2027届高三杭州一模数学试卷及解析(附8、11、14题解析)

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第8、11、14题解析

第8题

已知圆 ，，，直线  被  截得的弦长分别为 。若 ，则 

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】A

【解析】

三个圆的半径均为 ，圆心分别为 ，它们到直线  的距离分别为

由弦长公式 ，得

代入 ，得

令 ，则 ，且

两边平方，整理得

再次平方，得

即

由 ，得 。代回原式，有

故 ，选A。

第11题

若存在实数  和 （），使得对任意 ，，则

A. 

B. 当  时，

C. 当  时， 的最小值为 

D. 当  时， 的最小值为 

【答案】ACD

【解析】

A项

由 ，知 ，A正确。

当 、 时，对任意整数  均有 ，故  可以取到。

B项

取 、，则当  遍历整数时， 的值只有

均不大于 ，但 ，故B错误。

C项

当  时， 对应的函数值分别为

以后每隔  项重复。因此题意等价于

又 ，所以

当  时取等号，故  的最小值为 ，C正确。

D项

先说明：若 ，则对任意 ，总存在整数 ，使 

事实上，数列 （）相邻两项之差为 ，可取整数 ，使

因而 。

下面证明 。

（1）若 ，取 ，由上述结论，存在整数 ，使

与题意矛盾。

（2）若 ，令

则 。由上述结论，可取整数 ，使

但

由于 ，这仍与题意矛盾。

所以 。

再取 、，由B项知所有函数值均不大于 ，且

故  可以取到，D正确。

综上，选ACD。

第14题

已知  是自然对数的底数，若集合

恰有  个子集，则满足条件的整数  的个数为________。

【答案】

【解析】

设 。由 ，知  恰有两个元素。

当  时，不等式恒成立，所以 。

（1）当  时。

对任意负整数 ，都有 、，故

于是  含有无穷多个元素，不合题意。

（2）当  或  时。

将 、 分别代入，得

故  均属于 ，也不合题意。

（3）当  时。

若  为负整数，则原不等式等价于

但 ，所以

矛盾，故  中没有负整数。

若  为正整数，则原不等式等价于

设 （），则

故  在  上单调递增。

要使  恰有两个元素，只能有 ，故必须且只需

即

结合  且 ，得

共  个。

原卷

参考答案