这篇文章把初一期中卷上最常考的六类应用题一次讲透。每道题都给完整解析，看完对着孩子的卷子找一找，卡在哪一类。
先把一件事说清楚
应用题再花哨，落到纸上只有两件事：
• 设谁：把要求的量设成 x
• 抓哪句：题目里一定有一句话在讲「谁等于谁」
这两件事做好了，方程就是那句话照抄下来。
■设未知数，只挑最省事的那一个
不是所有量都适合设。判断标准很简单：设了它，别的量都能用它表示出来。
比如「甲比乙多 20」，设乙为 x，甲就是 x＋20，一句话搞定；设甲为 x，乙就得写 x−20，后面每用一次都多一层括号，容易错。
设小不设大，设少不设多。这是初一阶段最实用的一条。
■抓等量关系，先找「一共」「相等」「是……的几倍」
题目里这几类词，基本就是等号的落点：
• 一共、总共、合计 → 加起来等于总数
• 一样多、相等、恰好配套 → 两边相等
• 是……的几倍、比……多几 → 乘或加
找到这一句，方程的左边和右边就有了。
两个东西从两头往中间走，是最基础的相遇模型。
典型题：甲乙两地相距 240 千米，两车同时从两地相向开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米，几小时后两车相遇？
解析：
设 x 小时后相遇。
等量关系是「甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离」：
• 60x＋40x＝240
• 100x＝240
• x＝2.4
答：2.4 小时后相遇。
验一下：60×2.4＝144，40×2.4＝96，144＋96＝240，对上了。
方法总结：相遇问题的骨架就是「速度相加 × 时间 ＝ 总路程」。两个速度加起来，是因为两车同时在缩短这段距离。
易错提醒：设未知数时一定要带单位，「设 x 小时」不是「设 x」。这一步不写单位，最后答句基本都会漏。
一个先走、一个后追，核心是「追的人走的路程＝被追的人走的路程」。
典型题：甲以每小时 5 千米的速度步行，出发 2 小时后，乙骑车以每小时 15 千米的速度沿同一路线追。乙出发几小时后追上甲？
解析：
设乙出发 x 小时后追上。
乙走的路程是 15x；甲一共走了 x＋2 小时，路程是 5(x＋2)。追上的时候，两人路程一样：
• 15x＝5(x＋2)
• 15x＝5x＋10
• 10x＝10
• x＝1
答：乙出发 1 小时后追上。
验：乙走了 15 千米，甲走了 3 小时共 15 千米，一样。
方法总结：追及问题里，最容易错的是「甲走了几小时」。甲先走了 2 小时，加上乙追的 x 小时，甲一共走了 x＋2 小时。这个「＋2」漏掉，方程就废了。
易错提醒：题目问「乙出发几小时后追上」，就设乙出发 x 小时。别设成甲走的总时间，不然最后还得再减一次，容易算错。
工程问题不带具体工作量，把整项工程看成 1。
典型题：一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。两人合作，几天完成？
解析：
设合作 x 天完成。
甲每天做整项工程的 1/12，乙每天做 1/18，两人一起做 x 天正好做完：
• x/12＋x/18＝1
两边同乘 36：
• 3x＋2x＝36
• 5x＝36
• x＝7.2
答：合作 7.2 天完成。
验：7.2÷12＝0.6，7.2÷18＝0.4，0.6＋0.4＝1，正好一整项。
方法总结：工程问题三句话——工作量设成 1，效率＝1÷时间，工作量＝效率×时间。这三句背下来，这类题就没有新东西了。
易错提醒：答案出现小数不用慌，7.2 天是正常的。工程题的答案不一定是整数，孩子常常以为自己算错了，把对的改成错的。
进价、标价、售价、利润、利润率，五个词绕在一起，先理清谁乘谁。
典型题：某商品进价 200 元，标价 320 元。按标价打八折销售，利润率是多少？若要使利润率不低于 20%，最低可以打几折？
解析：
第一问：打八折后的售价是 320×0.8＝256 元。
利润＝售价−进价＝256−200＝56 元。
利润率＝利润÷进价＝56÷200＝0.28，也就是 28%。
第二问：设最低打 x 折。
要利润率 20%，售价至少是 200×(1＋20%)＝240 元。
• 320×x/10＝240
• x＝7.5
答：打八折时利润率 28%；最低打七五折。
验：320×0.75＝240，240−200＝40，40÷200＝20%，正好卡在 20%。
方法总结：利润率的分母永远是进价，不是售价。这一条记死，销售题一半的错就没了。
易错提醒：「打八折」是乘 0.8，「打八折」不是减 8 元，也不是乘 8。孩子写成 320−8 或者 320×8 的，都见过。
一个螺钉配两个螺母，这类题的等号藏在「配套比例」里。
典型题：某车间 22 名工人生产螺钉和螺母，每人每天可生产螺钉 1200 个或螺母 2000 个。1 个螺钉要配 2 个螺母，怎样分配人数，才能使每天生产的螺钉和螺母刚好配套？
解析：
设 x 人生产螺钉，则 22−x 人生产螺母。
螺钉总数 1200x，螺母总数 2000(22−x)。
配套要求螺母是螺钉的 2 倍：
• 2000(22−x)＝2×1200x
• 44000−2000x＝2400x
• 44000＝4400x
• x＝10
答：10 人生产螺钉，12 人生产螺母。
验：螺钉 12000 个，螺母 24000 个，正好 1 比 2。
方法总结：配套题的等号，看「1 个 A 配几个 B」。1 配 2，就是 B 的总数等于 A 的总数乘 2。配比是几比几，方程就按那个比例写。
易错提醒：这类题最容易漏掉那个「×2」。孩子算出 1200x＝2000(22−x)，得 x＝13.75，人不能是小数，他还以为是自己算错了，其实是方程列错了。
出租车、水电费、快递费，都是分段计费。前一档一个价，超过的部分另一个价。
典型题：某市出租车起步价 10 元，含 3 公里；超过 3 公里的部分，每公里 2.4 元。小明打车付了 34 元，他坐了多少公里？
解析：
设坐了 x 公里，x 一定大于 3。
前 3 公里 10 元，超出的 x−3 公里按 2.4 元算：
• 10＋2.4(x−3)＝34
• 2.4(x−3)＝24
• x−3＝10
• x＝13
答：坐了 13 公里。
验：10＋2.4×10＝34，对上了。
方法总结：分段计费的方程只有一个骨架——「第一段固定价＋超出部分单价×超出量＝总价」。超出量永远是「总量减去第一段的量」。
易错提醒：把总里程直接乘单价，写成 2.4x＝34，是最常见的错。前 3 公里不是按 2.4 元算的，那一段已经被起步价包住了。
六个题型，其实只有一个动作
看完这六类，你会发现它们长得不一样，做起来是同一件事：
从题目里挑出一句「谁等于谁」，然后把这句翻译成方程。
• 相遇：甲的路程＋乙的路程＝总路程
• 追及：追的人的路程＝被追的人的路程
• 工程：甲的效率×时间＋乙的效率×时间＝1
• 销售：售价−进价＝进价×利润率
• 配套：B 的数量＝A 的数量×配比
• 分段：固定价＋超出部分＝总价
六个等式，六句话。孩子记不住六个题型，但能记住「先找那句相等的话」。
易错点汇总，考前扫一眼
第一处：设未知数不带单位。「设 x 小时」「设 x 人」，单位写上去，答句才不会漏。
第二处：单位不统一。题目里分钟和小时混着给，米和千米混着给，先统一再列式。
第三处：等量关系只写一半。配套题忘了乘 2，追及题忘了加先走的那段，都是「只写了一半」。
第四处：解完不代回。方程解出来不等于做完。把答案代回题目读一遍，读得通才算对。
每天十分钟，练一个动作
不用刷一整套卷子。每天挑一道应用题，只做一件事：让孩子把「哪句话变成了等式」指给你看。
指得出来，说明他真懂了；指不出来，说明他还在背题型。
背题型的孩子，题目一变就废；会找那句话的孩子，题型再多也不怕。
这一步练顺了，初一下学期的二元一次方程组、不等式，都是同一套思路往上搭。
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