高考数学核心思维第36讲:二项式定理万能模型

二项式定理万能模型

通项求值　系数最值　赋值法秒杀

二项式定理展开式(a + b)ⁿ = C0naⁿ ＋ C1naⁿ⁻¹b ＋ C2naⁿ⁻²b² ＋ ⋯ ＋ Cnnbⁿ

万能通项公式　T_r+1 = Crna^n−rb^r　（r = 0, 1, 2, …, n）

关键细节（两处最易扣分）

① (a ＋ b)ⁿ 的展开式共 n ＋ 1 项，不是 r ＋ 1 项；② 通项 T_r+1 表示的是第 r ＋ 1 项，参数 r 从 0 开始取值。

题型特征

求展开式中的常数项、x^k 项、有理项、指定次数的项 —— 这是高考最基础、最高频的考点。

步骤 1　写通项

先写出标准通项 Crna^n−rb^r。

步骤 2　代入化简

把题干里的 a、b 代进去，合并未知数的指数与常数部分。

步骤 3　列方程定 r

按题意列出指数方程，解出整数 r。

步骤 4　回代算值

把 r 代回通项，算出对应的项或系数。

求 (x ＋ 2x)⁶ 展开式中的常数项。

写出通项：T_r+1 = Cr6x^6−r · (2x)^r = Cr6 · 2^r · x^6−2r

常数项要求未知数指数为 0：6 − 2r = 0 ⟹ r = 3

回代计算：T₄ = C36 · 2³ = 20 × 8 = 160

答案：常数项为 160

题型特征

不需要求单独某项，而是求展开式所有系数和、奇数项系数和、偶数项系数和、正负系数差等整体性问题。

三大核心赋值（直接背、直接用）

设 f(x) ＝ (a ＋ bx)ⁿ 的展开式，则：① 所有系数和：令 x ＝ 1，得 f(1)；② 常数项（即 a₀）：令 x ＝ 0，得 f(0)；③ 奇偶项系数和：联立 f(1) 与 f(−1) 求解。

奇数项系数和 = f(1) ＋ f(−1)2　｜　偶数项系数和 = f(1) − f(−1)2

约定说明（务必看清）

本讲的「奇数项」按教材约定指第 1、3、5 项（即 a₀、a₂x²、a₄x⁴⋯）。约定不同，奇偶项系数和的公式会互换，考场上务必看清题目采用的说法。

已知 (2x − 1)⁵ = a₀ ＋ a₁x ＋ a₂x² ＋ ⋯ ＋ a₅x⁵，求所有项系数和与奇数项系数和。

令 x = 1，得所有系数和：f(1) = (2 − 1)⁵ = 1

令 x = −1，得：f(−1) = (−2 − 1)⁵ = −243

奇数项系数和 = f(1) ＋ f(−1)2 = 1 − 2432 = −121

答案：所有系数和为 1，奇数项系数和为 −121

二项式系数最值（固定结论）

Crn 随 r 增大先增后减，且关于中间项对称：① n 为偶数：中间一项 Cn2n 最大；② n 为奇数：中间两项 Cn − 12n、Cn ＋ 12n 相等且最大。

项的系数最值（通用方法）

项的系数含正负与数字倍数，没有固定结论，一律用相邻比值法秒杀：列不等式组 T_r+1 ≥ T_r 且 T_r+1 ≥ T_r+2，解出整数 r 即可锁定最值项。

求 (1 ＋ x)⁸ 展开式中二项式系数最大的项。

n = 8 为偶数，中间第 5 项的二项式系数最大，即 r = 4

T₅ = C48x⁴ = 70x⁴

答案：第 5 项，二项式系数为 70

① 对称性质　Cmn = Cn−mn　（首尾二项式系数对应相等）

② 求和性质　C0n ＋ C1n ＋ ⋯ ＋ Cnn = 2ⁿ

③ 奇偶性质　C0n ＋ C2n ＋ C4n ＋ ⋯　=　C1n ＋ C3n ＋ C5n ＋ ⋯　=　2ⁿ⁻¹

④ 逆用公式

多项式求和、组合数累加的题型，可以直接逆用二项式定理：把求和式还原成 (1 ＋ 1)ⁿ 一类的二项展开，一步秒杀。

陷阱 1　项数混淆 —— 通项是 T_r+1，r 从 0 开始，求第 k 项必须取 r = k − 1。

陷阱 2　两类系数混淆 —— 二项式系数只有组合数，项的系数包含所有常数与正负号。

陷阱 3　指数计算错误 —— 分式、根式通项化简指数出错，导致常数项、指定项算错。

陷阱 4　赋值取值错误 —— 求常数项误用 x = 1；奇偶项系数和不会联立计算。

陷阱 5　最值判断混乱 —— 混淆二项式系数最值与项的系数最值，乱用中间项结论。

习题 1（通项求常数项）　求 (2x − 1x)⁴ 展开式的常数项。

T_r+1 = Cr4(2x)^4−r · (−1x)^r = Cr42^4−r(−1)^rx^4−2r

令 4 − 2r = 0，得 r = 2

代入：常数项 = C24 × 2² × 1 = 6 × 4 = 24

习题 1：常数项为 24

习题 2（赋值求系数和）　(3x ＋ 1)⁴ = a₀ ＋ a₁x ＋ a₂x² ＋ a₃x³ ＋ a₄x⁴，求偶数项系数和。

f(1) = 4⁴ = 256；　f(−1) = (−2)⁴ = 16

偶数项系数和 = f(1) − f(−1)2 = 256 − 162 = 120

习题 2：偶数项系数和为 120

习题 3（二项式系数最值）　求 (x − 1)⁷ 展开式中二项式系数最大的项。

n = 7 为奇数 ⟹ 中间第 4、5 项的二项式系数最大

T₄ = −C37x⁴ = −35x⁴

T₅ = C47x³ = 35x³

习题 3：第 4 项为 −35x⁴，第 5 项为 35x³，二项式系数均为 35

习题 4（指定项系数）　求 (1 ＋ 2x)⁵ 展开式中 x³ 项的系数。

由 T_r+1 = Cr52^rx^r 知，取 r = 3

系数 = C35 × 2³ = 10 × 8 = 80

习题 4：x³ 项的系数为 80

🧩 计数原理板块 · 全考点闭环

计数原理、排列组合、二项式定理三大支柱至此全部闭环，本讲为后续概率统计专题夯实了计算与题型基础。

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