前言

今天我们来看一道苏州大学的数学分析考研真题，这种类型的题目可是考研和竞赛的超高频考题了，现在距离第十八届全国大学生数学竞赛初赛和27考研初试越来越近，大家正好用这道题目来练练手。

苏州大学数学分析考研真题

题目

设实数列  满足 . 证明：当  充分大时，方程  在  上有且仅有一解 ，且 .

解析

令，则 . 由 ，存在  使  时 ，故对  有 ，从而  时  在  上严格递增。

又由 ，存在  使  时 ，于是

由 ，存在  使  时 . 取 ，则当  时，

故对 ，由介值定理知存在  使 ，即 ；又因  严格递增，零点唯一，故解在  上存在且唯一。

下证 .

由 ， 有界。任取收敛子列 ，由

并令 ，得

令 ，则 ，故  严格递增，且 ，从而上述方程在  上唯一解为 ，因此任意收敛子列极限皆为 ，故.

证毕。

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