,把不等式的解集在数轴上表示出来,简单的,也可以不用数轴表示;最后,结合数轴确定不等式的特殊解。
答案:去括号,得:2x11≥x9
移项、合并同类项,得:2xx≥93x≥9
不等式两边同时除以3,得:x≥3
数轴表示为:如图所示,
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结合数轴,知道原不等式的负整数解有-3,-2,-1一共三个。
故答案为-3,-2,-1
点拨:在数轴上表示不等式的解集时,要注意如下口诀:
数轴上描解集,不等符号看仔细,
有等号实心点,要把该数包裹严,
没等号空心圆,该数占据圆心点,
位置确定还不全,最后再把方向添,
大于号向右靠,小于向左错不了。
小口诀要记牢,包你解题快又好。
例题2  如果不等式组
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的解集是x3,那么m的取值范围是(   
A. m=3 B. m≥3    C. m3     D. m≤3
解析:同学们先按照解不等式组的基本步骤,求得不等式组的解集,然后利用数轴,把解集在数轴上表示出来,因为不等式组有解,所以,在数轴上表示时,表示解集范围的两条射线,一定有公共部分。所以,同学们先在数轴上表示出解集的大致范围,然后根据范围的描述,就可以确定字母的范围。
答案:因为,不等式(1)的解集是x3;不等式(2)的解集是:xm
以及不等式组
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的解集是x3
所以,不等式组的解集在数轴上的大致范围,如图所示,
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仔细观察数轴,要想保证有公共部分,不等式的解集xm的部分,必须在x3的左边,因此,m的范围应该是:m≤3,所以,我们应该选择D
答案:D
点拨:确定不等式组的解集一般有两种方法,即口诀法和数轴法,具体地可归纳如下表所示:
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三、与函数图象结合求不等式(组)的解集
例题(黔西)如图,函数y=2xy=ax+4的图象相交于点Am3),则不等式2x<ax+4的解集为(   
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解析:本题考查了一次函数与不等式之间的关系,解答本题的关键是求出m的值。要求不等式k1x<k2x+b的解集。即相当于比较两个一次函数值的大小,而从图象上可以直接捕捉到求解的信息。所以先利用函数y=2x求出点A的坐标,最后根据图象求出不等式的解集。
答案:A
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点拨:1. 利用一次函数确定不等式解集的关键是能够正确的理解图象的意义,准确地从函数图象中捕捉数的信息。
例题(山西)某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案。印刷厂有甲、乙两种
收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图所示:
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1)填空:甲种收费方式的函数关系式是             。乙种收费方式的函数关系式是     
2)该校某年级每次需印制100~450(含100450)份学案,选择哪种印刷方式较合算。
解析:本题是一次函数与不等式的综合应用。从图象中确定两点的坐标进而确定一次函数的解析式,再根据两函数解析式建立不等式,通过解不等式求得最佳印刷方式。
答案:1)由题图可知甲种收费方式的函数关系为:y=0.1x+6,乙种收费方式的函数关系式为y=0.12x
2)由0.1x+60.12x,得x300;由0.1x+6=0.12x,得x=300;由0.1x+60.12x,得x300
由此可知:当100≤x300时,选择乙种方式较合算;当x=300时,选择甲乙两种方式都可以;当300x≤450时,选择甲种方式较合算。
点拨:1. 两点法求一次函数的解析式,比较两种印刷方式的优劣需要借助于不等式进行。这一个知识点也是考试命题的热点。2. 有关不等式与函数结合的试题大致有两种情形:一是通过函数图象,利用不等式比较大小,二是利用不等式与函数结合确定最优方案和最值问题。
四、自主练习
1. (山东)若把不等式组
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的解集在数轴上表示出来,则其对应的图形为(   
A. 长方形      B. 线段      C. 射线      D. 直线
2. (浙江)若实数abc在数轴上对应位置如图所示,则下列不等式成立的是(    
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3. 某不等式组的解集在数轴上表示如图,则这个不等式组可能是(   
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12. (贵州)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒,乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍,考虑各种因素,预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示。当购进的甲、乙品牌的文具盒中,甲有120个时,购进甲、乙品牌文具盒共需7200元。
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1)根据图象,求yx之问的函数关系式;
2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价;
3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元,每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元,根据学生需求,超市老板决定,准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒,且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元。问该超市有几种进货方案?哪种方案能使获利最大?最大获利为多少元?

供稿:王保国   编辑:刘素萍 杨艳飞  编审:王保国

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