第94期【中考复习系列】在不等式中应用数形结合思想
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教师简介：王保国，男，高级讲师，经常参与我县中小学听评课及课堂教学培训活动。2014年5月为《初中学科教师专业发展指导.数学》一书写作部分内容。临漳县拔尖人才，邯郸市优秀教师，河北省骨干教师，河北省特级教师，多次被评为邯郸市“一小时”培训优秀授课教师，多次被邯郸市教育局评为优秀辅导教师。邯郸市姜红梅初中数学名师工作室成员，临漳县初中数学名师工作室主持人。多年从事数学教学、研究及教师培训工作。《分类思想在课堂教学之中应用》《课堂小结的“六要”》等多篇论文在《中小学数学》与《小学教学参考》杂志上发表，2008年主持省级课题《提高教师新课程实施能力的途径与方式研究》等多个课题已结题，2020年主持的市规划课题《初中数学解题教学研究》于2024年7月已结题。且2013年1月主持的课题《初中数学课堂教学探究性学习研究》被邯郸市科协与教育局评为三等奖。在教师培训上，能从理论与实践两方面与教师交流，课堂教学效果好，如《核心素养下教学设计与策略》《核心素养下课堂教学》等受到教师好评。数形结合是数学解题中常用的思想方法之一。所谓数形结合，就是根据“数”与“形”之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合思想可以使数学领域中，某些抽象的问题直观化、具体化、生动化，能够变抽象思维为形象思维。在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答。解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题。解析：解决问题时，如果不结合图形，那么难度就会很大，所以为了顺利的解决问题，先化简原不等式组，得表示在数轴上如图，b的位置应是题意中告知的原不等式组有三个整数解，所以b必须包含5，6，7三个整数。所以b的取值范围是解析：首先，按照解一元一次不等式的步骤，求得不等式的解集；其次，把不等式的解集在数轴上表示出来，简单的，也可以不用数轴表示；最后，结合数轴确定不等式的特殊解。移项、合并同类项，得：2x＋x≥－9，3x≥－9，结合数轴，知道原不等式的负整数解有－3，－2，－1一共三个。点拨：在数轴上表示不等式的解集时，要注意如下口诀：A. m=3 B.
m≥3 C. m＜3 D. m≤3解析：同学们先按照解不等式组的基本步骤，求得不等式组的解集，然后利用数轴，把解集在数轴上表示出来，因为不等式组有解，所以，在数轴上表示时，表示解集范围的两条射线，一定有公共部分。所以，同学们先在数轴上表示出解集的大致范围，然后根据范围的描述，就可以确定字母的范围。答案：因为，不等式（1）的解集是x＞3；不等式（2）的解集是：x＞m，所以，不等式组的解集在数轴上的大致范围，如图所示，仔细观察数轴，要想保证有公共部分，不等式的解集x＞m的部分，必须在x＞3的左边，因此，m的范围应该是：m≤3，所以，我们应该选择D。点拨：确定不等式组的解集一般有两种方法，即口诀法和数轴法，具体地可归纳如下表所示：例题1 （黔西）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x<ax+4的解集为（ ）解析：本题考查了一次函数与不等式之间的关系，解答本题的关键是求出m的值。要求不等式k1x<k2x+b的解集。即相当于比较两个一次函数值的大小，而从图象上可以直接捕捉到求解的信息。所以先利用函数y=2x求出点A的坐标，最后根据图象求出不等式的解集。点拨：1. 利用一次函数确定不等式解集的关键是能够正确的理解图象的意义，准确地从函数图象中捕捉数的信息。例题2 （山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是 。乙种收费方式的函数关系式是 。（2）该校某年级每次需印制100~450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算。解析：本题是一次函数与不等式的综合应用。从图象中确定两点的坐标进而确定一次函数的解析式，再根据两函数解析式建立不等式，通过解不等式求得最佳印刷方式。答案：（1）由题图可知甲种收费方式的函数关系为：y=0.1x+6，乙种收费方式的函数关系式为y=0.12x（2）由0.1x+6＞0.12x，得x＜300；由0.1x+6=0.12x，得x=300；由0.1x+6＜0.12x，得x＞300。由此可知：当100≤x＜300时，选择乙种方式较合算；当x=300时，选择甲乙两种方式都可以；当300＜x≤450时，选择甲种方式较合算。点拨：1. 两点法求一次函数的解析式，比较两种印刷方式的优劣需要借助于不等式进行。这一个知识点也是考试命题的热点。2. 有关不等式与函数结合的试题大致有两种情形：一是通过函数图象，利用不等式比较大小，二是利用不等式与函数结合确定最优方案和最值问题。2. （浙江）若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）3. 某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（ ）12. （贵州）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示。当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元。（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元。问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？供稿：王保国 编辑：刘素萍 杨艳飞 编审：王保国
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