二次函数压轴题的最后一问，一半是线段最值，另一半就是面积。
昨天我们用 8 个字拆完了线段最值（还没看的点上一篇）；
今天这一篇，把面积问题一口气讲完——它只有三种考法，每种一句口诀。
很多同学一看到"求△PBC 面积的最大值"就头皮发麻：底不知道，高也不知道，怎么求？
其实从全国近十年的中考卷看，二次函数的面积问题翻来覆去只有三种：
• 求最值——一句口诀：水平宽 × 铅垂高 ÷ 2； • 求存在（面积等于某个值/几倍）——一句口诀：共底等高面积等，平移直线； • 求比值（面积之比）——一句口诀：共高比底，共底比高。
三句口诀，对应三个专题，15 页真题精讲，全部在下面。
一、铅锤法：面积求最值，一个公式通吃
先记住这张图里的两个词：
• 水平宽：两个定点之间的水平距离； • 铅垂高：动点 P 沿竖直方向到定线段的距离。
然后是全篇最重要的公式：
S = 水平宽 × 铅垂高 ÷ 2
为什么能这么算？因为割补法：铅锤高在三角形内部，就拆成两个三角形相加；在外部，就用大减小。两种情况推导完，都得到同一个式子——
S = ½ (y_C − y_D)(x_B − x_A)
解题步骤固定五步：求水平宽 → 作铅垂线 → 求交点坐标 → 表示铅垂高 → 配方求最值。是不是很眼熟？对，和昨天"设、表、配"三步是同一个思想。
二、一道例题，四种解法
例1 y = −x² + 2x + 3，P 是 BC 上方抛物线上一动点，求 △PBC 面积最大值。
这一页给了解法一（铅锤法）和解法二（切线法），重点看铅锤法怎么落地：
1. 直线 BC：y = −x + 3，B(3,0)、C(0,3)，水平宽 = 3； 2. 设 P(t, −t²+2t+3)，作 PQ ∥ y 轴交 BC 于 Q(t, −t+3)； 3. 铅垂高 PQ = −t² + 3t； 4. S = ½ × 3 × PQ = −(3/2)t² + (9/2)t，配方，t = 3/2 时最大 27/8。
第 47 页还有两个方法，注意方法四·中点法——它是验算神器：
面积最大时，P 点横坐标 = BC 中点的横坐标。
考场上如果你用铅锤法算出了 t = 3/2，而 BC 中点横坐标恰好是 (3+0)/2 = 3/2，10 秒完成验算。建议把这条记在小本本上。
例2 是平移型：解析式里带字母 a，先由 OA=1 求出 a = 1/2，再用铅锤法——套路完全一样，变的是图，不变的是流程。
这三道训练建议按顺序做：练 1 练"设表配"，练 2 练"含字母参数"，练 3 的第 (3) 问是"面积最小值"——注意最小值不是配方就行，要先看 t 的范围，区间端点才是答案。
三、等积变换：面积"存在性"，平移直线就完事
第二类考法："是否存在点 P，使 △PBC 的面积等于 3 / 等于 △QMB 的一半 / 的 2 倍？"
原理一句话：
同底等高，面积相等。
所以所有等积问题的解法都是：把与 BC 平行的直线，向上或向下平移，平移到与 BC 距离等于目标高的一半（或目标倍数），直线与抛物线的交点就是答案。
例1 的"思路 2·构造等积变形"就是这么做的：过 Q 作 BC 的平行线 y = −x + 5，联立抛物线，交点即所求——不用算铅垂高，更快。
提醒一句：等积问题的答案经常不止一个——直线可以向上平移也可以向下平移，点还可能落在对称位置。练 3 那道"有且仅有三个点"就是在考这个，漏解就直接丢分。
四、面积比：共高比底，共底比高
第三类是"面积比"，也是很多人觉得最难的一类。其实第一步永远是转化：
• 两三角形共高 → 面积比 = 底边之比； • 两三角形共底 → 面积比 = 高之比； • 高和底都不好表示 → 构造 "A"字型或"8"字型相似，把面积比转成线段比。
书里那句方法总结值得抄下来：面积比 → 线段比 → 相似比，逐层降维。
例1 用"共高比底"：CD/BD = 1/2，再由 DM∥OB 把线段比转回坐标，D(−1,2)。例3 是压轴级问法：S₁/(S₂+S₃) 存在最大值——把三个面积全部换成 PG 的表达式，配方得最大值 9/8。
训练四道，覆盖了"面积比求坐标""面积和为定值""面积比最大值"全部三种问法，考前值得限时做完。
五、考前带走这 3 句口诀
• 求最值 → 铅锤法：S = 水平宽 × 铅垂高 ÷ 2，设表配三步走，中点法 10 秒验算 • 求存在 → 共底等高面积等，平移 BC 的平行线，联立抛物线解交点 • 求比值 → 共高比底，共底比高，转不动就构造 A 字型 / 8 字型相似
最后提醒两句最容易丢分的地方：
1. 等积、倍积问题答案不止一个，向上平移和向下平移都要算； 2. 最值问题先写 t 的范围再取值，别让配方结果落在区间外。
到这一篇为止，二次函数压轴题的两大命门——线段最值和面积问题——就都拆完了。
把两个专题的口诀放在一起看，你会发现压轴题从来不是玄学：每一种问法，都对应一个固定的转化动作。转化动作会了，剩下的只是计算。
下一篇讲"二次函数与特殊三角形/四边形存在性"——压轴题里最考验分类讨论的一类，想看的在留言区扣 1。
🎁 福利：需要电子版，请添加大陆老师微信：15830107140
觉得有用，请点赞、在看、转发三连，转给正在初三苦战的同学——你随手一转，可能就帮一个孩子多拿 12 分。
