请点击上方卡片关注我
★ 2027 中考数学 · 压轴题每日一题 ★第 12 题 竖线定形，铅垂高定积竖直段比长短（存在性）＋铅垂高求面积（最值）＋二次函数配方九年级 ｜ 建议用时 40 分钟 ｜ 难度 ★★★★☆这道题一次塞进了三个动点问题：一个动点 M，一条竖直线，一个平行四边形，一个四边形的面积。
先别急着设坐标。看清一件事——题目里新冒出来的线段，几乎全是竖直的：MN 竖着，NP 竖着，DE 也竖着。
竖直线段有个天然的好处：它的长度，就是两个纵坐标相减。于是「平行四边形存在」和「面积最大」这两个看似无关的问题，都变成了同一个动作——盯住一条竖线，算它的长度。
待定系数法对称轴平行四边形存在性铅垂高二次函数最值增根要舍
【2026 · 凉山州】（平行四边形存在性 ＋ 面积最值）如图，抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 B（4，0），C（0，4），对称轴是直线 x ＝ 1。动点 M 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴从点 O 向点 B 运动，设运动时间为 t（0 ≤ t ≤ 4）秒。过点 M 作 x 轴的垂线交 BC 于点 N，交抛物线于点 P。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交 BC 于点 E，顶点是点 D，当 t 为何值时，四边形 DENP 为平行四边形？（3）动点 M 开始运动时，另一动点 Q 同时以每秒 0.5 个单位长度的速度沿 x 轴从点 O 向点 A 运动。当 t 为何值时，四边形 PCQB 的面积最大？并求最大面积。
图 1 过 M 作 x 轴的垂线，一下子切出两条竖线：MN 与 NP。E、D 也在同一条竖直的对称轴上三个条件，正好配三个未知数。
① 由 C（0，4）：把 x ＝ 0 代进 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c，得c ＝ 4。
② 由对称轴 x ＝ 1：对称轴公式是 x ＝−b ÷（2a），于是
③ 由 B（4，0）：代入 16a ＋ 4b ＋ 4 ＝ 0，再把 b ＝ −2a 塞进去：
16a ＋ 4（−2a）＋ 4 ＝ 016a − 8a ＋ 4 ＝ 08a ＝ −4 →a ＝ −½，b ＝ −2 ×（−½）＝1y ＝−½x² ＋ x ＋ 4配成顶点式：y ＝ −½（x − 1）² ＋ 9/2，顶点 D（1，9/2）再顺手求 A：令 y ＝ 0，−½x² ＋ x ＋ 4 ＝ 0，两边乘 −2 得 x² − 2x − 8 ＝ 0，即（x − 4）（x ＋ 2）＝ 0，所以A（−2，0）。
图 2 对称轴 x ＝ 1 是「白送」的条件：它直接告诉你 b ＝ −2a，省掉一个未知数对称轴是最好用的隐藏条件。看到「对称轴 x ＝ 1」，马上写出 b ＝ −2a；看到「顶点在 x ＝ 1」，就是配方后的 h ＝ 1。别把 x ＝ 1 当成常数项 c——那是两回事。先把 BC 写出来。B（4，0）、C（0，4），斜率是 −1，所以BC：y ＝ −x ＋ 4。
E在对称轴 x ＝ 1 上，也在 BC 上：把 x ＝ 1 代进 y ＝ −x ＋ 4，得 E（1，3）。D是顶点（1，9/2）。
所以 DE 是一条固定的竖线，长度：
再看 M。M 的坐标是（t，0），过 M 作 x 轴的垂线，就是直线 x ＝ t。它和两条线各交于一点：
交 BC 于 N：（t，−t ＋ 4）交抛物线于 P：（t，−½t² ＋ t ＋ 4）P、N 的横坐标都是 t，所以NP 也是一条竖线，长度是上减下：
NP ＝（−½t² ＋ t ＋ 4）−（−t ＋ 4）＝−½t² ＋ 2t关键观察。四边形 DENP 的四条边依次是 DE、EN、NP、PD。其中DE 和 NP 都是竖直线段，天然平行。两条对边已经平行了，要它成为平行四边形，只差一步——让它们一样长。于是令 DE ＝ NP：
3/2 ＝ −½t² ＋ 2t两边乘 2：3 ＝ −t² ＋ 4tt² − 4t ＋ 3 ＝ 0（t − 1）（t − 3）＝ 0 → t ＝ 1 或 t ＝ 3两个根，都要回头验一遍——这里正是这道题的分水岭。
t ＝ 1 时：N ＝（1，3）＝ E，P ＝（1，9/2）＝ D。四边形 DENP 的四点两两重合，退化成一条线段，根本不成四边形，舍去。
t ＝ 3 时：D（1，9/2）、E（1，3）、N（3，1）、P（3，5/2），四点各不相同；EN 与 DP 的坐标差都是（2，−2），两组对边分别平行且相等，是真正的平行四边形。
图 3 t ＝ 3 时的 DENP：DE 与 NP 等长（红色等号），两组对边分别平行——标准平行四边形只写「DE ＝ NP，得 t ＝ 1 或 3」是拿不到满分的。压轴题的「平行四边形存在」，解完方程必须再问一句：四个点还各不相同吗？t ＝ 1 让 N 撞上 E、P 撞上 D，就是那个必须舍掉的退化解。也别用「斜率相等」来比这两条边。DE、NP 都是竖线，斜率根本不存在，写「斜率相等」会卡死。竖直段最靠谱的比法是比长度（纵坐标相减），不是比斜率。现在多了个 Q。Q 从 O 出发，每秒 0.5 个单位，朝 A（左边）走。t 秒走了 0.5t，所以
因为 A（−2，0）、t ∈ [0，4]，Q 一直落在 OA 上，不会跑出线段。
四边形 PCQB 的四个顶点是 P、C、Q、B。注意Q、B 都躺在 x 轴上。要求它的面积，连一条对角线 CB，就能把它劈成两个三角形：
S（PCQB）＝ S（△CQB）＋ S（△PCB）底 QB ＝ 4 −（−0.5t）＝ 4 ＋ 0.5t，高就是 C 到 x 轴的距离 4。
S（△CQB）＝ ½ ×（4 ＋ 0.5t）× 4 ＝8 ＋ t△PCB 没有一条边在坐标轴上，硬算很麻烦。但它有个现成的好东西——P 到 BC 的竖直距离，正好是刚才那条 NP（P、N 横坐标都是 t）。
这条竖线叫铅垂高。它的算法是：面积 ＝ ½ × 铅垂高 × 水平宽，而水平宽就是 B、C 横坐标之差（4 − 0 ＝ 4）。
S（△PCB）＝ ½ × NP ×（xB− xC）＝ ½ ×（−½t² ＋ 2t）× 4 ＝−t² ＋ 4t
图 4 连 CB 把四边形劈成两块：△CQB 的底在 x 轴上，△PCB 用竖直的铅垂高 NP 来算S ＝（8 ＋ t）＋（−t² ＋ 4t）＝ −t² ＋ 5t ＋ 8＝ −（t − 5/2）² ＋ 57/4开口向下，t ＝ 5/2 时取最大值。t ＝ 5/2 ＝ 2.5，稳稳落在 [0，4] 里，合法。
t ＝ 5/2 时，四边形 PCQB 面积最大，最大面积 ＝ 57/4
图 5 t ＝ 5/2 时的 PCQB，此时面积最大，S ＝ 57/4铅垂高法是这类题的通用武器。一个三角形若有两点在竖直线上、第三点在别处，或者反过来，就过顶点竖直切下去，交对边于 N，PN 就是铅垂高，面积 ＝ ½ × PN × 水平宽。二次函数里的面积最值，十有八九靠它。Q 的坐标最容易写反。Q 是朝 A（负方向）走的，所以是（−0.5t，0），不是（＋0.5t，0）。一旦写反，QB 就变成 4 − 0.5t，整道面积式全跟着错。把「对称轴 x ＝ 1」当成 c ＝ 1
错解：对称轴给的是 b 与 a 的关系：−b÷（2a）＝1，即b ＝ −2a。c 只能由 y 轴交点定，这里 c ＝ 4。
算出 t ＝ 1、t ＝ 3 就交卷
错解：t ＝ 1 时 N 与 E 重合、P 与 D 重合，四边形退化成线段。解完必须验四点是否互异，t ＝ 1 要舍。
用「斜率相等」比 DE 与 NP
错解：两条都是竖线，斜率不存在。「竖线比长短」要用纵坐标相减，不是比斜率。
Q 的坐标写成（＋0.5t，0）
错解：Q 朝 A（负方向）运动，应为（−0.5t，0）。写反会让 QB、面积式全错。
四边形直接当梯形算
错解：一般情形下 CP 并不平行 QB（P、C 纵坐标一般不相等）。必须连对角线 CB 劈成两个三角形再分别算。
铅垂高拿成「P 到 x 轴的距离」
错解：铅垂高是P 到 BC 的竖直距离 PN，不是 P 到 x 轴。用错了，面积会少一大截。
最值不检查 t 的范围
错解：顶点 t ＝ 5/2 要落在 [0，4] 内才成立。本题落在里面；若顶点跑出区间，最值只能在端点取。
把这道题的动作拆开，会发现每一步都能搬到别的题上：
「过 M 作 x 轴垂线，交两线于 N、P」
固定动作：设 M（t，0），则 N、P 横坐标都为 t；竖直段长 ＝ 上点纵坐标 − 下点纵坐标。
「四边形 … 是平行四边形」（含两条已知竖边）
固定动作：两竖边天然平行，只需令它们等长；解完必须检验四点是否重合，退化解要舍。
「求四边形面积最大」
固定动作：找对角线劈成两个三角形：含 x 轴那条边的用「底 × 高 ÷ 2」，另一个用「铅垂高 × 水平宽 ÷ 2」。
「两个动点同时出发」
固定动作：各自动点先用 t 表示坐标，注意方向的正负号，再代进面积式。
「二次函数求最值」
固定动作：配成 a（t − h）² ＋ k，顶点即最值；最后一定检查 h 是否在 t 的取值范围内。
下面两道同类题，就是把数字换了换，骨架一模一样。
同类题 1抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 B（6，0），C（0，12），对称轴是直线 x ＝ 1。动点 M 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴从 O 向 B 运动，设时间为 t（0 ≤ t ≤ 6）秒。过 M 作 x 轴的垂线交 BC 于 N，交抛物线于 P。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交 BC 于点 E，顶点是 D，当 t 为何值时，四边形 DENP 为平行四边形？（3）M 开始运动时，另一点 Q 同时以每秒 0.5 个单位的速度沿 x 轴从 O 向 A 运动。当 t 为何值时，四边形 PCQB 的面积最大？并求最大面积。同类题 2抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 B（4，0），C（0，8），对称轴是直线 x ＝ 1。动点 M 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴从 O 向 B 运动，设时间为 t（0 ≤ t ≤ 4）秒。过 M 作 x 轴的垂线交 BC 于 N，交抛物线于 P。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交 BC 于点 E，顶点是 D，当 t 为何值时，四边形 DENP 为平行四边形？（3）M 开始运动时，另一点 Q 同时以每秒 0.5 个单位的速度沿 x 轴从 O 向 A 运动。当 t 为何值时，四边形 PCQB 的面积最大？并求最大面积。做的时候留意：B、C 的数字换了，抛物线的 a、b 跟着变，DE 的长度、NP 的表达式、面积的最大值都变了。但「看 DE 是不是竖的 → 比 NP → 解方程 → 验退化」和「劈成两个三角形 → 一个底×高、一个铅垂高」这两条主线，一个字都不用改。原题（1）c ＝ 4；由对称轴 −b÷（2a）＝1 得 b ＝ −2a；由 B（4，0）得 16a ＋ 4b ＋ 4 ＝ 0，即 8a ＝ −4，a ＝ −½，b ＝ 1。抛物线为y ＝ −½x² ＋ x ＋ 4。顶点 D（1，9/2），A（−2，0）。原题（2）BC：y ＝ −x ＋ 4，E（1，3），DE ＝ 9/2 − 3 ＝ 3/2（竖）。N（t，−t ＋ 4），P（t，−½t² ＋ t ＋ 4），NP ＝ −½t² ＋ 2t（竖）。DE ＝ NP → t² − 4t ＋ 3 ＝ 0 → t ＝ 1 或 3。t ＝ 1 时 N 与 E、P 与 D 重合，四边形退化，舍去。故t ＝ 3。原题（3）Q（−0.5t，0）。S ＝ S（△CQB）＋ S（△PCB）＝ ½（4 ＋ 0.5t）× 4 ＋ ½（−½t² ＋ 2t）× 4＝（8 ＋ t）＋（−t² ＋ 4t）＝ −t² ＋ 5t ＋ 8 ＝ −（t − 5/2）² ＋ 57/4。t ＝ 5/2 ∈ [0，4]，故t ＝ 5/2 时面积最大，最大面积 ＝ 57/4。同类题 1（1）c ＝ 12，b ＝ −2a，由 B（6，0）得 36a ＋ 6b ＋ 12 ＝ 0，a ＝ −½，b ＝ 1，y ＝ −½x² ＋ x ＋ 12；A（−4，0），D（1，25/2），BC：y ＝ −2x ＋ 12，E（1，10），DE ＝ 5/2。（2）NP ＝ −½t² ＋ 3t，DE ＝ NP → t² − 6t ＋ 5 ＝ 0 → t ＝ 1 或 5；t ＝ 1 退化舍，t ＝ 5。（3）S ＝ ½（6 ＋ 0.5t）× 12 ＋ ½（−½t² ＋ 3t）× 6 ＝ −1.5t² ＋ 12t ＋ 36 ＝ −1.5（t − 4）² ＋ 60，t ＝ 4 时面积最大，最大 60。同类题 2（1）c ＝ 8，b ＝ −2a，由 B（4，0）得 16a ＋ 4b ＋ 8 ＝ 0，a ＝ −1，b ＝ 2，y ＝ −x² ＋ 2x ＋ 8；A（−2，0），D（1，9），BC：y ＝ −2x ＋ 8，E（1，6），DE ＝ 3。（2）NP ＝ −t² ＋ 4t，DE ＝ NP → t² − 4t ＋ 3 ＝ 0 → t ＝ 1 或 3；t ＝ 1 退化舍，t ＝ 3。（3）S ＝ ½（4 ＋ 0.5t）× 8 ＋ ½（−t² ＋ 4t）× 4 ＝ −2t² ＋ 10t ＋ 16 ＝ −2（t − 5/2）² ＋ 57/2，t ＝ 5/2 时面积最大，最大 57/2。最后说一句。这道题真正考的，不是抛物线，是「看见竖直」。M 一动，N、P、DE 全都竖着——竖着的东西最好量，因为长度就是两个纵坐标相减。平行四边形的「存在」，变成了「两段竖线等长」；四边形的「面积最大」，变成了「一段竖线（铅垂高）最长」。两个看起来毫不相干的问题，其实是同一个动作：盯住那条竖线，算它有多长。压轴题常常这样：把会动的东西全摆在你面前，真正不动的，是一条你一开始没留意的竖线。觉得有用，点个「赞」和「在看」，明天继续
往期内容
#初中数学#中考#中考压轴#二次函数#中考最后一道题#初中数学二次函数难题突破
