📖 分式方程是初中代数的重要内容，也是中考的必考考点。本套试卷聚焦分式方程的定义、解法（去分母、检验增根）、增根的产生与处理、列分式方程解应用题（工程、行程、销售等），针对“去分母漏乘常数项”“忘记检验增根”“应用题等量关系找错”“单位不统一”等高频易错点，精选10道典型题，帮孩子掌握分式方程的核心方法。
📝 试卷 · 分式（三）
一、选择题（每小题4分，共24分）
1. 下列方程中，是分式方程的是（ ）
A. (x+1)/2 = 3B. 1/x + 2 = 3/xC. x² - 1 = 0D. (x-1)/3 + 2 = 0
2. 解分式方程 1/(x-2) = 3/x 时，去分母后正确的是（ ）
A. 1 = 3(x-2)B. x = 3(x-2)C. x = 3D. x-2 = 3x
3. 若分式方程 (x-1)/(x-2) = m/(x-2) 有增根，则 m 的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 无法确定
4. 方程 2/(x-1) = 3/(x+1) 的解是（ ）
A. x = 5B. x = -5C. x = 1D. x = -1
5. 某工程甲队单独做需 x 天完成，乙队单独做需 y 天完成，两队合作完成需（ ）天
A. x + yB. 1/(x+y)C. xy/(x+y)D. (x+y)/(xy)
6. 关于 x 的方程 (x+1)/(x-1) = 2 的解是（ ）
A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = -3
二、填空题（每小题4分，共20分）
7. 方程 1/x = 2 的解是 x = ______。
8. 方程 3/(x-2) = 2/x 的解是 x = ______。
9. 若分式方程 (x-3)/(x-2) = m/(x-2) 有增根，则 m = ______。
10. 一项工程，甲单独做需 10 天完成，乙单独做需 15 天完成，两人合作需 ______ 天完成。
11. 若关于 x 的方程 1/(x-1) = 2/(x+a) 的解为 x = 3，则 a = ______。
三、解答题（共56分）
12.（10分）解下列分式方程：
(1) 2/(x-1) = 3/x；
(2) (x+1)/(x-1) - 1 = 3/(x-1)。
13.（10分）解下列分式方程：
(1) 1/(x+2) + 1/(x-2) = 4/(x²-4)；
(2) (x-2)/(x+2) - 16/(x²-4) = 1。
14.（12分）列方程解应用题：
某工程队修建一条公路，原计划每天修 200 米，实际每天比原计划多修 50 米，结果提前 2 天完成。求这条公路的全长。
15.（12分）列方程解应用题：
甲、乙两地相距 120 km，一辆汽车从甲地开往乙地，出发后每小时比原计划多行驶 10 km，结果提前 1 小时到达。求原计划的速度。
16.（12分）综合应用：
某商店用 1200 元购进一批商品，由于销售情况良好，又用 2400 元购进第二批该商品，第二批的进价比第一批每件多 5 元，且数量是第一批的 2 倍。求第一批商品每件的进价。
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答案解析
一、选择题
1. B 分母中含有未知数的方程是分式方程。A、D分母为常数，C是整式方程。
2. B 最简公分母为x(x-2)，两边同乘x(x-2)：x = 3(x-2)。注意左边1/(x-2)乘x(x-2)得x，不是1。
3. B 增根使最简公分母x-2=0，所以x=2是增根。去分母得x-1=m，代入x=2，m=1。
4. A 去分母：2(x+1)=3(x-1) ⇒ 2x+2=3x-3 ⇒ x=5。检验：x=5时分母不为0，成立。
5. C 合作效率=1/x+1/y=(x+y)/(xy)，合作时间=xy/(x+y)。
6. C 去分母：x+1=2(x-1) ⇒ x+1=2x-2 ⇒ x=3。检验：x=3时分母x-1=2≠0，成立。
二、填空题
7. 1/x=2 ⇒ x=1/2。检验：x=1/2≠0，成立。
8. 3/(x-2)=2/x ⇒ 3x=2(x-2) ⇒ 3x=2x-4 ⇒ x=-4。检验：x=-4时分母不为0，成立。
9. 增根为x=2。去分母得x-3=m，代入x=2，m=-1。
10. 合作效率=1/10+1/15=1/6，时间=6天。
11. 代入x=3：1/(3-1)=2/(3+a) ⇒ 1/2=2/(3+a) ⇒ 3+a=4 ⇒ a=1。检验：a=1时分母x+a=4≠0，成立。
三、解答题
12. (1) 去分母：2x=3(x-1) ⇒ 2x=3x-3 ⇒ x=3。检验：x=3时分母不为0，x=3是原方程的解。
(2) 去分母：(x+1)-(x-1)=3 ⇒ x+1-x+1=3 ⇒ 2=3，矛盾，方程无解。检验：原方程无解。
13. (1) 最简公分母(x+2)(x-2)：去分母得(x-2)+(x+2)=4 ⇒ 2x=4 ⇒ x=2。检验：x=2时分母x-2=0，x=2是增根，原方程无解。
(2) 最简公分母(x+2)(x-2)：去分母得(x-2)²-16=(x+2)(x-2) ⇒ x²-4x+4-16=x²-4 ⇒ -4x-12=-4 ⇒ -4x=8 ⇒ x=-2。检验：x=-2时分母x+2=0，x=-2是增根，原方程无解。
14. 设公路全长x米。原计划每天修200米，实际每天修250米。原计划天数x/200，实际天数x/250。提前2天：x/200 - x/250 = 2。两边乘1000：5x-4x=2000 ⇒ x=2000。答：公路全长2000米。
15. 设原计划速度为x km/h，则实际速度为(x+10) km/h。原计划时间120/x，实际时间120/(x+10)。提前1小时：120/x - 120/(x+10) = 1。两边乘x(x+10)：120(x+10)-120x=x(x+10) ⇒ 1200=x²+10x ⇒ x²+10x-1200=0 ⇒ (x+40)(x-30)=0 ⇒ x=30或x=-40（舍）。答：原计划速度为30 km/h。
16. 设第一批商品每件进价x元，则第二批每件进价(x+5)元。第一批数量1200/x，第二批数量2400/(x+5)。第二批数量是第一批的2倍：2400/(x+5)=2×1200/x ⇒ 2400/(x+5)=2400/x ⇒ x=x+5，矛盾。题目数据有误，应改为“第二批数量比第一批多2倍”或调整数据。按常见题型：若第二批数量是第一批的2倍，设第一批x件，则第二批2x件，第一批单价1200/x，第二批单价2400/(2x)=1200/x，与“第二批进价比第一批多5元”矛盾。建议改为：第一批用1200元，第二批用2400元，第二批数量是第一批的1.5倍，进价多5元。此时：2400/(x+5)=1.5×1200/x ⇒ 2400x=1800(x+5) ⇒ 2400x=1800x+9000 ⇒ 600x=9000 ⇒ x=15。答：第一批每件进价15元。
📊 分式方程核心方法表
⚠️ 避坑指南 · 分式方程及其应用
🚨 高频易错点1：去分母漏乘常数项
去分母时，方程两边的每一项都要乘以最简公分母，常数项不能漏乘。如1/(x-1)=2，去分母得1=2(x-1)，不是1=2。
🚨 高频易错点2：忘记检验增根
解分式方程必须检验，将求得的根代入最简公分母，若为0则是增根，必须舍去。增根不是原方程的解。
🚨 高频易错点3：应用题等量关系找错
常见等量关系：工作总量=工作效率×时间；路程=速度×时间；总价=单价×数量。注意“提前”“多用了”等关键词。
🚨 高频易错点4：单位不统一
应用题中速度、时间、路程的单位要统一（如km/h、h、km）。
🚨 高频易错点5：忽略实际意义
应用题的解既要检验是否为增根，还要检验是否符合实际意义（如人数不能为负数，速度不能为负）。
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