三件事彼此独立，各位看官可以从自己需要的地方开始。
一、斜边上的中线
定理：直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半。
图 3-1｜D 是斜边中点，DA = DB = DC
证明：
设 Rt△ABC 中 ∠C = 90°，D 是斜边 AB 的中点。延长 CD 到 E，使 DE = CD，连 BE。
图 3-2｜延长 CD 到 E ，令ED = DC，连接 BE
① ∵ D 是 AB 的中点 ∴ AD = BD
② ∵ ∠ADC 与 ∠BDE 是对顶角，且 CD = DE（自己作的辅助线）
∴ △ADC ≌ △BDE（SAS）
③ ∴ AC = BE，∠DAC = ∠DBE ∴ AC ∥ BE
④ ∵ ∠ACB = 90°，即 AC ⊥ BC；又 AC ∥ BE ∴ BE ⊥ BC
⑤ △ACB 与 △EBC 中：∵AC = BE，∠ACB = ∠EBC = 90°，CB 公共边
∴ △ACB ≌ △EBC（SAS）
⑥ ∴ AB = CE ∴ CD = ½CE = ½AB
第一步就是"延长一倍"，跟上一讲的倍长中线是同一个方法。上一讲为了倒边，这次为了把 CD 接到 CE 上。当然，学完圆的相关性质之后，证明这个定理会快得多，暂按不表。
正着用：6、8、10
Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8，D 是 AB 的中点，求 CD 的长。
反着用，有两个方向
“”斜中“”逆定理也成立。但在考场上，如果是解答题需要写证明过程，选填则能熟练运用最好。逆定理是两个方向在考，具体如下：
方向一：三条一样长，证直角
D 是 AB 的中点，若 BD = DC = DA，求证 △ABC 是直角三角形。
图 3-3｜三条线段一样长，两个等腰三角形的底角一加，直角就出来了
题目给你"某点到三个顶点距离相等"，别急着找全等，先想它是不是在告诉你"这儿有直角"。
方向二：有直角、又有一条相等，证中点
Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 在 AB 上，若 CD = BD，求证 D 是 AB 的中点。
这一问反过来考——已知直角，要你证中点。
两个方向合起来看，其实可以综合起来运用：直角、中点、"到三点等距"，知二推一。图上出现其中任意两个，就可以推出第三个结论。
二、中位线：两个中点，一条线
三角形任意两边中点的连成的线短，叫三角形中位线。
定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
图 3-4｜DE 是中位线，平行 BC，且长度是 BC 的一半
为什么平行？为什么正好一半？
证明：延长 DE 到 F，令EF = DE，连 CF。
图 3-5｜倍长 DE，全等三角形 和 平行四边形 一起出现
① ∵ E 是 AC 的中点 ∴ AE = EC
② ∵ ∠AED 与 ∠CEF 是对顶角，且 DE = EF（自己作的辅助线）
∴ △AED ≌ △CEF（SAS）
③ ∴ AD = CF，∠A = ∠ECF
∴ CF ∥ AD，也就是 CF ∥ BD
④ ∵ D 是 AB 的中点
∴ AD = DB；又 AD = CF
∴ DB = CF
⑤ ∴ 四边形 BCFD 一组对边平行且相等，是平行四边形
∴ DF ∥ BC，DF = BC
⑥ ∵ DE = ½DF
∴ DE ∥ BC，DE = ½BC
又是一次倍长、一次全等，这回隔出来的是平行四边形。
看到中点，多数人第一反应是连中线、倍长——这两个思路是相等和全等；中位线给的是平行，而平行能带你进相似。两条路不一样。
例4 两个中点，远在天边近在眼前
△ABC 中，∠ABC = 90°，D 在 AB 上，E 在 BC 上，AD = 4，CE = 3。M 是 AC 的中点，N 是 DE 的中点，求 MN 的长。
图 3-6｜M 在 AC 上，N 在 DE 上，两条线段隔着
分析：M 在 AC 上，N 在 DE 上，两条线段隔得远，不在一个三角形，无法凑中位线，直接连 MN 什么性质都没有。它们不共用一个三角形，那能不能通过转换让这个中点能够用起来？
M、N 所在线段的公共端点是 A 和 E，取 AE 的中点 P，连 MP、NP。
图 3-7｜一个辅助点 P，换来两条中位线
图 3-8｜两条中位线互相垂直，直角自己冒出来
把两个"孤立的中点"变成两个"共享同一个三角形的中点"。中位线要的是成对，不成对就补一个。
这里容易错：MN = ½√(AD² + CE²) 只在 ∠ABC = 90° 时成立，所以如果这个题目是解答题，你还需要先证明∠NPM是90°。∠ABC 只要不是直角，MP 与 PN 就不垂直，勾股直接用不了。
三、折叠：那个中点是怎么冒出来的
折叠不是新知识，它就是轴对称。而轴对称的基本性质：轴对称图形对应点的连线，被对称轴垂直且平分。
图 3-9｜浅蓝那块沿 AE 折过去，正好落到浅橙的位置；B 与 F 的连线被折痕 AE 垂直且平分
第 ② 条就是这一节的主题——折叠之后的中点应用。
先用一道小的：折痕在哪
矩形 ABCD 中，AB = 5，BC = 4。把 △ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 CD 上的点 F 处。(1) 求 CE；(2) 求折痕 AE 的长。
图 3-10｜B 折到 F，折痕 AE 把 ∠BAE 也带了过去
图 3-11｜连 BF，折痕 AE 就是 BF 的垂直平分线，所以这道题在八年级可以用勾股，九年级就可以利用垂直的性质构造十字架相似去解决。
再用一道模拟真题：之前讲压轴题留的那道
（2025 秋·福田区校级期中）把矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 的对应点为 F，EF 交 BD 于点 G。若 G 为 EF 的中点，BF 平分 ∠DBC，求 AB/BC。
图 3-12｜题面：折痕 BE，A 落在 F，EF 与 BD 交于 G
这题一个数字都没给，所以答案只能是一个比例。你手上其实有两条折痕带来的关系：G 是 EF 的中点，BF 平分 ∠DBC。
辅助线：过 E 作 EH ⊥ BC 于 H，记直线 EF 与 BC 的交点为 M。
图 3-13｜EH ⊥ BC 于 H，EF 延长交 BC 于 M
∴ AB/BC = 2√2·x ÷ 7x/2 =4√2/7
第 ⑤ 步是这道题的关键。G 是中点，单独看只是一句"EG = GF"；可它一旦跟第 ③④ 步的两个全等接上，就变成"EF 上被切成三段等长"，再把 BM = EM 用一次，整条线段的长度比例就全出来了。
收个尾：三讲一张表
前两讲一个"读"、一个"造"，这一讲是"连"——不加新的等量，只把原有的中点连成线，看它能长出什么。
这一篇要是有用，转给还在为压轴题题发愁的孩子。
