2026四川成都中考数学第18题

18.在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于、两点。过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、。

（1）求线段的长；

（2）已知为轴正半轴上一点，若为直角三角形，求点的坐标；

（3）将折线段沿轴正方向平移，得到折线段，点、、的对应点分别为、、。与反比例函数的图象交于点，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，与交于点。探究：在平移过程中，是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由。

解：（1）把代入，得，所以。

  把代入，得。联立

  得，所以。

  因此

  （2）设，其中，则

  ①当时，

  即

  解得，所以。

  ②当时，

  即

  解得，所以。

  ③当时，

  解得，不符合，舍去。

  综上，点的坐标为

（3）为定值，证明如下。

  连接、，过点作轴，垂足为；设直线交轴于点，过点作的延长线，垂足为。

  设向右平移的距离为，其中，则

  因为在反比例函数的图象上，所以

  由、可知，是的中点，因此

  又因为，所以

  在图中填色的和中，

  所以

  从而

  设，则

  所以

  因为在反比例函数的图象上，所以

  代入，得

  整理，得

  即

  因为，所以

  因此

  因为、均在反比例函数的图象上，所以

  由图形的面积分割，得

  因为、、共线，、、共线，由同高三角形的面积比，得

  将对应面积相加，得

  因此，在平移过程中，恒为。