高三数学 · 高考一轮·概率统计专题
2026-2027学年第8周 · 含近年全国卷高考真题拆解与模拟训练（第二轮复习·全新题组）
一、知识点精讲
概率统计是高考数学稳拿分的大题，新高考卷每年必有一道 12—17 分题，且偏爱"生活情境 + 决策 + 期望"。一轮复习进入第 8 周，建议把解题"武器库"补齐，从"背概念"转向"套套路"。
1. 概率题三板斧：① 树状图/列举法——古典概型、不放回抽样首选；② 对称性——胜负翻转、甲乙对调可省去繁琐枚举；③ 期望线性性 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 恒成立（无需独立），用来"绕过逐项列举"算总分期望。
2. 分布列四步法：列取值 → 算概率 → 验 Σpk=1 → 求 E(X)/D(X)。取值宁可多写 0 和"全中"，别漏；概率算完务必核验和为 1，这是阅卷第一道关。
3. 统计推断两把尺：① 独立性检验——先列 2×2 列联表，算 K²=n(ad−bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)] 再与临界值 3.841/6.635 比；② 参数估计——用频率估计概率（p≈频数/总数），再代入题给判据式下结论。
4. 决策类题：比较"谁先上场/哪种方案更优"时，作差法 + 单调性是标配——分别写出两种方案的期望表达式，相减因式分解后由 0<p<q 判号，不必算出完整分布。
5. 易错红线（本轮新归纳）：① 不放回≠独立，抽样后概率会变；② 独立性检验必须先造 2×2 表，直接套 K² 公式易把 a、b、c、d 填错；③ 分布列取值易漏 0、易漏"全中/全失"；④ 贝叶斯逆概率别和条件概率 P(B|A) 混——已知"结果"反推"原因"才用逆概率。
二、高考真题分析
【真题1】(2024·新课标全国Ⅱ卷·第18题)
某投篮比赛分两个阶段，每队由甲、乙两名队员组成。第一阶段由一人投篮 3 次，若 3 次都未中则该队淘汰（成绩 0 分）；若至少中 1 次则进入第二阶段，由另一人投篮 3 次，每次中得 5 分，未中得 0 分，成绩为第二阶段得分总和。设甲每次命中概率 p，乙每次命中概率 q，各次独立。(1) 若 p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段，求甲、乙所在队成绩不少于 5 分的概率；(2)(i) 为让成绩为 15 分的概率最大，应由谁先上场？(ii) 为让成绩数学期望最大，应由谁先上场？
解析：(1) 成绩≥5 分 ⇔ 甲第一阶段至少中 1 次 且 乙第二阶段至少中 1 次。P=(1−0.6³)(1−0.5³)=(1−0.216)(1−0.125)=0.784×0.875=0.686。(2)(i) 设甲先时成绩 15 分概率 P甲=[1−(1−p)³]q³，乙先时 P乙=[1−(1−q)³]p³；由 0<p<q 可作差得 P甲>P乙，故 由甲先上场；(ii) 两种方案期望分别为 E甲=15[1−(1−p)³]q、E乙=15[1−(1−q)³]p，作差仍得 E甲>E乙，故 仍由甲先上场。
答案：(1) 0.686；(2)(i)(ii) 均由甲先上场
【真题2】(2024·全国甲卷理科·第17题)
某工厂智能化升级后，从甲、乙两车间产品中随机抽 150 件检验：甲车间优级 26、合格 24、不合格 0（计 50 件）；乙车间优级 70、合格 28、不合格 2（计 100 件）。(1) 填写"优级品/非优级品"列联表，判断能否有 95%、99% 把握认为两车间优级品率存在差异？(2) 改造前优级品率 p=0.5，若抽样优级品率 p̂>p+1.65√[p(1−p)/n] 则认为提高（√150≈12.247）。能否认为升级后优级品率提高了？
解析：(1) 列联表：甲 优级26/非优级24，乙 优级70/非优级30。K²=150×(70×24−26×30)²/(96×54×50×100)=150×900²/25920000=4.6875。因 4.6875>3.841 且 <6.635，故有 95% 把握、无 99% 把握存在差异。(2) 优级品频率 p̂=96/150=0.64；判据阈值=0.5+1.65×√(0.25/150)=0.5+1.65×0.0408≈0.567；0.64>0.567，故认为提高。
答案：(1) K²=4.6875，有95%把握、无99%把握；(2) 认为优级品率提高
【真题3】(2024·北京卷·第18题)
某保险保费 0.4 万元；前 3 次出险每次赔 0.8 万元，第 4 次赔 0.6 万元。从期满保单随机抽 1000 份，赔偿次数：0 次 800 单、1 次 100 单、2 次 60 单、3 次 30 单、4 次 10 单。用频率估计概率。(1) 估计一单赔偿不少于 2 次的概率；(2) 毛利润 X=保费−赔偿总额。(i) 估计 E(X)；(ii) 若未赔偿保单下期保费降 4%、已赔偿的增 20%，试比较下期毛利润期望与(i)的大小（结论不要求证明）。
解析：(1) P(≥2次)=(60+30+10)/1000=0.1。(2)(i) 赔付额 ξ 取 0、0.8、1.6、2.4、3，概率分别 0.8、0.1、0.06、0.03、0.01；E(ξ)=0×0.8+0.8×0.1+1.6×0.06+2.4×0.03+3×0.01=0.278，E(X)=0.4−0.278=0.122 万元。(ii) 下期保费期望=0.4×0.8×0.96+0.4×0.2×1.2=0.4032，下期毛利润期望=0.4032−0.278=0.1252 万元 > 0.122 万元，故下期更大。
答案：(1) 0.1；(2)(i) E(X)=0.122万元；(ii) 下期毛利润期望更大
【真题4】(2023·全国甲卷·概率统计大题)
甲、乙两校体育竞赛共设三个项目，每项胜方得 10 分、负方得 0 分，无平局；总分高者夺冠。甲在三项获胜概率分别为 0.5、0.4、0.8，各项目独立。(1) 求甲夺冠概率；(2) 记 X 为乙总得分，求 X 的分布列与期望。
解析：(1) 甲夺冠 ⇔ 甲至少赢 2 项：恰好 2 项=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，全胜=0.5×0.4×0.8=0.16，合计 0.6。(2) X∈{0,10,20,30}：P(X=0)=0.16，P(X=10)=乙恰赢1项=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，P(X=20)=甲恰赢1项=0.34，P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06（验 Σ=1）。E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13。
答案：(1) 0.6；(2) 分布列 P(0)=0.16,P(10)=0.44,P(20)=0.34,P(30)=0.06，E(X)=13
三、模拟题解答
【模拟1】盒中有 5 张票，编号 1—5，不放回抽取 2 张，求两张编号之和为偶数的概率。
解答：总样本 C(5,2)=10 种。和为偶数 ⇔ 两奇或两偶：奇数有 1,3,5 取 2 张 C(3,2)=3，偶数有 2,4 取 2 张 C(2,2)=1，共 4 种，故 P=4/10=2/5。
答案：2/5
【模拟2】某射手每次命中概率 0.7，独立射击 5 次，记 X 为命中次数。(1) 写出分布列；(2) 求 E(X)；(3) 求 P(X≥4)。
解答：X~B(5,0.7)。P(X=0)=0.3⁵=0.00243；P(X=1)=C₅¹·0.7·0.3⁴=0.02835；P(X=2)=C₅²·0.7²·0.3³=0.1323；P(X=3)=C₅³·0.7³·0.3²=0.3087；P(X=4)=C₅⁴·0.7⁴·0.3=0.36015；P(X=5)=0.7⁵=0.16807（验 Σ≈1）。E(X)=np=5×0.7=3.5；P(X≥4)=P(4)+P(5)=0.36015+0.16807=0.52822。
答案：(1) 分布列如上；(2) E(X)=3.5；(3) P(X≥4)≈0.528
【模拟3】工厂有两台机床：甲生产占 60%、次品率 5%，乙生产占 40%、次品率 8%。随机抽一件发现是次品，求它来自甲机床的概率。
解答：贝叶斯逆概率。P(甲|次品)=P(甲)P(次品|甲)/[P(甲)P(次品|甲)+P(乙)P(次品|乙)]=0.6×0.05/[0.6×0.05+0.4×0.08]=0.03/(0.03+0.032)=0.03/0.052≈0.577。
答案：约 0.577（或 15/26）
四、同步学习建议
本周（2026-2027 学年第 8 周）进入概率统计二轮衔接，建议"题型归类、限时突破"：把真题 1—4 对应的四类型（决策期望比较、独立性检验、分布列期望、离散变量应用）各仿做 1 道，每道限时 12 分钟。重点打磨"列联表构造 + K² 计算"和"分布列取值不遗漏"两处易错点。
错题本按"误用独立 / 漏取值 / 逆概率混淆"三类贴标签，月考前集中回看。下周我们将进入《高考一轮·立体几何专题》，记得关注本号更新，保持节奏不掉队。
