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★ 2027 中考数学 · 压轴题每日一题 ★第 13 题 底竖着，高横着一条竖线切成两段底 ＋ 横着量高求最值 ＋ 角平分线翻出等腰九年级 ｜ 建议用时 40 分钟 ｜ 难度 ★★★★☆这道题的第二问，很多同学一上手就设坐标、列式子，算到一半发现两个三角形都是斜的，底和高全都不知道。
其实题目已经把答案摆在图上了——两个三角形都有一条边是竖直的。△MCN 的 MN 竖着，△PMQ 的 PM 也竖着，而且这两段还都在同一条竖线 x ＝ m 上。
竖直线段最大的好处是：长度 ＝ 上面那个纵坐标 − 下面那个纵坐标，一个减法就完事。而它对应的「高」，一定是水平的——从三角形第三个顶点，横着量到这条竖线的距离。
待定系数法竖线当底水平距离当高二次函数最值平移八字诀平行线＋角平分线
【2026 · 绥化】（面积最值 ＋ 角平分线平行线等腰三角形模型）综合与探究已知抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 4 与 x 轴交于点 A（−1，0），B（4，0），与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，作直线 BC。（1）求该抛物线的解析式。（2）在抛物线上有两个动点 P，Q，点 P 在第一象限，横坐标为 m，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 N，交 BC 于点 M，点 Q 的横坐标为 m − 3/2。若 △MCN 的面积记作 S₁，△PMQ 的面积记作 S₂，当 S ＝ S₁ ＋ S₂ 有最大值时，求点 P 的坐标。（3）把抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 4 沿射线 BC 方向平移，平移后，新抛物线 y′ 过点 C，点 E 是新抛物线 y′ 对称轴与 x 轴的交点，点 F 是新抛物线 y′ 对称轴上的动点，连接 FC，FO。若 FO 平分 ∠CFE，请直接写出符合条件的点 F 坐标。
图 1 过 P 作 x 轴的垂线，一下子截出 N、M、P 三点共线；Q 在 P 的左边 3/2 个单位抛物线过 A（−1，0）、B（4，0），还过 C（0，4）——最后这个条件直接告诉你常数项。
把 x ＝ 0 代入 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 4，得c ＝ 4（也就是点 C 的纵坐标）。再把 A、B 两点代入：a − b ＋ 4 ＝ 0 ……①16a ＋ 4b ＋ 4 ＝ 0 ……②① 得 b ＝ a ＋ 4，代进 ②：16a ＋ 4（a ＋ 4）＋ 4 ＝ 020a ＋ 20 ＝ 0 →a ＝ −1，b ＝ −1 ＋ 4 ＝3y ＝ −x² ＋ 3x ＋ 4（顶点（3/2，25/4），对称轴 x ＝ 3/2）顺手把直线 BC 写出来：B（4，0），C（0，4），两点一连，
小提示：看到「与 y 轴交于 C」，常数项就已经知道了，别再去设三个未知数。三个条件用两个，能省一半功夫。先把三个关键点写出来。P 在抛物线上，横坐标 m，所以
P（m，−m² ＋ 3m ＋ 4） N（m，0） M（m，−m ＋ 4）因为 P 在第一象限，而且 PM 要真的存在（P 得在 M 上方），所以 m 的范围是
−m² ＋ 3m ＋ 4 ＞ −m ＋ 4 → −m² ＋ 4m ＞ 0 →0 ＜ m ＜ 4MN 是从 M 垂直往下到 x 轴的那一段，长度就是 M 的纵坐标：
那 C 到这条竖线 x ＝ m 有多远？C 的横坐标是 0，竖线的横坐标是 m，横着量，就是 m。
S₁ ＝ ½ × MN ×（C 到直线 x ＝ m 的距离）＝ ½ ×（4 − m）× m ＝½ m（4 − m）
图 2 两个三角形共用同一条竖线 x ＝ m：蓝色 △MCN 的底是 MN，橙色 △PMQ 的底是 PM，两者的高都横着量② 再看 △PMQ：底是 PM，高是横着的 3/2PM 是从 P 往下到 M 的那一段。P 在抛物线上、M 在 BC 上，两条纵坐标一减：
PM ＝（−m² ＋ 3m ＋ 4）−（−m ＋ 4）＝ −m² ＋ 4m ＝m（4 − m）Q 的横坐标是 m − 3/2，竖线的横坐标是 m，两者横着相差：
S₂ ＝ ½ × PM ×（Q 到直线 x ＝ m 的距离）＝ ½ × m（4 − m）× 3/2 ＝¾ m（4 − m）③ 合并：两块面积的底，都长着 m（4 − m）这个因子注意一个巧合——其实不是巧合：
MN ＝ 4 − m， PM ＝ m（4 − m）＝ m · MN所以两块面积都能写成「m（4 − m）」乘以一个常数：
S ＝ S₁ ＋ S₂＝ ½ m（4 − m）＋ ¾ m（4 − m）＝（½ ＋ ¾）· m（4 − m）＝5/4 · m（4 − m）这是个开口向下的二次函数，配方看顶点：
S ＝ 5/4 ·（−m² ＋ 4m）＝ −5/4（m² − 4m）＝ −5/4（m − 2）² ＋ 5/4 × 4＝−5/4（m − 2）² ＋ 5
图 3 S 关于 m 的函数图像：开口向下，m ＝ 2 时取到最大值 5m ＝ 2 在 0 ＜ m ＜ 4 之内，取得到。此时
P（2，−4 ＋ 6 ＋ 4）＝（2，6）， S 最大 ＝5易错提醒：很多同学算出 S ＝ 5/4·m（4 − m）就停了，忘了回答「点 P 的坐标」。题目问的是 P 的坐标，不是面积——最后一步必须把 m ＝ 2 代回抛物线，写成（2，6）。核心一句话：底竖直 ＝ 纵坐标相减；高水平 ＝ 横坐标相减。这两个动作，比用两点间距离公式快十倍，而且不会带根号。射线 BC 是从 B 出发、经过 C 继续往前。从 B（4，0）到 C（0，4），方向是「向左 4、向上 4」，也就是每走一步左 1、上 1。
把原抛物线配方成顶点式，才好平移：
y ＝ −x² ＋ 3x ＋ 4 ＝ −（x − 3/2）² ＋ 25/4设沿方向（−1，1）平移 a 个单位（a ＞ 0），顶点跟着动，开口方向和开口大小都不变：
y′ ＝ −（x ＋ a − 3/2）² ＋ 25/4 ＋ a题目要求新抛物线过 C（0，4），代进去：
−（0 ＋ a − 3/2）² ＋ 25/4 ＋ a ＝ 4−（a − 3/2）² ＋ 25/4 ＋ a ＝ 4−a² ＋ 3a − 9/4 ＋ 25/4 ＋ a ＝ 4−a² ＋ 4a ＋ 4 ＝ 4a（4 − a）＝ 0 → a ＝ 0 或 a ＝ 4a ＝ 0 就是没动，扔回去还是原抛物线，不合题意，舍去。所以 a ＝ 4：
y′ ＝ −（x ＋ 5/2）² ＋ 41/4 ＝−x² − 5x ＋ 4验一下：x ＝ 0 时 y′ ＝ 4，确实过 C（0，4）。对称轴是
图 4 原抛物线沿 BC 方向向左上平移 4 个「格」，新抛物线正好回落到点 C 上（两条抛物线在 C 处相交）F 在对称轴 x ＝ −5/2 上，设 F（−5/2，f）。题目说 FO 平分 ∠CFE，问 F 在哪。
先盯住图上的两条竖线：CO 在 y 轴上，FE 在对称轴上，两条都是竖直的，所以 CO ∥ FE。
平行线 ＋ 角平分线 → 等腰三角形∵ CO ⊥ x 轴，FE ⊥ x 轴 →CO ∥ FE∵ FO 平分 ∠CFE →∠CFO ＝ ∠OFE∵ CO ∥ FE，被 OF 所截 →∠COF ＝ ∠OFE（内错角相等）∴ ∠CFO ＝ ∠COF∴ 在 △CFO 中，等角对等边：CF ＝ CO而 CO 就是点 C 的纵坐标，CO ＝ 4。所以问题瞬间变成一句话：
图 5 FO 平分 ∠CFE，且 CO ∥ FE，于是 △CFO 是等腰三角形，CF ＝ CO ＝ 4。对称轴与以 C 为圆心、半径 4 的圆的两个交点，就是两个 FF（−5/2，f）到 C（0，4）的距离是 4，用横竖两条直角边写：
横向差 ＝ 5/2，纵向差 ＝ 4 − f（5/2）² ＋（4 − f）² ＝ 4²25/4 ＋（4 − f）² ＝ 16（4 − f）² ＝ 16 − 25/4 ＝ 39/44 − f ＝ ±√39/2f ＝ 4 ∓ √39/2F₁（−5/2，4 ＋ √39/2）或F₂（−5/2，4 − √39/2）两个都要写。题目说「直接写出符合条件的点 F 坐标」——「符合条件的」是复数，本来就该有两个。
不用等腰，改用「角平分线上的点到角两边距离相等」，也能算，而且一样干净。
O 到对称轴（即直线 FE）的距离，就是横着量：5/2。那么 O 到直线 FC 的距离也必须等于 5/2。
直线 FC 过 C（0，4），斜率 ＝（4 − f）÷（5/2）＝ 2（4 − f）/5，整理成一般式：2（4 − f）x − 5y ＋ 20 ＝ 0把 O（0，0）代进去，点到直线的距离公式：20 ÷ √［4（4 − f）² ＋ 25］ ＝ 5/2两边平方整理：4（4 − f）² ＋ 25 ＝ 64（4 − f）² ＝ 39/4 → 同样得到 f ＝ 4 ∓ √39/2两条路都通向同一组答案，说明没问题。
易错点：平移那一步，a ＝ 0 必须舍。如果不舍，你会得到一个「新抛物线就是原抛物线」的假答案——对称轴成了 x ＝ 3/2，跟着算出来的 F 全是错的。凡是「平移后」，都要检查这个平凡解。求解析式
固定动作：看到「与 y 轴交于 C」先写常数项
容易踩的坑：设 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 三个未知数一起解，白算一步
写 m 的范围
固定动作：P 在第一象限 ＋ P 在 M 上方，一起解
容易踩的坑：只写 m ＞ 0，忽略了 0 ＜ m ＜ 4，导致后面取最值时不知道顶点在不在范围内
求 S₁ 的高
固定动作：C 到直线 x ＝ m 的距离 ＝ m
容易踩的坑：把 CN 当成高，多算一个根号；或者把 CM 当高，方向都搞错
求 S₂ 的高
固定动作：Q 到直线 x ＝ m 的距离 ＝ 3/2
容易踩的坑：拿 PQ 的长当底，去套距离公式，越算越乱
合并面积
固定动作：提公因式 m（4 − m），再配方
容易踩的坑：把 ½ 和 ¾ 相加算成 1/4，或者忘了提公因式硬展开
回答问句
固定动作：题目问 P 的坐标，就把 m 代回抛物线
容易踩的坑：只写「S 最大 ＝ 5」，漏掉（2，6）
平移求 a
固定动作：配方成顶点式，设平移 a 个单位
容易踩的坑：忘记 a ＝ 0 是平凡解要舍；或者直接猜 a ＝ 4
角平分线
固定动作：先找平行线（CO ∥ FE），再用内错角
容易踩的坑：硬套角平分线定理，但 O 根本不在 CE 上，定理用不了
最终答案
固定动作：两个 F 都写
容易踩的坑：只写一个，或者把 ± 抄成同一个符号
关于角平分线定理：课本上那条「角平分线上的点到角两边距离相等」随便用；但「CO ÷ OE ＝ CF ÷ FE」那条比例式，必须有 O 落在 CE 上才成立。这道题的 O 不在 CE 上（CE 是斜的，O 在原点），硬套一定出错——这也是很多人卡在第（3）问的真正原因。把这道题的骨架抽出来，换数字照样能用：
抛物线 ＋ 一条直线，过抛物线上一点作 x 轴垂线
固定打法：垂线与直线交于 M、与 x 轴交于 N，出现两段竖线：MN（到 x 轴）、PM（到抛物线）
要算的两个三角形，都有一条竖直边
固定打法：竖直边当底（纵坐标相减），第三个顶点横着量距离当高
两个面积要相加
固定打法：先各自写成含 m 的式子，找公因式，合并成一个二次函数，再配方
问「面积最大时求点的坐标」
固定打法：先求 m，再代回抛物线，别停在面积上
「沿某条直线方向平移后过某点」
固定打法：配方成顶点式，设平移 a 个单位，代入该点解 a，舍去 a ＝ 0
「动点在对称轴上，某条线平分某个角」
固定打法：找与定直线平行的线，角平分线 ＋ 平行线 → 等腰三角形，把角的关系变成长度关系
已知抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 3 与 x 轴交于 A（−1，0），B（3，0），与 y 轴交于 C。（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 在第一象限的抛物线上，横坐标为 m，过 P 作 x 轴的垂线交 BC 于 M，交 x 轴于 N。点 Q 在抛物线上，横坐标为 m − 1。设 △MCN 的面积为 S₁，△PMQ 的面积为 S₂，求 S ＝ S₁ ＋ S₂ 的最大值及此时 P 的坐标；（3）把抛物线沿射线 BC 方向平移后过点 C，新抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，F 是新抛物线对称轴上的动点。若 FO 平分 ∠CFE，求 F 的坐标。已知抛物线 y ＝ ax² ＋ 4 与 x 轴交于 A（−2，0），B（2，0），与 y 轴交于 C。（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 在第一象限的抛物线上，横坐标为 m，过 P 作 x 轴的垂线交 BC 于 M，交 x 轴于 N。点 Q 在抛物线上，横坐标为 m − 2。设 △MCN 的面积为 S₁，△PMQ 的面积为 S₂，求 S ＝ S₁ ＋ S₂ 的最大值及此时 P 的坐标；（3）把抛物线沿射线 BC 方向平移后过点 C，新抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，F 是新抛物线对称轴上的动点。若 FO 平分 ∠CFE，求 F 的坐标。原题（1）y ＝ −x² ＋ 3x ＋ 4；（2）S ＝ 5/4·m（4 − m），m ＝ 2 时取最大值 5，P（2，6）；（3）新抛物线y′ ＝ −x² − 5x ＋ 4，对称轴 x ＝ −5/2，由 CF ＝ CO ＝ 4 得（4 − f）² ＝ 39/4，故F₁（−5/2，4 ＋ √39/2）或F₂（−5/2，4 − √39/2）。同类题 1（1）由 C（0，3）得常数项 3，代入 A、B 得 a ＝ −1，b ＝ 2，y ＝ −x² ＋ 2x ＋ 3；（2）BC：y ＝ −x ＋ 3，MN ＝ 3 − m，PM ＝ −m² ＋ 2m ＋ 3 −（3 − m）＝ m（3 − m）；S₁ ＝ ½ m（3 − m），S₂ ＝ ½ × m（3 − m）× 1 ＝ ½ m（3 − m），S ＝ m（3 − m）＝ −（m − 3/2）² ＋ 9/4；m ＝ 3/2 时 S 最大 ＝ 9/4，P（3/2，15/4）；（3）配方 y ＝ −（x − 1）² ＋ 4，沿（−1，1）平移 a 个：−（a − 1）² ＋ 4 ＋ a ＝ 3 → a（a − 3）＝ 0，取 a ＝ 3，y′ ＝ −x² − 4x ＋ 3，对称轴 x ＝ −2，E（−2，0）；CO ＝ 3，CF ＝ 3 → 4 ＋（3 − f）² ＝ 9 →（3 − f）² ＝ 5 →F（−2，3 ＋ √5）或（−2，3 − √5）。同类题 2（1）把 A（−2，0）代入 y ＝ ax² ＋ 4：4a ＋ 4 ＝ 0，a ＝ −1，y ＝ −x² ＋ 4；（2）BC：y ＝ −2x ＋ 4，MN ＝ 4 − 2m，PM ＝ −m² ＋ 4 −（4 − 2m）＝ m（2 − m）；S₁ ＝ ½（4 − 2m）m ＝ m（2 − m），S₂ ＝ ½ × m（2 − m）× 2 ＝ m（2 − m），S ＝ 2m（2 − m）＝ −2（m − 1）² ＋ 2；m ＝ 1 时 S 最大 ＝ 2，P（1，3）；（3）配方 y ＝ −x² ＋ 4，沿（−1，2）方向平移 a 个：顶点升高 2a，−a² ＋ 4 ＋ 2a ＝ 4 → a（a − 2）＝ 0，取 a ＝ 2，y′ ＝ −x² − 4x ＋ 4，对称轴 x ＝ −2，E（−2，0）；CO ＝ 4，CF ＝ 4 → 4 ＋（4 − f）² ＝ 16 →（4 − f）² ＝ 12 →F（−2，4 ＋ 2√3）或（−2，4 − 2√3）。最后说一句。这道题第二问和第三问，看着毫不相干，其实考的是同一件事：把看不见的关系，翻译成看得见的长度。第二问里，两个斜着的三角形没法直接算，但它们的底都竖着、高都横着——一句话就变成了两个减法。第三问里，角平分线是个「角」的关系，没法算，可是配上一条平行线，它立刻变成「两条边相等」——又是一个长度关系。初中几何的压轴题，翻来覆去就这么几招：斜的变直的，角变成长度，动的变成函数。你缺的从来不是公式，是那个「换一种看法」的瞬间。觉得有用，点个「赞」和「在看」，明天继续
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#初中数学#中考#中考压轴#二次函数#中考最后一道题#初中数学二次函数难题突破
