● 每周精题 · 第 08 期 2026.10
期中复习还在从头翻书？
高一 9+1 两年卷子
四类题，几乎必考
集合数个数 · 均值不等式 · 含参二次 · 含参指数
4 PARTS ＋ 写在最后：01 集合 → 02 均值 → 03 二次 → 04 指数
这一期不押题，只看规律
9+1 联盟的高一期中卷，2025 年与 2024 年摆在一起看，你会发现题号是动的、考点没动：集合数个数、均值不等式、含参二次、含参指数，这四类题几乎必考。
安吉这两所高中的孩子，我带了很多届，期中卷子年年换，可这四类题年年报到，换个数字又来了。这一期把两年八道题全摆出来：四道主讲，四道对照，答案一个不落。
卷子是浙江 9+1 联盟的高一上期中 —— 安吉这边考 9+1 的是安高；昌高考的是七彩阳光联考，卷子不一样，但这四类题一样跑不掉。下面把 9+1 两年的同一批考点并排放，题号会变，考点对得上：
两年并排：题号变了，考点没变
看之前先自己做一遍：第 8 题先画加法表，第 11 题先配成常数，第 17 题先写对称轴，第 18 题先换元。四个动作，就是这一篇的全部。
PART 01 · SET
第 1 题｜集合的元素个数（2025 年第 8 题）
2025 年 9+1 期中 · 第 8 题（单选 5 分）
定义集合运算 ⊕：A,B⊆ℝ，A⊕ B=A∪B∪{x| x=a+b, a∈A, b∈B}，n(A) 表示集合 A 中元素的个数，则以下说法不正确的是（ ）
A．若 A⊕ B={1,2,3,4}，B={2}，则 A={1,2}
B．若 n(A)=n(B)=2，则 n(A⊕ B) 的值可能为 4
C．n(A⊕ B)≤n(A)+n(B)+n(A)×n(B)
D．n(A⊕ B)≥min{n(A),n(B)}+1
答案
故选 D（A、B、C 三个说法都成立）
这道题看着唬人，其实就是在数数：三堆东西并起来，一堆是 A，一堆是 B，第三堆是所有 a+b。
上界靠一张加法表；下界要靠「最挤」的例子 —— 把两个集合挤成同一个点，三堆重合，个数就掉到最小。
STEP 01 先把三堆说清楚
新运算 A⊕ B 是三个部分的并：A、B、所有 a+b。后面所有问题，都是在问「三堆并起来有几个」。
A⊕ B=A∪B∪{a+b| a∈A, b∈B}
STEP 02 上界：一张 m×n 的加法表
把 A 的每个元素和 B 的每个元素一一相加，排成一张表：
加法表：m 行 n 列，一共 mn 格，所以第三堆最多 mn 个数
格数是 m×n，所以三堆并起来最多 m+n+mn 个：
n(A⊕ B)≤n(A)+n(B)+n(A)×n(B)
这正是第 C 个选项 —— 加法表就是它的证明。
STEP 03 下界：找一个最挤的例子
要让个数尽可能小，就让三堆重合。取 A=B={0}，此时 A+B={0}，三堆全是同一个元素：
n(A⊕ B)=1<min{n(A),n(B)}+1=2
D 说「个数至少是小的那个再加一」，一个反例就推翻了。所以选 D，A、B、C 都对。
方法提炼：数个数题只有两个极端：上界看「最分散」—— 画加法表；下界看「最挤」—— 让三堆重合。两个极端各试一次，四个选项就全躺下了。
2024 年 9+1 期中 · 第 16 题（对照题）
已知集合 A={x| x²-5x-6≥0}，B={x| (x-4)/(x+3)<0}，C={x| |x-a|<a}．
（1）求 A∪B；（2）若 x∈B 是 x∈C 的充分条件，求实数 a 的取值范围．
★ 答案：(1) (−∞,4)∪[6,+∞)；(2) 无解 —— a>0 时 C=(0,2a) 撑不满 B=(-3,4)，a≤0 时 C=∅
同一个板块，换了个考法：24 年不数个数，考集合运算加充分条件。数轴一画就出来，第（2）问的答案是「无解」—— 当年这一问坑了不少人，很多人算到最后不敢写这两个字。集合题也要敢写空集。
提醒：集合这一块，真正反复考的是容斥与抽屉（数个数）、交并补加充分必要（解不等式）。新定义运算只是偶尔出现的一层包装，剥掉包装，考的还是这两样。
PART 02 · AMGM
第 2 题｜均值不等式（2025 年第 11 题）
2025 年 9+1 期中 · 第 11 题（多选 6 分）
已知 a>0，b>0，且 ab=3a+b+1，则下列结论正确的有（ ）
A．a>1
B．a+b 的最小值为 8
C．ab 的最小值是 2+√3
D．1/(a-1)+4/(b-3) 的最小值为 2
答案
故选 ABD（C 错，ab 的最小值是 7+4√3）
乘积跟和混在一起，第一动作不是套均值，是先配出一个定值乘积。怎么想到配 (a-1)(b-3)？看系数：展开会多出个 3，所以两边同时加 3，右边正好是 4。
配完还不算完 —— 括号里的正负必须先定死，否则 (a-1) 可能是负的，均值不等式根本用不了。
STEP 01 先定符号，再配定值乘积
把含 b 的项收起来：b(a-1)=3a+1．右边恒正，b>0，所以 a-1>0，即 a>1 —— A 直接成立，还顺手定住了 b-3>0。两边同时加 3：
ab-3a-b+3=4⟹ (a-1)(b-3)=4
这一步是整道题的地基，后面三项全靠这两个括号撑起来。
STEP 02 B 项：把 a+b 拆成两个差再加回去
a+b=(a-1)+(b-3)+4≥2√4+4=8
等号在 a-1=b-3=2，即 a=3、b=5 时取到。B 对。
STEP 03 C 项：这道题最大的坑
ab 不能直接拿 (a-1)(b-3)=4 去算，要把 a、b 拆回括号里。设 p=a-1、q=b-3，pq=4：
ab=(p+1)(q+3)=pq+3p+q+3=7+3p+q
ab≥7+2√(3p·q)=7+2√12=7+4√3
所以 ab 的最小值是 7+4√3≈13.93，不是选项里的 2+√3≈3.73．实在不确定也可以估：a>1、b>3，ab 怎么可能只有 3.7。C 错。
STEP 04 D 项：两个差正好在分母上
不用换元，直接把两个差当整体，用一次均值：
等号在 a-1=1、b-3=4 时成立，即 a=2、b=7．D 对。答案 ABD。
方法提炼：乘积与和混在一起，先配成定值乘积「()()=k」，再把要求的东西全部换成这两个括号。变量不该以原来的样子留在式子里。
2024 年 9+1 期中 · 第 13 题（填空 5 分，对照题）
已知 x>0，y>0，且 2xy=3x+y+1，则 xy 的最小值是______．
★ 答案：2 ＋ (√15)/2
同一个形状：两边乘 2 再配，4xy-6x-2y=2，即 (2x-1)(2y-3)=5．设 p=2x-1、q=2y-3，则 pq=5：
两年都是「乘积 ＝ 3 倍 ＋ 1 倍 ＋ 1」，配方后定值乘积分别凑出 4 和 5。这不是巧合，是出题组的固定动作 —— 明年大概还是这个形状，只是数字换一换。
PART 03 · QUAD
第 3 题｜含参二次在闭区间上的最值（2025 年第 17 题）
2025 年 9+1 期中 · 第 17 题（解答 15 分）
已知幂函数 
在 (0,+∞) 上单调递增．
（1）求 m 的值；
（2）当 x∈[-1,3] 时，求函数 g(x)=f(x)-2tx 的最小值．
答案
第（1）问 m=2，即 f(x)=x²
第（2）问 t≤-1：2t+1；-1<t<3：-t²；t≥3：9-6t
第（1）问是送分的：幂函数要求系数为 1、指数里不含 x。第（2）问才是这一类题的全部 —— 轴动、区间定，判据只有一句话：轴在区间的哪一边。
轴左、轴内、轴右，三种位置对应三支答案。三支必须都写，少一支就少分。
STEP 01 第（1）问：幂函数的定义 + 单调性
系数为 1：m²-3=1，得 m=±2；指数为正：3m-4>0，得 m>4/3．取交集：
m=2，f(x)=x²
STEP 02 第（2）问：先写轴，再比位置
把 f(x)=x² 代进去配方，轴是 x=t，开口向上，区间 [-1,3]：
g(x)=x²-2tx=(x-t)²-t²
轴在左、轴在内、轴在右，三句话写完三支
t≤-1：区间上递增，最小值 g(-1)=1+2t
-1<t<3：最小值在顶点，g(t)=-t²
t≥3：区间上递减，最小值 g(3)=9-6t
三支答案后面都要跟上对应的 t 的范围。只写答案不写条件，是这一类题最常见的扣分点 —— 分段的题，条件本身就是答案的一部分。
方法提炼：含参二次在闭区间上求最值，只有一句话：先写轴，再比位置。轴左、轴内、轴右，各配一个条件、写一句单调性，三支写完题就完了。
2024 年 9+1 期中 · 第 17 题(2)（对照题）
已知幂函数 y=f(x) 的图象经过点 (2,4)，记 g(x)=f(x)-x．若 g(x) 在 [-1,a] 上不单调，求实数 a 的取值范围．
★ 答案：a ＞ 1/2
由 f(2)=4 即 2²=4 得 f(x)=x²，所以 g(x)=x²-x，轴 x=1/2．「不单调」就是轴落在区间内部：
和第 17 题同一个判据，只是把「求最小值」换成了「不单调」—— 判据不变，答案的形式从三支变成了一个范围。
PART 04 · EXP
第 4 题｜含参指数复合（2025 年第 18 题）
2025 年 9+1 期中 · 第 18 题（解答 17 分）
已知定义在 ℝ 上的函数 f(x)=a·mˣ+b·m⁻ˣ（m>0 且 m≠1）．
（1）若 f(x) 为奇函数，求 a²-2b 的最小值；
（2）探究 f(x) 是否存在对称中心；若存在，求出 a、b 满足的条件及对称中心，并说明理由；
（3）若 f(x) 为偶函数，且 m²ˣ+m⁻²ˣ+f(x)≥0 在 ℝ 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
答案
第（1）问 -1
第（2）问 存在；a+b=0，对称中心 (0,0)
第（3）问 a≥-1，即 a∈[-1,+∞)
看到指数和它的倒数同时出现，只有一个动作：换元。令 t=mˣ+m⁻ˣ，由均值不等式 t≥2；平方项 m²ˣ+m⁻²ˣ=t²-2 —— 换元之后，整个式子掉进二次函数。
换完元第一件事是写 t 的范围，第二件事是回到 x 数解的个数。这两步，就是这一类题全部的分。
STEP 01 第（1）问：奇函数定关系
奇函数要求 f(0)=0，代入得 a+b=0，即 b=-a：
a²-2b=a²+2a=(a+1)²-1≥-1
STEP 02 第（3）问：偶函数定 a=b，再换元
偶函数要求 f(-x)=f(x) 对任意 x 成立，得 a=b．代回原不等式：
m²ˣ+m⁻²ˣ+a(mˣ+m⁻ˣ)≥0
换元 t=mˣ+m⁻ˣ，平方项写成 t²-2，条件变成对 t≥2 恒成立：
t²+at-2≥0 对一切 t≥2 恒成立
STEP 03 第（3）问：分离参数，看端点
t≥2>0，可以直接除，把 a 单独留下：
右边 2/t-t 在 t≥2 上单调递减，最大值在 t=2 处取到，等于 -1：
a≥-1
这里千万不能对 t²+at-2 直接上判别式：区间是 t≥2，不是全体实数。判别式只管「有没有根」，管不了「根落在哪」。
方法提炼：指数加倒数，换元 t=mˣ+m⁻ˣ，t≥2 是白送的。换完元先写 t 的范围，恒成立再分离参数，最后回到 x 数解的个数 —— 少一步，答案就飘。
2024 年 9+1 期中 · 第 6 题（单选 5 分，对照题）
若函数 f(x)=2²ˣ+2⁻²ˣ-4(2ˣ+2⁻ˣ)+m 有且只有一个零点，则实数 m 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6 ★ 答案：D（m ＝ 6）
同一个换元，多一个坑。令 t=2ˣ+2⁻ˣ≥2：
f=t²-4t+m-2=(t-2)²+m-6
关键在 t 与 x 的对应：t=2 只对应一个 x（即 x=0），t>2 对应两个 x。所以「只有一个零点」逼着根只能落在 t=2：
4-8+m-2=0⟹ m=6
2025 年考「恒成立」，2024 年考「零点个数」。换元是同一个换元，坑却多了一个：别只看 t 有几个解，要回到 x 数一遍。
复盘：四类题，四个动作
集合数个数 —— 画加法表，上界看最分散，下界看最挤；均值不等式 —— 配成定值乘积，再把要求的量全换成那两个括号；含参二次 —— 先写轴，三句话配三个条件；含参指数 —— 换元 t=mˣ+m⁻ˣ，先写 t≥2。
期中卷子不考你记得多少公式，只考你拿到题的第一动作对不对。这四个动作，就是这四类题的全部。
四个高频错处
① 下界不用最挤的例子。像 D 选项那种「至少是小的那个再加一」，反例一定是 A=B 且只有一个元素。
② 均值不等式漏判符号。(a-1)(b-3)=4 只说明两个括号同号，必须先由 b(a-1)=3a+1>0 定住 a>1，才敢对 a+b 用均值。
③ 二次函数只写答案不带条件。三支答案各配一个 t 的范围，漏了条件等于没做完。
④ 换元不写 t 的范围，或者忘了回到 x 数解的个数。t=2 只对应一个 x，这一步是 24 年第 6 题唯一的坑。
交卷前自检两句话：每个「最小/最大」后面，问自己一句「等号什么时候取到」；每个「恒成立」，问自己一句「变量的范围写了没有」。
一句话记住：考点没变，动作就没变：画表、配积、写轴、换元。
本期八道题的答案与完整推导，都写在上面正文里了，不用另外索取。
想要原卷 PDF 的：这两年 9+1 高一上期中卷（2025—2026、2024—2025 学年各一套）都放在网盘了，复制下面这条到浏览器打开就能下；失效了在留言里喊我一声，我补。
● 原卷下载
https://pan.quark.cn/s/6d5563ff3488?pwd=7kkd 提取码 7kkd
下一期回到常规轮换：概率统计 —— 一次、一批、一串，先把模型认准，再动手算。
我是马老师，在安吉大未来教高中数学，常年带高三培优。这个号每周更一道（或一组）值得反复看的题，讲方法，不讲鸡汤。
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题目来源：2025—2026 学年、2024—2025 学年浙江 9+1 联盟高一上期中卷，主讲题第 8、11、17、18 题，对照题第 16、13、17(2)、6 题。八道题的答案均已在 Python 里独立验算。
