每天一道好题(9)初三·根与系数

今日典题

初三 · 九年级上册 · 一元二次方程

整体代换，别急着解根

韦达定理的前提，是根存在

初三解完一元二次方程，紧接着就是根与系数的关系——韦达定理。公式两行就背下来了，用起来却是重灾区。

很多人拿到题就开始解方程，根号算得飞起。其实这道题一步求根都不用——韦达定理的全部意义，就是让你绕开那两个带根号的根。

今日典题

已知 x₁、x₂ 是方程 x² − 4x + 2 = 0 的两个实数根，求：

（1）x₁² + x₂²；（2）(x₁ − x₂)²；（3）1x₁ + 1x₂。

🖊 停一下：先想 30 秒 —— 用韦达定理之前，还有什么必须先检查？

标准解答

第一步，先确认根存在——这是韦达定理的前提：

第二步，由根与系数的关系，两行写出：

（1）x₁² + x₂²，配成完全平方：

（2）再配一次——这次减 4 倍：

（3）通分——通分之后分子分母还是对称式：

三个答案 12、8、2，全程没碰根号 —— 这就是整体代换的力量。

三个失分坑

坑 1上来就解根

解方程得 x = 2 ± √2，再代入三个式子硬算——根号的平方、除法，每一步都在制造算错的机会。

韦达定理的意义就是不求根、整体代换：目标式一定可以用「两根之和」「两根之积」表示出来。先找结构，再动笔。

坑 2完全平方里丢了 −2x₁x₂

x₁² + x₂² 写成 (x₁ + x₂)² = 16 —— 中间那项没了。

展开式里藏着 +2x₁x₂，所以要减：16 − 2×2 = 12。同理，差的平方要减 4 倍：16 − 8 = 8。

坑 3不验 Δ 就用韦达

把 x₁ + x₂、x₁x₂ 背出来就用——但如果方程根本没有实数根呢？

比如 x² − 4x + 5 = 0，Δ < 0，两根不存在，"两根之积 = 5" 是一句空话。用韦达，先验判别式，这一行永远写在最前面。

一句话方法

1先算 Δ，确认方程有两个实数根——韦达定理的前提；

2写出两个「基本对称式」：x₁ + x₂ 与 x₁x₂；

3把目标式配成基本对称式的组合：平方和配完全平方，倒数和先通分——通分后的分子分母依然是对称式。

口诀

用韦达，先验 Δ；根不存在，一切白搭

对称式，配 (x₁+x₂) 与 x₁x₂ 的组合

变式练一道

已知 x₁、x₂ 是方程 x² − 3x − 1 = 0 的两个实数根。

求 x₁² + x₂² 与 1x₁ + 1x₂。

参考答案

x₁² + x₂² = 11；1x₁ + 1x₂ = −3

这次 x₁x₂ 是负的，通分后除以负数要变号——结构没变，符号多了一层考验。「先验 Δ」这一步，永远写在最前面。

对自己说的话

看到两个根的对称式，先想韦达定理，别急着解方程。

用韦达之前，先算一遍判别式——根不存在，一切白搭。

平方和的中间藏着 −2x₁x₂，这一项我再也不会弄丢。