初一基础篇 | 整式：单项式·多项式·整式全攻略（12题精练）

初中数学 · 七上第4章 整式的加减 · 基础篇

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📌 本讲导读
第 3 章学会了"写代数式"，这一章开始给代数式分家族、上户口。本讲说透五件事：①单项式（数与字母的积，只含乘法；单独一个数或字母也算）；②单项式的系数与次数（系数带符号、π 是数字因数；次数是所有字母指数之和）；③多项式（几个单项式的和；项要带上符号；次数取最高的）；④几次几项式（次数与项数合起来起名字）；⑤整式（单项式 + 多项式，一句话判断：分母里没有字母）。⚠️ 本讲最贵的两分：π 是数字不是字母——−πx²y³ 的系数是 −π，次数只算 x、y 的指数。

一、知识清单

1. 单项式：只含乘法的式子
表示数或字母的积的式子叫单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式。
判断要点：式子里面只能有乘法运算（数字与字母、字母与字母之间）。有加减（如 x+1）、有字母在分母（如 3/x）、有字母在指数位置的，都不是单项式。
⚠️ π 是一个具体的数，含 π 不影响它是单项式。

2. 单项式的系数：数字因数，符号要带上
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
① 符号属于系数：−5ab 的系数是 −5，不是 5；
② 单个字母的系数是 1 或 −1：x 的系数是 1，−x² 的系数是 −1；
③ π 是数字因数：−πx²y³ 的系数是 −π（π 不是字母，不进次数）；
④ 系数是带分数时通常写成假分数：1½ab 写成 3/2 ab。

3. 单项式的次数：所有字母指数之和
单项式中所有字母的指数的和叫这个单项式的次数。
① 字母的指数是 1 时虽然不写，但照样要加：−5ab 的次数 = 1+1 = 2；
② π 不算：πr² 的次数是 2（只有 r）；
③ 没有字母的单项式（如 5、−3）次数是 0；
④ 次数是几就叫几次单项式。

4. 多项式：几个单项式的和
几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫多项式的项。
① 写项必须带符号：3x²−2x+5 的各项是 3x²、−2x、5；
② 多项式的次数 = 次数最高项的次数；
③ 不含字母的项叫常数项；
④ 命名看两样：几次几项式（如 x⁴−2x²y³+1 是五次三项式）。
⚠️ 多项式的次数不是所有项次数之和，是取最大！

5. 整式：一句话判断
单项式和多项式统称整式。
快速判断法：分母中不含字母的代数式就是整式（分母可以是具体的数如 2、π）。
例：x²+5、−1、−3x+2、π、5x 都是整式；3/x、x²+1/x 分母含字母，不是整式。
判断顺序建议：先看是不是单项式 → 不是再看是不是几个单项式的和 → 都不是（分母含字母）才出局。

🔑 记忆卡：单项式三问——系数带符号、π 是数字、次数只加字母指数（指数 1 别漏）；多项式三问——项带符号、次数取最高、常数项是哪一项；整式一句话——分母无字母。

二、题型精讲

题型一判断单项式
下列式子中，是单项式的是（　）A．x+1　B．−xyz²　C．2/x　D．p−q
💡 思路：A、D 有加法，是多项式；C 分母含字母；只有 B 是数与字母的积，选 B。判断只看两样：有没有加减、分母有没有字母。

题型二系数与次数
写出单项式 −πx²y³ 的系数与次数。
💡 思路：π 是数字因数 ⇒ 系数 = −π；次数只算字母：x 的 2 次 + y 的 3 次 = 5。π 不进次数、符号进系数，两句话防住两个坑。

题型三含参定次数
若 (m−3)xy^|m|+1 是关于 x、y 的五次单项式，求 m 的值。
💡 思路：次数 = 1 + (|m|+1) = 5 ⇒ |m| = 3 ⇒ m = ±3；但系数 m−3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 3 ⇒ m = −3。含参题两步走：先按次数列方程，再回头查系数不能为 0。

题型四多项式的项、次数与命名
多项式 3x²y − xy³ + 5xy − 1 是几次几项式？
💡 思路：四项：3x²y、−xy³、5xy、−1；各本次数 3、4、2、0 ⇒ 最高 4 ⇒ 是四次四项式。数项别忘带符号；定次数先逐项算再取最大。

题型五判断整式的个数
在 −mn，m，8，3/x，x²+2x+6 中，整式有几个？
💡 思路：−mn（单项式）✓、m ✓、8 ✓、x²+2x+6（多项式）✓；3/x 分母含字母 ✗ ⇒ 4 个。先把 3/x 这类"分母含字母"的踢出去，剩下的逐一分类。

三、考点速查表

四、巩固 12 题

1. 下列式子中，是单项式的是（　）
   A．x+1　B．−xyz²　C．2/x　D．p−q
2. 单项式 −5ab² 的系数是 ______，次数是 ______。
3. 单项式 −πx²y³ 的系数是 ______，次数是 ______。
4. 下列说法正确的是（　）
   A．单项式 x 的次数是 0　B．单独一个数不是单项式　C．−a²b 的系数是 1　D．单项式 −x²yz² 的次数是 5
5. 多项式 3x²−2x+5 的各项分别是 ______。
6. 多项式 1+2xy−3xy² 的次数及最高次项的系数分别是（　）
   A．3，−3　B．2，−3　C．5，−3　D．3，1
7. 多项式 x⁴−2x²y³+1 是 ______ 次 ______ 项式。
8. 若 (m−3)xy^|m|+1 是关于 x、y 的五次单项式，则 m = ______。
9. 在 −mn，m，8，3/x，x²+2x+6 中，整式有 ______ 个。
10. 单项式 3x^m+2yⁿ 与 −x³y² 的次数相同，且 m、n 均为正整数，则 m+n = ______。
11. 多项式 2x³−x²y+3y²−5 的次数是 ______，常数项是 ______。
12. 一个多项式加上 −x²+x−2 得 x²−1，则这个多项式是 ______。

五、逐题解析

1. B
   。A、D 含加减是多项式；C 分母含字母；B 是数与字母的积，是单项式。
2. −5；3
   。符号属于系数；次数 = a 的 1 次 + b 的 2 次 = 3。
3. −π；5
   。π 是数字因数 ⇒ 系数 −π；次数只算字母 2+3 = 5。
4. D
   。A 错：x 的次数是 1；B 错：单独一个数也是单项式；C 错：系数是 −1；D 对：2+1+2 = 5。
5. 3x²，−2x，5
   。写项必须把符号一起写，第二项是 −2x 不是 2x。
6. A
   。三项次数：0、2、3 ⇒ 次数 3；最高次项是 −3xy²，系数 −3。
7. 五；三
   。三项次数 4、5、0 ⇒ 最高 5 次；共 3 项 ⇒ 五次三项式。
8. −3
   。1 + (|m|+1) = 5 ⇒ |m| = 3 ⇒ m = ±3；系数 m−3 ≠ 0 ⇒ 舍去 m = 3 ⇒ m = −3。
9. 4
   。−mn、m、8、x²+2x+6 是整式；3/x 分母含字母不是。
10. 3
    。次数相同：(m+2)+n = 3+2 = 5 ⇒ m+n = 3。
11. 3；−5
    。各项次数 3、3、2、0 ⇒ 次数 3；不含字母的项 −5 是常数项。
12. 2x²−x+1
    。所求式 = (x²−1)−(−x²+x−2) = x²−1+x²−x+2 = 2x²−x+1（验算：2x²−x+1+(−x²+x−2) = x²−1 ✓）。

🧠 方法速记卡
① 单项式：只含乘法；单独的数或字母也算；分母有字母直接出局；
② 系数：数字因数带符号；π 是数字；单字母系数 ±1；
③ 次数：字母指数全相加；指数 1 看不见也要加；π 不加；纯数字次数 0；
④ 多项式：项带符号、次数取最高、常数项独立记；命名"几次几项式"；
⑤ 含参题：次数列方程 + 系数非零（或指数为正整数）回头检验，缺一步就丢解或多解；
⑥ 整式：单项式 + 多项式，快速判断看"分母无字母"。

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