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★ 2027 中考数学 · 压轴题每日一题 ★第 16 题 一锤切两块，一折见倍角交点式写式子＋铅锤法：水平宽 × 铅锤高＋对折出倍角，tan 定解九年级 ｜ 建议用时 45 分钟 ｜ 难度 ★★★★☆这道题来自 2026 年巴中，标签写得很清楚：铅锤法 ＋ 倍角问题。两个标签，正好是第（2）问和第（3）问的钥匙。
第（2）问，D 在抛物线上动，△ACD 的面积跟着动。硬算可以，但要算一长串；铅锤法把三角形竖着一刀切成两块，面积立刻变成一个一元二次函数，配方就完了。
第（3）问更妙。∠ACQ ＝ 2∠OCB，一个角是另一个角的两倍——这种「倍角」条件最难直接下手。可只要把 B 沿 y 轴一翻折，2∠OCB 立刻变成一只完整的角，题目就从「倍角」降级成「等角」。降级之后，剩下的只是算。
交点式铅锤法水平宽 × 铅锤高面积最值倍角构造tan 倍角公式
【2026 · 巴中】（铅锤法 ＋ 倍角问题）如图，抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 2（a ≠ 0）与 x 轴交于 A（−2，0）、B（1，0）两点。（1）求抛物线的表达式；（2）点 D 为抛物线在第二象限内的动点，求 △ACD 面积的最大值；（3）在第二象限内的抛物线上是否存在点 Q，使得 ∠ACQ ＝ 2∠OCB？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。
图 1 抛物线 y ＝ −x² − x ＋ 2 交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 C；D 在第二象限那段弧上移动与 x 轴的两个交点都给了，就别再设 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 去解三元方程组。直接写交点式，只留一个 a：
把 C（0，2）代进去定 a：
2 ＝ a ×（0 ＋ 2）×（0 − 1）＝ −2a →a ＝ −1y ＝ −（x ＋ 2）（x − 1）＝−x² − x ＋ 2y ＝ −x² − x ＋ 2顶点（−1/2，9/4） 对称轴 x ＝ −1/2 开口向下这一步别小看 a 的符号：a ＝ −1 ＜ 0，开口向下，抛物线是个「驼峰」。A、B 之间的这段弧全在 x 轴上方，最高点才 9/4。这解释了为什么第二象限那段弧是有界的——D 跑不出这个驼峰，面积自然有最大值。顺手把直线 AC 也写出来。A（−2，0）、C（0，2），斜率 ＝（2 − 0）÷（0 ＋ 2）＝ 1：
AC：y ＝ x ＋ 2（斜率 1，与 x 轴成 45°，第（3）问要拿它当基准线）D 在抛物线上，又在第二象限，所以横坐标 t 满足 −2 ＜ t ＜ 0：
D（t，−t² − t ＋ 2）， −2 ＜ t ＜ 0要是直接算 △ACD 的面积，得先求 AC 的方程，再用点到直线距离公式，最后配一次方——能算，但一路都是根号和分数。换一种切法，会轻松很多。
过 D 作 DG ⊥ x 轴，交直线 AC 于 G。因为 G 在 AC 上、横坐标又是 t：
于是 DG 是一条竖直的线段，长度就是两个纵坐标之差：
DG ＝（−t² − t ＋ 2）−（t ＋ 2）＝−t² − 2t（−2 ＜ t ＜ 0 时 −t² − 2t ＞ 0，所以不用加绝对值）铅锤法的核心一句：一条竖直的线 DG，把 △ACD 切成 △ADG 和 △CDG 两块。两块都以 DG 为底，高分别是 D 两侧的水平距离，加起来正好是 A、C 的横坐标之差。所以S△ACD＝ ½ × DG × |xC− xA|其中 |xC− xA| ＝ |0 −（−2）| ＝ 2，是个常数，叫「水平宽」；DG 叫「铅锤高」。
图 2 过 D 作 DG ⊥ x 轴交 AC 于 G：竖直的 DG 把 △ACD 切成两块（蓝、橙），S ＝ ½ × DG × 水平宽S ＝ ½ × DG × 2 ＝ DG ＝ −t² − 2t＝ −（t² ＋ 2t）＝ −（t ＋ 1）² ＋ 1开口向下，顶点在 t ＝ −1。而 −1 确实落在（−2，0）里面，能取到：
图 3 S ＝ −(t＋1)² ＋ 1，t ∈（−2，0）：两端 t ＝ −2、t ＝ 0 时 S ＝ 0（D 与 A 或 C 重合，取不到），顶点处 S 最大验算一下更放心：D（−1，2）与 C（0，2）纵坐标相同，CD 是水平线，长 1；D 到直线 AC（x − y ＋ 2 ＝ 0）的距离 ＝ |−1 − 2 ＋ 2| ÷ √2 ＝ 1/√2。所以 S ＝ ½ × 2√2 × 1/√2 ＝1，对得上。另一种「一步验答案」的办法（只用来验，不用来答题）：D 沿抛物线滑动时，△ACD 的面积在「D 处的切线平行于 AC」时最大——这跟「圆上一点到定直线距离最远在切点」是同一个道理。y′ ＝ −2x − 1，令它等于 AC 的斜率 1：−2x − 1 ＝ 1 → x ＝ −1。一步就得到 D 的横坐标，再代回抛物线得 D（−1，2）。考场上用来对答案，十秒钟。易错提醒（本题第一大坑）：水平宽必须是 |xC− xA| ＝ 2，它是「两个定点的横坐标之差」，是常数。很多人写着写着写成 |t −（−2)| ＝ t ＋ 2，把动点 D 也塞了进去——那等于把「宽」也当成变量，后面配方必错。∠OCB 在直角三角形 OCB 里：OC 在 y 轴上，OB 在 x 轴上，∠COB ＝ 90°，OC ＝ 2，OB ＝ 1：
tan∠OCB ＝ OB / OC ＝ 1 / 2要求的是它的两倍，用正切的倍角公式：
tan2θ ＝ 2tanθ ÷（1 − tan²θ） （θ ＝ ∠OCB，tanθ ＝ 1/2）＝（2 × 1/2）÷（1 − 1/4）＝ 1 ÷（3/4）＝4/3tan2∠OCB ＝4/3（即 2∠OCB ≈ 53.13°）倍角最朴素的做法是对折。把 B 沿 y 轴翻折，得到对称点 B′（−1，0）。因为 B、B′ 关于 OC 对称，所以：
∠OCB ＝ ∠OCB′于是 ∠B′CB ＝ ∠B′CO ＋ ∠OCB ＝2∠OCB关键的一步换算：「∠ACQ ＝ 2∠OCB」 ⟺ 「∠ACQ ＝ ∠B′CB」左边是一个倍角条件，右边是两只现成的角相等。倍角问题到此降级成等角问题——这是整道题最重要的一次「换」。
图 4 局部放大：B′ 与 B 关于 y 轴对称，故 ∠OCB′ ＝ ∠OCB ＝ θ，∠B′CB ＝ 2θ；而 ∠ACQ 也等于 2θ角相等，等价于两条直线的夹角固定。设直线 CQ 的斜率为 m，直线 AC 的斜率为 1，用两直线夹角公式：
tan∠ACQ ＝ |（m − 1）÷（1 ＋ m）| ＝ 4/3去绝对值，分成两种情况：
① 3（m − 1）＝ 4（1 ＋ m） → 3m − 3 ＝ 4 ＋ 4m →m ＝ −7② 3（m − 1）＝ −4（1 ＋ m） → 3m − 3 ＝ −4 − 4m → 7m ＝ −1 →m ＝ −1/7这里必须留两个解。夹角公式带绝对值，天生出两根：一根让 CQ 从 AC 转向「陡」的一边（m ＝ −7），一根让它转向「平」的一边（m ＝ −1/7）。几何上都满足「夹角 ＝ 4/3」，谁对谁错，交给「第二象限」去筛——见下一步。直线 CQ 过 C（0，2），斜率为 m，所以 y ＝ mx ＋ 2。和抛物线联立：−x² − x ＋ 2 ＝ mx ＋ 2，即 x² ＋（m ＋ 1）x ＝ 0：
m ＝ −7：y ＝ −7x ＋ 2−x² − x ＋ 2 ＝ −7x ＋ 2 → −x² ＋ 6x ＝ 0 → x（x − 6）＝ 0x ＝ 0（就是 C 自己）或 x ＝ 6。x ＝ 6 时 y ＝ −40，落在第四象限，不合「第二象限」，舍。m ＝ −1/7：y ＝ −x/7 ＋ 2−x² − x ＋ 2 ＝ −x/7 ＋ 2 → −x² −（6/7）x ＝ 0 → x（x ＋ 6/7）＝ 0x ＝ 0（C）或x ＝ −6/7，落在（−2，0）里，合格。代回求纵坐标：y ＝ −（−6/7）÷7 ＋ 2 ＝ 6/49 ＋ 2 ＝104/49Q（−6/7，104/49） （约（−0.857，2.122），在 C 的左下方一点点）
图 5 回到整幅图：θ 与 2θ 在 C 处的位置关系；CQ 与抛物线在第二象限的那个交点就是 Q还有个更省事的旁证：把 m ＝ −1/7 代回去检验斜率即可——CQ 的斜率 −1/7，AC 的斜率 1，两者夹角的正切 ＝ |（−1/7 − 1）÷（1 − 1/7）| ＝（8/7）÷（6/7）＝ 4/3，正好是 tan2∠OCB。算完顺手回代一次，心里就踏实了。易错提醒（本题第二大坑）：解出 m ＝ −1/7 就收笔，把 m ＝ −7 直接丢掉，不写「为什么舍」——这是最常见的扣分点。哪怕你心里清楚它不合题意，也要老老实实算到 x ＝ 6，再写一句「x ＝ 6 不在第二象限，故舍去」。舍，也要给出理由。求解析式
固定动作：两个 x 轴交点 → 交点式 y ＝ a（x ＋ 2）（x − 1），代 C 求 a
容易踩的坑：设一般式解三元方程组；或把 a 的正负搞反，写成 x² ＋ x − 2
设动点
固定动作：D（t，−t² − t ＋ 2），并注明 −2 ＜ t ＜ 0
容易踩的坑：忘记写 t 的范围，后面取到「第二象限外」的值也不自知
铅锤高
固定动作：DG ＝ 抛物线纵坐标 − 直线 AC 纵坐标
容易踩的坑：顺序减反，得到 t² ＋ 2t，开口朝上，算出「最小值」
水平宽
固定动作：|xC− xA| ＝ 2，是常数
容易踩的坑：写成 |t − xA|，把动点带进「宽」里
配方
固定动作：−t² − 2t ＝ −（t ＋ 1）² ＋ 1
容易踩的坑：配方时符号错，最大值算成 −1 或 0
取等条件
固定动作：t ＝ −1 是否落在（−2，0）内
容易踩的坑：不检验 t 的范围，直接写答案
倍角
固定动作：tan2θ ＝ 2tanθ ÷（1 − tan²θ），tanθ ＝ 1/2
容易踩的坑：分母写成 1 ＋ tan²θ，或忘了 2tanθ 的系数 2
夹角公式
固定动作：|（k₂ − k₁）÷（1 ＋ k₁k₂）|
容易踩的坑：漏掉绝对值，只得到一个 m，丢掉另一支
筛解
固定动作：两个 m 都联立，都算 x，再用「第二象限」筛
容易踩的坑：凭感觉只留一个，不写舍去的理由
写坐标
固定动作：Q（−6/7，104/49），保留分数
容易踩的坑：写成 −0.86 之类的小数，或纵坐标漏算 6/49
给抛物线上的两个 x 轴交点 ＋ y 轴交点
固定打法：交点式 y ＝ a（x − x₁）（x − x₂），代 y 轴交点求 a
动点在抛物线上，求某个三角形面积最值
固定打法：立刻想「铅锤法」：过动点作竖直线，交定直线于一点
铅锤法的两个量
固定打法：水平宽 ＝ 两定点横坐标之差（常数）；铅锤高 ＝ 竖直距离（含动点）
化归成一元二次
固定打法：S ＝ ½ × 水平宽 × 铅锤高，配方求顶点，再检验端点范围
要一步验答案
固定打法：令切线斜率 ＝ 定直线斜率，解出动点横坐标（仅用于检验）
出现「一个角是另一个角的 2 倍」
固定打法：先把小角放进直角三角形算 tan，再用 tan2θ 求出倍角的正切
倍角的几何处理
固定打法：作对称点把 2θ「折」成一只现成的角，把倍角问题降级成等角问题
两角相等怎么算
固定打法：用两直线夹角公式 |（k₂ − k₁）÷（1 ＋ k₁k₂）|，注意绝对值出两根
多解怎么取舍
固定打法：回到题设的象限、范围去筛，并且写清舍去的理由
抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A（−4，0）、B（2，0），与 y 轴交于 C（0，4）。（1）求抛物线的表达式；（2）点 D 为抛物线在第二象限内的动点，求 △ACD 面积的最大值；（3）在第二象限内的抛物线上是否存在点 Q，使得 ∠ACQ ＝ 2∠OCB？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A（−3，0）、B（1，0），与 y 轴交于 C（0，3）。（1）求抛物线的表达式；（2）点 D 为抛物线在第二象限内的动点，求 △ACD 面积的最大值；（3）在第二象限内的抛物线上是否存在点 Q，使得 ∠ACQ ＝ 2∠OCB？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。做同类题 2 时留意一件事：它的 tan∠OCB ＝ 1/3，不是 1/2，所以 tan2∠OCB ＝ 3/4；两个候选斜率会变成 7 和 1/7——其中1/7 是正的。别看到正斜率就以为「一定在第一象限」，老老实实联立求交点，你会发现它交在第二象限。原题（1）y ＝ −（x ＋ 2）（x − 1）＝−x² − x ＋ 2，顶点（−1/2，9/4）；（2）设 D（t，−t² − t ＋ 2），−2 ＜ t ＜ 0。过 D 作 DG ⊥ x 轴交 AC 于 G（t，t ＋ 2），则 DG ＝ −t² − 2t，水平宽 ＝ |xC− xA| ＝ 2，S ＝ ½ × DG × 2 ＝ −t² − 2t ＝ −（t ＋ 1）² ＋ 1，当 t ＝ −1 时 S 取最大值1，此时D（−1，2）；（3）Rt△OCB 中 tan∠OCB ＝ 1/2，故 tan2∠OCB ＝ 4/3。设 CQ：y ＝ mx ＋ 2，AC 斜率 1，由夹角公式 |（m − 1）÷（1 ＋ m）| ＝ 4/3得 m ＝ −7 或 m ＝ −1/7。m ＝ −7 时交点为 x ＝ 0 或 x ＝ 6，均不在第二象限，舍；m ＝ −1/7 时 −x² −（6/7）x ＝ 0，得 x ＝ −6/7，y ＝ 104/49。故存在，Q（−6/7，104/49）。同类题 1（1）y ＝ −½（x ＋ 4）（x − 2）＝−½x² − x ＋ 4，顶点（−1，9/2）；（2）AC：y ＝ x ＋ 4，水平宽 4；D（t，−½t² − t ＋ 4），DG ＝ −½t² − 2t，S ＝ ½ × 4 × DG ＝ −（t ＋ 2）² ＋ 4，t ＝ −2 时取最大值4，D（−2，4）；（3）tan∠OCB ＝ 2/4 ＝ 1/2，tan2∠OCB ＝ 4/3，仍得 m ＝ −7 或 −1/7，前者交于 x ＝ 12（舍），后者 −½x² −（6/7）x ＝ 0 得 x ＝ −12/7，故Q（−12/7，208/49）。同类题 2（1）y ＝ −（x ＋ 3）（x − 1）＝−x² − 2x ＋ 3，顶点（−1，4）；（2）AC：y ＝ x ＋ 3，水平宽 3；D（t，−t² − 2t ＋ 3），DG ＝ −t² − 3t，S ＝ ½ × 3 × DG ＝ −（3/2）（t ＋ 3/2）² ＋ 27/8，t ＝ −3/2 时取最大值27/8，D（−3/2，15/4）；（3）tan∠OCB ＝ 1/3，tan2∠OCB ＝ 3/4，由 |（m − 1）÷（1 ＋ m）| ＝ 3/4 得 m ＝ 7 或 m ＝ 1/7；m ＝ 7 时交于 x ＝ −9（不在第二象限，舍）；m ＝ 1/7 时 −x² −（15/7）x ＝ 0 得 x ＝ −15/7，故Q（−15/7，132/49）。最后说一句。这道题的后两个小问，用的其实是同一种思路——把一个「多出来的变量」消掉。第（2）问里，D 有两个坐标，看着是双变量，可它被抛物线锁着，写成一个 t 就够了；再看面积，铅锤法把「底 × 高」里的「高」直接拆成「水平宽 × 铅锤高」，水平宽是常数，于是面积只剩一个 t 的函数。第（3）问里，「2∠OCB」是个没法直接用的量，因为它不是任何一条现成直线与坐标轴的夹角；可把 B 翻折一次，2 倍角就变成一只现成的角，倍角问题立刻降级成等角问题，剩下的只是夹角公式和一次联立。你会发现，压轴题的难，很少难在计算。它难在你要先想明白，该把哪个量换掉。换对了一个量，剩下的题就不难了。觉得有用，点个「赞」和「在看」，明天继续
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#初中数学#中考#中考压轴#二次函数#中考最后一道题#初中数学二次函数难题突破
