燕园初三数学期中复习讲义
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燕园初三数学期中复习讲义
北京高考数学——一轮复习课程
北京高考数学——二轮复习课程
北京高考数学——三轮复习总结课程
复习目标：能选方法、能看图、能写条件、能解释结果。每完成一道题，再问自己：定义域检查了吗？端点能取吗？几何结论有依据吗？例题｜解下列方程：① (x - 2)² = 9；② x² - 5x + 6 = 0；③ x² + 4x - 1 = 0。
图1｜选解法：先看结构
讲解｜① 直接开方：x - 2 = ±3，得x = 5或-1。② 因式分解：(x - 2)(x - 3) = 0，得x = 2或3。③ 配方：(x + 2)² = 5，得x = -2 ± √5。一般数字系数方程也可用求根公式。💡 易错提醒：不要把所有题都交给公式法；先观察平方结构与因式分解的可能。例题｜关于x的一元二次方程(m - 2)x² + 4x - 1 = 0有两个不相等的实数根，求m的范围。
图2｜参数与判别式：两个条件不能少
讲解｜先有m ≠ 2，再有Δ = 4² - 4(m - 2)×(-1) = 4m + 8 > 0。合起来：m > -2，且m ≠ 2。进一步联系图象：对于y = ax² + bx + c（a ≠ 0），Δ的正、零、负分别对应与x轴有两个、一个、零个公共点。💡 易错提醒：“两个相等实根”对应一个交点；根的重数与不同交点个数要区分。例题｜已知t是方程x² + 2x - 3 = 0的一个根，求2t² + 4t + 5。讲解｜由根的意义，t² + 2t = 3。原式 = 2(t² + 2t) + 5 = 11。做这类题先整理待求式，把它凑成已知整体；只有凑不出来时，再考虑求根或其他变形。💡 易错提醒：不要擅自选某一个根代入，除非确认待求式对两个根的值相同。例题｜α、β是x² - 5x + 2 = 0的两根，求α² + β²与1/α + 1/β。讲解｜Δ = 17 > 0，所以两实根存在。α + β = 5，αβ = 2。α² + β² = (α + β)² - 2αβ = 25 - 4 = 21。因αβ ≠ 0，故1/α + 1/β = (α + β)/(αβ) = 5/2。💡 易错提醒：含根的分式，先确认分母不为0；含参数时还要检查实根是否存在。例题｜y = x² - 4x - 5，当0 < x < 5时，求y的取值范围。
图3｜读图与值域：顶点和端点一起看
讲解｜配方得y = (x - 2)² - 9；顶点为(2, -9)，对称轴为x = 2。区间包含x = 2，所以最小值-9能取到。零点为-1、5，都不在该区间内；x趋近5时y趋近0。故-9 ≤ y < 0。💡 易错提醒：自变量区间两端都不取，不代表函数值两端都不取。例题｜① 把y = x²向右平移2个单位，再向下平移3个单位，写出解析式。② 抛物线与x轴交于(-1, 0)、(3, 0)，并经过(0, -3)，求解析式。
图4｜平移与待定系数：按已知条件选形式
讲解｜① 得y = (x - 2)² - 3，顶点由(0, 0)移到(2, -3)。② 已知两零点，设y = a(x + 1)(x - 3)。代入(0, -3)得a = 1，所以y = x² - 2x - 3。已知顶点时优先设顶点式；已知两个零点时优先设交点式。💡 易错提醒：平移改变位置；a不变时，抛物线形状不变。例题｜某二次函数在x = -1、0、1、2、3时，y分别为5、0、-3、-4、-3。求解析式，并求y = 5时的x。讲解｜x = 1和3时函数值相等，因此对称轴为x = 2。表中还有顶点(2, -4)，设y = a(x - 2)² - 4。代入(0, 0)得a = 1。因此y = (x - 2)² - 4。令y = 5，得(x - 2)² = 9，所以x = -1或5。💡 易错提醒：表格只列了部分数据，不能把表中出现的解当成全部解。例题｜讨论方程x² - 4x + 3 = m的实数根个数；进一步求两个根一正一负时m的范围。
图5｜水平线交点：把“几个根”画出来
讲解｜左侧 = (x - 2)² - 1。直线y = m在顶点下方，即m < -1时无实根；m = -1时有两个相等实根；m > -1时有两个不等实根。移项后两根之积为3 - m。一正一负要求3 - m < 0，得m > 3，此时也满足Δ = 4 + 4m > 0。💡 易错提醒：“一正一负”不含0；求出根积为负后，仍要留意方程是否为二次方程。例题｜y₁ = x + 1与y₂ = 12/x相交。求交点，并求y₁ > y₂时x的范围。
图6｜直线与双曲线：交点加断点分段
讲解｜联立：x² + x - 12 = (x + 4)(x - 3) = 0。交点为(-4, -3)、(3, 4)。y₁ - y₂ = (x + 4)(x - 3)/x。以-4、0、3分段判断符号，得到-4 < x < 0或x > 3。💡 易错提醒：x = 0虽然不是交点，也是必须分段的地方；不等式乘x时要分正负。例题｜第一象限点P(3, b)在y = k/x上，PA垂直x轴于A。若△OAP的面积为6，求k与b。
图7｜面积与k：先认清是哪块面积
讲解｜S△OAP = OA×AP/2 = 3b/2 = 6，得b = 4。于是k = 3×4 = 12。一般地，相应直角三角形面积为|k|/2，而由点与两轴围成的矩形面积为|k|。💡 易错提醒：面积只能给出|k|，k的正负还要看所在象限。例题｜商品成本18元，原售价30元，每天售出80件。售价每提高1元，每天少售4件。提价x元，0 ≤ x ≤ 15且x为整数，求每日最大利润。
图8｜利润最值：单位利润乘销量
讲解｜W = (12 + x)(80 - 4x) = -4(x - 4)² + 1024。x = 4在允许范围内且为整数，所以最大利润1024元。此时售价34元，销量64件，核验：(34 - 18)×64 = 1024。💡 易错提醒：若顶点横坐标不是允许的整数，比较附近允许整数；若规则分段，分别求最值后再比较。例题｜正方形ABCD边长6，E、F、G、H依次在AB、BC、CD、DA上，AE = BF = CG = DH = x，0 < x < 6。求四边形EFGH的最小面积，并求面积为20时的x。
图9｜正方形内的动点：把面积变成函数
讲解｜相邻边的水平、竖直分量分别为x与6 - x；可由四个角上的直角三角形全等，说明EFGH四边相等且邻边垂直，所以它是正方形。S = x² + (6 - x)² = 2(x - 3)² + 18，最小面积18，在x = 3时取得。S = 20时，(x - 3)² = 1，所以x = 2或4，均符合范围。💡 易错提醒：也可用“大正方形面积减去四个角上的三角形面积”列式。例题｜等腰△ABC中，AB = AC = 10，BC = 12；D、E、F分别是AB、AC、BC的中点。证明ADFE是菱形，并求面积。
图10｜中点与菱形：先证明，再算面积
讲解｜由中位线定理，DF = AC/2 = 5，EF = AB/2 = 5；又AD = AE = 5，故四边相等，ADFE是菱形。等腰三角形中，AF ⊥ BC，BF = 6；由勾股定理得AF = 8。又DE = BC/2 = 6且DE ∥ BC，因此面积为AF×DE/2 = 24。💡 易错提醒：菱形面积用两对角线乘积的一半；先明确AF、DE是对角线，不能把边长当成对角线。例题｜矩形ABCD中，AB = 6、AD = 4。折叠使B落到D，折痕交AB于X、交CD于Y。求AX。
图11｜折叠：用对应距离相等建立方程
讲解｜折痕上的点到B、D距离相等，所以XB = XD。设AX = x，则XB = 6 - x，XD² = x² + 16。(6 - x)² = x² + 16，化简得36 - 12x = 16，所以AX = 5/3。该值在线段AB内。💡 易错提醒：折痕是对应点连线BD的垂直平分线；与BD垂直，不一定与矩形某条边垂直。例题｜函数y = x⁴ - 2x²与水平直线y = n恰有两个公共点，求n的范围。
图12｜新函数：用换元数交点
讲解｜配方：y = (x² - 1)² - 1。令u = x² ≥ 0，则(u - 1)² = n + 1。n < -1时0个点；n = -1时2个点；-1 < n < 0时4个点；n = 0时3个点；n > 0时2个点。所以n = -1或n > 0。💡 易错提醒：每个正u给出正、负两个x；u = 0只给出一个x。例题｜定义T：先绕原点顺时针旋转90°，再关于y轴对称。求T的坐标规则及A(1, 3)、B(4, 1)的像。
图13｜复合变换：步骤不能颠倒
讲解｜(x, y) → (y, -x) → (-y, -x)。因此A的像为(-3, -1)，B的像为(-1, -4)。该复合变换相当于关于y = -x对称。若交换顺序，得到(y, x)，相当于关于y = x对称。旋转和轴对称都保持长度；AB与它的像等长。💡 易错提醒：读新定义先圈出对象、规则、顺序和限制，再逐步执行。建议分两次完成：第一次做A组1—8题和B组9—16题，约45分钟；第二次做17—24题，约45—60分钟。C组为提高选做，按本校进度安排。时间仅供参考，不以完成速度替代书写质量。请准备草稿纸。计算题写关键步骤，范围题说明边界，几何题写出证明依据。下方配图仅作辅助，以题目文字条件为准。1. 将3x² + 2 = 5x化为一般式，写出a、b、c。4. 用配方法解方程：x² + 6x + 2 = 0。5. 关于x的一元二次方程(m - 1)x² + 2x - 3 = 0有两个不相等的实数根，求m的范围。6. t是x² - 3x - 2 = 0的一个根，求2t² - 6t + 7。7. x² - 5x + k = 0有一个根为2，求k及另一个根。8. 已知y = -2(x + 1)² + 8，写出顶点、对称轴、最大值，以及y > 0时x的范围。9. 已知y = x² - 2x - 3，求0 ≤ x ≤ 4时y的最小值、最大值及相应x。10. 把y = 2x²向右平移3个单位，再向上平移1个单位，写出解析式及顶点。11. 某二次函数部分数据如下：x为-1、0、1、2、3时，y分别为1、-2、-3、-2、1。求解析式及y = 6时的全部x值。12. 抛物线与x轴交于(-2, 0)、(4, 0)，经过(0, -8)。求解析式、最小值，以及y < 0时x的范围。13. 反比例函数图象经过(-3, 4)。求解析式，并比较x = -6、-2、3时的函数值。14. 直线y₁ = x - 1与双曲线y₂ = 6/x相交。求两交点；求y₁ > y₂时x的范围。
作业第14题配图
15. 第一象限点P(2, b)在y = k/x上，PA ⊥ x轴于A。若△OAP面积为6，求b和k。
作业第15题配图
16. 商品每件成本12元，原售价20元，每天售100件。售价每提高1元，每天少售5件。设提价x元，0 ≤ x ≤ 12且x为整数，求最大日利润及售价。17. 矩形ABCD中，AB = 8、AD = 2。点E在线段AB上，且∠DEC = 90°。求AE的所有可能值。
作业第17题配图
18. 正方形ABCD边长8，AE = BF = CG = DH = x（0 < x < 8），点分别在AB、BC、CD、DA上。求EFGH的最小面积，以及面积为34时的x。
作业第18题配图
19. 抛物线y = (x - t)²上任意两点满足x₁ < x₂。若只要x₁ + x₂ > 8就有y₁ < y₂，求t的范围，并说明临界值能否取到。20. 讨论方程x² - 6x + 5 = m的实数根情况；求两根一正一负时m的范围。21. 研究y = x⁴ - 4x²。① 当n分别为-4、-2、0、1时，直线y = n各与图象有几个公共点？② 求恰有两个公共点时n的范围。22. 等腰△ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，D、E、F分别是AB、AC、BC中点。证明ADFE为菱形，并求其面积。
作业第22题配图
23. 矩形ABCD中，AB = 8、AD = 6。折叠使B落到D，折痕交AB于X、交CD于Y。求AX和CY。
作业第23题配图
24. 定义T：先绕原点顺时针旋转90°，再关于y轴对称。① 求P(-2, 5)的像。② 对P连续做两次T，得到哪个点？③ 若Q(2, t)经T后位置不变，求t。□ 方程的二次项系数不为0。□ 判别式、分母与实际意义都检查过。□ 函数的定义域和取值区间没有混淆。□ 几何证明写清了中点、平行、垂直的依据。□ 所有候选答案都回到了原题中检验。以下为参考答案。建议先遮住答案区，独立完成后再核对；只看答案“觉得会了”，不等于下次能独立做对。3x² - 5x + 2 = 0，所以a = 3，b = -5，c = 2。(x - 4)(x - 5) = 0，所以x = 4或5。x² + 6x = -2，两边加9，得(x + 3)² = 7，故x = -3 ± √7。先有m ≠ 1；Δ = 4 + 12(m - 1) = 12m - 8 > 0，得m > 2/3。因此m > 2/3且m ≠ 1。由t² - 3t = 2，原式 = 2(t² - 3t) + 7 = 11。代入得4 - 10 + k = 0，所以k = 6。两根之和为5，另一根为3。顶点(-1, 8)，对称轴x = -1，最大值8。由(x + 1)² < 4得-3 < x < 1。y = (x - 1)² - 4。区间包含顶点横坐标1，最小值为-4；端点y(0) = -3，y(4) = 5，最大值为5，在x = 4时取得。解析式y = 2(x - 3)² + 1，顶点为(3, 1)。由等值点x = 0、2知对称轴x = 1；设y = a(x - 1)² - 3，代入(0, -2)得a = 1。y = 6时(x - 1)² = 9，故x = -2或4。设y = a(x + 2)(x - 4)。代入得a = 1，所以y = x² - 2x - 8 = (x - 1)² - 9。最小值-9；y < 0时-2 < x < 4。k = -12，所以y = -12/x。对应值依次为2、6、-4，所以y(3) < y(-6) < y(-2)。联立得x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0。交点(3, 2)、(-2, -3)。差值为(x - 3)(x + 2)/x，按-2、0、3分段，得-2 < x < 0或x > 3。面积为2b/2 = b，所以b = 6；k = 2×6 = 12。W = (8 + x)(100 - 5x) = -5x² + 60x + 800 = -5(x - 6)² + 980。x = 6为允许整数，最大利润980元；售价26元，销量70件。设AE = x，0 ≤ x ≤ 8。由DE² + CE² = DC²得x² + 4 + (8 - x)² + 4 = 64，即x² - 8x + 4 = 0。解得x = 4 ± 2√3，均在范围内。由勾股定理逆定理可验证两位置均满足目标直角。用割补法：S = 64 - 4×[x(8 - x)/2] = 2x² - 16x + 64 = 2(x - 4)² + 32。最小面积32，在x = 4时取得；S = 34时x = 3或5。y₂ - y₁ = (x₂ - x₁)(x₁ + x₂ - 2t)。t ≤ 4时第二因式大于8 - 2t ≥ 0，结论成立。若t > 4，取x₁ = t - 1、x₂ = t + 1，两横坐标和2t > 8，但两函数值相等，产生反例。故t ≤ 4，临界值4能取。由(x - 3)² = m + 4，m < -4时无实根；m = -4时有两个相等实根；m > -4时有两个不等实根。两根积为5 - m，一正一负要求5 - m < 0，故m > 5，此时Δ = 16 + 4m > 0也成立。y = (x² - 2)² - 4，令u = x² ≥ 0。n = -4时u = 2，2个点；n = -2时u = 2 ± √2，4个点；n = 0时u = 0或4，3个点；n = 1时只有u = 2 + √5为正，2个点。一般地，n < -4时0个，n = -4时2个，-4 < n < 0时4个，n = 0时3个，n > 0时2个，所以n = -4或n > 0。由中位线定理，DF = AC/2 = 6.5，EF = AB/2 = 6.5；AD = AE = 6.5，故四边相等，ADFE是菱形。等腰三角形中AF ⊥ BC，BF = 5，所以AF = √(13² - 5²) = 12。又DE = 5，DE ∥ BC，所以AF ⊥ DE，面积为12×5/2 = 30。折痕上的点到B、D等距。设AX = x，XB = XD得(8 - x)² = x² + 36，故x = 7/4。设CY = z，YB = YD得z² + 36 = (8 - z)²，故z = 7/4。因此AX = CY = 7/4。两值均在线段内。T(x, y) = (-y, -x)。① P的像为(-5, 2)。② T(-5, 2) = (-2, 5)，回到P。③ T(2, t) = (-t, -2) = (2, t)，故t = -2；这也说明不动点位于y = -x上。错题复盘：题号____；错误类型（概念／运算／范围／表达）____；正确依据____；下次检查动作____。隔一天遮住答案重做，检验是否真正掌握。
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