中考复习第11讲 | 一次函数的应用：建模+方案选择+最值+分段计费（12题精练）
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📌 本讲导读上一讲解决了一次函数"是什么"，这一讲解决中考卷上真正的大题——一次函数的应用：方案选择、最大利润、行程问题、分段计费、调运方案，全是它的主场。本讲说透五件事：①建模四步曲（审题设变量 → 列关系式 → 定自变量取值范围 → 用性质作答）；②方案选择（两个函数作差比较，找"临界点"分三种情况说结论）；③最值问题三板斧（列式 → 看 k 的正负定增减 → 在取值范围端点取最值）；④不等式约束下的方案设计（先用不等式把 x 的整数范围卡出来，再在其中找最值）；⑤分段计费（分段列式、分段判断，问哪段答哪段）。⚠️ 本讲最贵的两分：自变量取值范围不写或写错（尤其整数、非负、题设上限这些实际约束），以及最值必须落在"取值范围内"——k<0 时最大值在 x 最小处，别习惯性取大。
一、知识清单
1. 建模四步曲（应用题的通用流程）① 审题设变量：明确谁是自变量 x、谁是函数 y（一般是"费用 / 利润 / 路程"）；② 列函数关系式：从文字、表格、图象中找等量关系，写成 y=kx+b 的形式（待定系数也在这步）；③ 定自变量取值范围：非负、整数、题设上限、分段界点，一个都不能少；④ 用性质作答：增减性定最值 / 作差定方案，最后必须写"答"。⚠️ 第三步是应用题的第一失分点：关系式对了、范围漏了，最值就错。
2. 方案选择：作差找临界点两个方案分别列出 y₁=k₁x+b₁、y₂=k₂x+b₂，令 y₁=y₂ 解出临界值 x₀，然后分三段说结论：x＜x₀ 时谁省、x=x₀ 时一样、x＞x₀ 时谁省。验证技巧：临界点两侧各代一个整数检验，防止不等号方向写反。⚠️ 若其中一个方案是分段的（如套餐含免费量），必须先分段列出，再逐段比较。
3. 最值三板斧：列式 → 看增减 → 端点取值一次函数 y=kx+b 本身没有最值，但实际问题里 x 有范围（图象是一条线段或射线）：① 列出 y 与 x 的关系式；② 看 k：k>0 时 y 随 x 增大而增大，x 取最大时 y 最大；k<0 时相反；③ 把端点值代进去算最值。口诀：k 正大取大，k 负大取小（y 在 x 大处取小值）。⚠️ 别上来就"代值试"——先看增减性再取端点，又快又不会漏。
4. 不等式约束下的方案设计题目附加"装完 / 不超过预算 / A 不少于 B 的一半"这类约束时：① 用一元一次不等式解出 x 的范围；② x 为整数的写出所有取值（方案种数 = 整数个数）；③ 在范围内按增减性取最值，对应的就是最优方案。典型结构：8x+5(10−x)≥66 → 卡出 x≥6（整数）→ 费用 W=100x+3000 随 x 增大而增大 → x 取最小 6 时最省。⚠️ "不少于"是 ≥、"超过"是 >，等号归谁直接决定方案种数和最值。
5. 分段计费与图象信息题分段计费（水费、话费、出租车、促销折扣）：分段列式，各自带范围；问哪段用哪段，最后"答"要完整。图象信息题四看：① 看两轴（横纵各是什么量、单位）；② 看起点、折点、终点（起点是初始量，折点是速度/方式变化，终点是总路程/总量）；③ 看交点（相遇、追上、费用相等）；④ 看段（每段单独列式，段与段的分界值必写）。⚠️ 行程图象里"两条线"别认错对象：谁从原点出发、谁有初始量，先标注再列式。
🔑 记忆卡：四步曲：设 → 列 → 定范围 → 作答；方案选择作差找临界点，三段说结论；最值看 k 定增减、端点取值；约束题不等式卡范围、整数解数方案；分段题分界值必写、问哪段用哪段。
二、题型精讲
题型一方案选择：找临界点甲公司：起步价 8 元（含 2 km），超过部分每 km 2.6 元；乙公司：无起步价，每 km 3 元。行驶 x km（x＞2），选哪家划算？💡 思路：y甲 = 8+2.6(x−2) = 2.6x+2.8，y乙 = 3x。令 2.6x+2.8=3x ⇒ x=7（临界点）。∴ x＜7 时乙省；x=7 时两家一样（均 21 元）；x＞7 时甲省。结论必须分三段写全，只写"甲划算"不给满分。
题型二最大利润（分配型）商店购进 A、B 两种商品共 100 件，A 每件利润 10 元、B 每件利润 20 元。设购 A 种 x 件，且 A 不少于 60 件，求总利润 w 的最大值。💡 思路：w = 10x+20(100−x) = 2000−10x（x≥60）。k=−10＜0，w 随 x 增大而减小 ⇒ x 取最小 60 时最大，w = 1400 元（此时 B 40 件）。k＜0 时"x 取小、w 取大"，方向别弄反。
题型三不等式约束 + 最省方案用 A、B 两种车共 10 辆运 66 吨物资：A 车每辆装 8 吨、费用 400 元；B 车每辆装 5 吨、费用 300 元。怎样安排最省？💡 思路：设 A 车 x 辆 ⇒ 8x+5(10−x)≥66 ⇒ 3x≥16 ⇒ x≥6（整数，方案共 5 种）。总费用 W=400x+300(10−x)=100x+3000，k>0 ⇒ x=6 最省，W=3600 元（A 车 6 辆、B 车 4 辆，装 68≥66 吨 ✓）。先卡范围、再看增减，顺序不能反。
题型四行程相遇（图象交点）甲、乙两地相距 360 km，慢车从甲地出发，速度 60 km/h；快车同时从乙地出发相向而行，速度 120 km/h。设慢车行驶 t h，求相遇时间与相遇点距甲地的距离。💡 思路：s慢 = 60t；s快 = 360−120t。相遇：60t = 360−120t ⇒ t=2 h，距甲地 60×2=120 km。两条线一升一降，交点就是相遇——横坐标是时间，纵坐标是距甲地的路程。
题型五分段计费（促销折扣）商场促销：购物不超过 100 元不打折；超过 100 元的部分打八折。某顾客实付 260 元，求原购物金额。💡 思路：x＞100 时 y = 100+0.8(x−100) = 0.8x+20。由 0.8x+20=260 ⇒ x=300 元。分段题先确认"付 260 元"落在哪一段（260＞100 ✓），再代那一段的解析式。
三、考点速查表
四、巩固 12 题
出租车起步价 8 元（3 km 内），超过 3 km 后每 km 加收 1.8 元。行驶 x km（x＞3），车费 y 与 x 的关系式为 ______。 水费：每月 12 m³ 以内 2.5 元/m³，超过部分 3.8 元/m³。某月用水 x m³（x＞12），水费 y 与 x 的关系式为 ______。 甲公司：起步价 8 元（含 2 km），超过部分每 km 2.6 元；乙公司：无起步价，每 km 3 元。行驶多少 km 时两家车费相同？ 商店购进 A、B 两种商品共 100 件，A 每件利润 10 元，B 每件利润 20 元，A 种不少于 60 件。设购 A 种 x 件，总利润 w 与 x 的关系式为 ______，w 的最大值为 ______ 元。 学校购买 A、B 两种书架共 20 个，A 每个 230 元，B 每个 280 元，总费用不超过 5200 元，则至少购买 A 种书架 ______ 个。 甲、乙两地相距 360 km，慢车从甲地以 60 km/h 出发，快车同时从乙地以 120 km/h 相向而行，则两车相遇时慢车行驶了 ______ h，相遇点距甲地 ______ km。 水箱原有水 10 L，进水管每分钟进水 5 L。则水箱中水量 y（L）与进水时间 t（min）（0≤t≤8）的关系式为 ______；注满 40 L 需要进水 ______ min。 弹簧长度 y（cm）与所挂重物 x（kg）成一次函数关系：挂 2 kg 时长 15 cm，挂 5 kg 时长 19.5 cm。则 y 与 x 的关系式为 ______；挂 8 kg 时弹簧长 ______ cm。 用 A、B 两种车共 10 辆运送 66 吨物资，A 车每辆装 8 吨、费用 400 元，B 车每辆装 5 吨、费用 300 元，则最省方案是 A 车 ______ 辆、B 车 ______ 辆，总费用 ______ 元。 移动套餐：月租 20 元含 40 min 通话，超出部分 0.2 元/min；联通套餐：无月租，0.3 元/min。月通话 x min（x＞40），两套餐费用相同的 x 值为 ______。 商场促销：购物不超过 100 元不打折，超过 100 元的部分打八折。某顾客实付 260 元，则他原购物金额为 ______ 元。 快、慢两车分别从相距 300 km 的 A、B 两地同时出发，相向而行。慢车速度 50 km/h，快车速度 70 km/h，则出发后 ______ h 两车相距 60 km（相遇前）。
五、逐题解析
- y=1.8x+2.6
。y = 8+1.8(x−3) = 1.8x+2.6（验算：x=3 时 y=8 ✓）。 - y=3.8x−15.6
。y = 2.5×12+3.8(x−12) = 30+3.8x−45.6（验算：x=12 时 y=30=12×2.5 ✓）。 - 7 km
。y甲=2.6x+2.8，y乙=3x；3x=2.6x+2.8 ⇒ x=7（此时车费均 21 元）。 - w=2000−10x；1400
。w=10x+20(100−x)=2000−10x（x≥60）；k=−10＜0 ⇒ x=60 时 w 最大 = 2000−600=1400 元。 - 8
。230x+280(20−x)≤5200 ⇒ 5600−50x≤5200 ⇒ x≥8（验算：x=8 时 8×230+12×280=1840+3360=5200 ✓ 恰好不超）。 - 2；120
。60t=360−120t ⇒ t=2 h；距甲地 60×2=120 km。 - y=5t+10；6
。y=5t+10；5t+10=40 ⇒ t=6 min。 - y=1.5x+12；24
。2k+b=15，5k+b=19.5 ⇒ k=1.5，b=12 ⇒ y=1.5x+12；x=8 时 y=24 cm。 - 6；4；3600
。8x+5(10−x)≥66 ⇒ x≥16/3 ⇒ x≥6（整数）；W=100x+3000 在 x=6 时最小 = 3600 元（6×8+4×5=68≥66 ✓）。 - 120
。x＞40 时 y移=0.2(x−40)+20=0.2x+12，y联=0.3x；0.3x=0.2x+12 ⇒ x=120 min（此时均 36 元；x＜40 时 0.3x≤12＜20 联通省，结论一致）。 - 300
。260＞100 属第二段：0.8x+20=260 ⇒ x=300 元。 - 2
。相遇前两车还没碰面：路程和 = 300−60=240 km ⇒ t = 240÷(50+70) = 240÷120 = 2 h（验算：2 h 时慢车行 100 km、快车行 140 km，100+140=240，相距 300−240=60 km ✓）。
🧠 方法速记卡① 四步曲：设变量 → 列关系式 → 定范围（非负 / 整数 / 上限 / 分界）→ 作答写"答"；② 方案选择：两式作差找临界点，结论分三段（小、等、大），临界点两侧各代一值验方向；③ 最值三板斧：k>0 大处取大，k＜0 大处取小，最值必须在取值范围内；④ 约束方案：不等式卡范围 → 整数解定方案种数 → 增减性挑最优；⑤ 行程图象：起点看初始量、折点看变速、交点看相遇、分段各列各的式；⑥ 分段计费：先判断落在哪一段，再代那段的解析式；反求原值用"付的钱 + 回推"。
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