初二基础篇 | 等边三角形：三边三角+判定三法+手拉手全等（12题精练）

初中数学 · 八上第15章 轴对称 · 基础篇

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📌 本讲导读
上一讲的等腰三角形是"两条边相等"，这一讲的等边三角形把条件加码到"三条边都相等"——性质一下子厚了一倍，判定却变得更省事。本讲说透五件事：①定义与身份（等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰的一切性质它全都有，而且是"三份"）；②性质（三边相等、三个内角都是 60°、每个外角 120°、三条对称轴、每条边上的中线高角平分线三线合一）；③判定三法（三边相等 / 三角相等 / 有一个角是 60° 的等腰三角形）；④共顶点双等边"手拉手"（八上最经典的全等模型，见等边就找全等）；⑤边长与高、面积、周长的换算（高 = √3/2·a，面积 = √3/4·a²）。⚠️ 本讲最贵的两分："有一个角是 60° 的三角形"不是等边三角形，必须是"有一个角是 60° 的等腰三角形"——少写"等腰"两个字，整道证明作废。

一、知识清单

1. 定义与身份：等腰三角形的"加强版"
三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。
它是特殊的等腰三角形：任意两边都可以当"腰"，所以等腰三角形的一切性质它都有；反过来，等腰三角形的性质对等边三角形失效的部分只有"只有一条对称轴"——等边三角形有三条对称轴。
⚠️ 三边相等 ⇒ 三角相等 = 60°；但"三角相等"必须先由内角和算出 60°，不要跳步。

2. 性质五条，条条能直接用
① 三边相等：AB = BC = CA；
② 三个内角都相等，且每个都是 60°；
③ 每个外角都是 120°（180°−60°）；
④ 是轴对称图形，有三条对称轴（三边中垂线所在直线）；
⑤ 每条边上的中线、高、对角的角平分线三线合一——三组都成立，这是它比等腰三角形"强"的地方。
由⑤立即得到常用结论：等边三角形的高平分底边、平分顶角，即 BD = ½a，∠BAD = 30°。

3. 判定三法（缺一不可分清楚）
法一（定义）：三边都相等的三角形是等边三角形。
法二（三角）：三个角都相等的三角形是等边三角形（因为内角和 180°，每个必为 60°）。
法三（最常用）：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。分两种情形都要会写：
① 若 顶角 = 60°：两底角 = (180°−60°)÷2 = 60° ⇒ 三角相等 ⇒ 等边；
② 若 底角 = 60°：另一底角也是 60° ⇒ 顶角 = 60° ⇒ 三角相等 ⇒ 等边。
⚠️ 只写"有一个角 60°"就判等边是错的，例如 60°、80°、40° 的三角形什么都不是。

4. 共顶点"手拉手"模型（八上最经典的全等结构）
已知 △ABC、△CDE 都是等边三角形，且 B、C、D 三点共线，连接 AD、BE，则 △ACD ≌ △BCE（SAS）。
理由：AC = BC，CD = CE，夹角 ∠ACD = ∠ACB + ∠DCE = 60°+60° = 120°，∠BCE = 180°−60° = 120°，两边夹一角全等。
由此得 AD = BE、∠CAD = ∠CBE。若两个等边三角形绕公共顶点 C 旋转，"夹角相等"仍然成立，结论不随位置改变。
识别口令：见到两个等边三角形共用一个顶点，就去证那一对"旋转出来的全等"。

5. 边长、高、面积、周长的换算表
设边长为 a：周长 = 3a；高（= 中线 = 角平分线）= (√3/2)a；面积 = (√3/4)a²；
反过来：已知高 h ⇒ a = 2h/√3 = (2√3/3)h；已知面积 S ⇒ a = √(4S/√3)。
⚠️ 记不住面积公式就现场推：底 a × 高 (√3/2)a ÷ 2 = (√3/4)a²，比死记更稳。

🔑 记忆卡：三边等 → 三角都 60°、三外角都 120°、三条对称轴、三组三线合一；判定三法：三边等 / 三角等 / 60° 的等腰；见到两个等边共顶点，立刻写 SAS 手拉手全等；换算只有三个数：3a、(√3/2)a、(√3/4)a²。

二、题型精讲

题型一性质求角：60° + 等腰 + 外角三连击
等边 △ABC 中，D 是 AC 的中点，延长 BC 到 E，使 CE = CD，求 ∠E 的度数。
💡 思路：设边长为 a，则 CD = ½a = CE ⇒ △DCE 是等腰三角形；∠DCE = 180°−∠ACB = 180°−60° = 120° ⇒ ∠E = (180°−120°)÷2 = 30°。办法就一条：先用 60° 把相关角算出来（内角 60°、外角 120°），再用等腰"两底角相等"收尾。

题型二判定：有一个角 60° 的等腰三角形
已知 △ABC 中 AB = AC，且 ∠A = 60°，求证 △ABC 是等边三角形；若把条件换成 ∠B = 60°，结论还成立吗？
💡 思路：① 顶角 60° ⇒ ∠B = ∠C = (180°−60°)÷2 = 60° ⇒ 三角相等 ⇒ 等边；② 底角 60° ⇒ ∠C = ∠B = 60° ⇒ ∠A = 60° ⇒ 仍是等边。两种起点、同一条路：先把三个角都凑成 60°，再说"三角相等的三角形是等边三角形"。答题时把"等腰"写明，这是判定三法的前提。

题型三三线合一求长度
等边 △ABC 的边长为 10，AD⊥BC 于 D，求 BD 与 AD。
💡 思路：AD 是底边上的高 ⇒ 三线合一 ⇒ BD = ½×10 = 5，∠BAD = 30°；在 Rt△ABD 中，30° 所对的直角边 BD = ½AB = 5，另一直角边 AD = √(10²−5²) = 5√3。"等边 + 一条高"同时给出三个结论（平分底边、平分顶角、垂直），一步当三步用。

题型四手拉手：双等边共顶点证线段相等
△ABC 与 △CDE 都是等边三角形，B、C、D 在一条直线上，连接 AD、BE。求证 AD = BE。
💡 思路：AC = BC，CD = CE，∠ACD = 60°+60° = 120°，∠BCE = 180°−60° = 120° ⇒ ∠ACD = ∠BCE ⇒ △ACD ≌ △BCE（SAS）⇒ AD = BE。这类题的关键不是"看出全等"，而是"先把两个 120° 算出来写成等式"，SAS 才有落脚点。

题型五由高反求边长与面积
等边三角形的高为 3√3，求它的边长和面积。
💡 思路：高把等边三角形劈成两个 30°-60°-90° 三角形，直角边比 1 : √3 : 2。设边长为 a，则高 = (√3/2)a = 3√3 ⇒ a = 6；面积 = ½×6×3√3 = 9√3。别背公式，直接画高、用"高 : 边 = √3 : 2"这一步比值最快。

三、考点速查表

四、巩固 12 题

1. 下列关于等边三角形的说法，正确的是（　）
   A．三条高相等且互相平分　B．三个内角都是 60°　C．有一个角是 60° 的三角形是等边三角形　D．只有一条对称轴
2. 等边三角形的周长为 21，则它的边长为 ______。
3. 等边三角形的一个外角为 ______°。
4. 等边三角形的边长为 6，则它的一边上的高为 ______。
5. 等边 △ABC 中，AD⊥BC 于 D，AB = 8，则 BD = ______，∠BAD = ______°。
6. 等腰三角形有一个角是 60°，则这个三角形是 ______ 三角形。
7. 等边 △ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 DE∥BC，若 AD = 3，则 DE = ______。
8. 等边 △ABC 中，D 是 BC 的中点，则 ∠ADB = ______°，∠BAD = ______°。
9. 等边三角形的边长为 a，则它的面积为 ______。
10. 等边 △ABC 中，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D，则 ∠BDC = ______°。
11. 等边三角形一边上的高为 5√3，则它的边长为 ______。
12. △ABC 与 △CDE 都是等边三角形，B、C、D 三点共线，若 AD = 5，则 BE = ______。

五、逐题解析

1. B
   。A 错：三条高相等，但相交于中心而不是"互相平分"；C 错：必须强调"60° 的等腰三角形"，60°、80°、40° 反例可破；D 错：等边三角形有三条对称轴。
2. 7
   。三边相等 ⇒ 21÷3 = 7。
3. 120
   。内角 60° ⇒ 外角 = 180°−60° = 120°（三个外角都是 120°，和为 360°，正好吻合）。
4. 3√3
   。高 = (√3/2)×6 = 3√3；也可由 1:√3:2 直接读：边 6 ⇒ 高 3√3。
5. 4；30
   。AD 是底边上的高 ⇒ 三线合一 ⇒ BD = ½×8 = 4，∠BAD = ½×60° = 30°。
6. 等边（正）
   。分两种：60° 是顶角 ⇒ 两底角各 60°；60° 是底角 ⇒ 另一底角 60°、顶角 60°。两种都得三个 60° ⇒ 等边三角形。
7. 3
   。DE∥BC ⇒ ∠ADE = ∠B = 60°，∠AED = ∠C = 60° ⇒ △ADE 三个角都是 60° ⇒ 等边 ⇒ DE = AD = 3。
8. 90；30
   。D 是 BC 中点 ⇒ AD 是底边上的中线 ⇒ 三线合一 ⇒ AD⊥BC ⇒ ∠ADB = 90°，且平分 ∠BAC ⇒ ∠BAD = ½×60° = 30°。
9. (√3/4)a²
   。高 = (√3/2)a ⇒ S = ½·a·(√3/2)a = (√3/4)a²。
10. 90
    。BD 平分 ∠ABC ⇒ ∠DBC = 30°；∠C = 60° ⇒ ∠BDC = 180°−30°−60° = 90°（这也再次说明：等边三角形中任一角的平分线就是对边上的高）。
11. 10
    。设边长为 a，则 (√3/2)a = 5√3 ⇒ a = 10（验算：高 = (√3/2)×10 = 5√3 ✓）。
12. 5
    。AC = BC，CD = CE，∠ACD = 60°+60° = 120°，∠BCE = 180°−60° = 120° ⇒ △ACD ≌ △BCE（SAS）⇒ BE = AD = 5。

🧠 方法速记卡
① 三件套：三边等、三角都 60°、三外角都 120°、三条对称轴，一条都不能记混；
② 判定三法：三边等 / 三角等 / 60° 的等腰——"等腰"两个字绝不能省；
③ 三线合一 ×3：每条边上的中线、高、对角平分线重合，等于同时拿到"平分底边 + 平分顶角 + 垂直"；
④ 手拉手：双等边共顶点 ⇒ 先证两个夹角相等（60°+60° 与 180°−60°），再 SAS；
⑤ 换算三数：周长 3a、高 (√3/2)a、面积 (√3/4)a²；由高反求边用 a = 2h/√3；
⑥ 见到 30° 就想"斜边的一半"，这一招下一讲（含 30° 角的直角三角形）会正式放大招。

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