2026年全国硕士研究生招生考试《数学(二)》(302)全真模拟试卷(含答案解析)·考前冲刺必刷题

本试卷按教育部《2026年全国硕士研究生招生考试考试大纲·数学（二）》编制（考试日期：2026年12月19—20日）。

本卷为 2026 年全国硕士研究生招生考试《数学（二）》（302）全真演练卷，按官方卷面结构编制：

单项选择题 10 题（50 分）＋填空题 6 题（30 分）＋解答题 6 题（70 分），

合计 22 题，满分 150 分，考试时间 180 分钟；内容占比：高等数学约 80%、

线性代数约 20%（不考概率论）。

1．当 $x\to 0$ 时，下列无穷小中与 $x$ 等价的是（ ）。

A．$\ln(1+x)$

B．$x-\sin x$

C．$1-\cos x$

D．$e^{x^2}-1$

2．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$，$f'(0)=2$，则 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}$ 等于（ ）。

A．$0$

B．$\dfrac12$

C．$1$

D．$2$

3．设 $f(x)=\ln(1+x^2)$，则 $f'(1)$ 等于（ ）。

A．$\dfrac12$

B．$1$

C．$2$

D．$0$

4．定积分 $\displaystyle\int_0^\pi \sin^2 x\,dx$ 的值为（ ）。

A．$\dfrac{\pi}{2}$

B．$\pi$

C．$1$

D．$2$

5．设 $z=x^2y+xy^2$，则 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 在点 $(1,2)$ 处的值为（ ）。

A．$6$

B．$4$

C．$2$

D．$8$

6．设 $f(x)=\displaystyle\int_0^x e^{t^2}\,dt$，则 $f'(0)$ 等于（ ）。

A．$1$

B．$0$

C．$e$

D．$2$

7．设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，且 $|A|=2$，则 $|2A|$ 等于（ ）。

A．$4$

B．$16$

C．$8$

D．$32$

8．微分方程 $y''-4y=0$ 的通解为（ ）。

A．$C_1e^{2x}+C_2e^{x}$

B．$C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$

C．$C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}$

D．$(C_1+C_2x)e^{2x}$

9．设 $\alpha_1=(1,0,0)$，$\alpha_2=(0,1,0)$，$\alpha_3=(0,0,1)$，则下列向量组中线性相关的是（ ）。

A．$\alpha_1,\ \alpha_2$

B．$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3$

C．$\alpha_1+\alpha_2,\ 2\alpha_1+2\alpha_2,\ \alpha_3$

D．$\alpha_2,\ \alpha_3$

10．设 $A$ 为可逆矩阵，则 $(A^{-1})^{\mathrm T}$ 等于（ ）。

A．$A^{\mathrm T}$

B．$(A^{\mathrm T})^{-1}$

C．$A^{-1}$

D．$A^{\mathrm T}A^{-1}$

11．设 $f(x)=x^2\ln x$，则 $f'(1)=$＿＿＿＿。

12．定积分 $\displaystyle\int_0^1 (2x+1)\,dx=$＿＿＿＿。

13．极限 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2+2x}=$＿＿＿＿。

14．设 $z=x^3y-xy$，则 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=$＿＿＿＿。

15．微分方程 $y'=2x$ 满足初值条件 $y(0)=1$ 的特解为 $y=$＿＿＿＿。

16．设矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则 $|A|=$＿＿＿＿。

17．解答题（10分）

设函数 $f(x)=x^3-3x$，求 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上的最大值与最小值。

18．解答题（12分）

（Ⅰ）计算定积分 $\displaystyle\int_0^1 x e^{2x}\,dx$；（Ⅱ）求由曲线 $y=e^{2x}$、直线 $x=0$、$x=1$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积。

19．解答题（12分）

求函数 $f(x,y)=x^2+y^2-xy-x-y$ 的极值。

20．解答题（12分）

计算二重积分 $\displaystyle\iint_D (x+y)\,d\sigma$，其中积分区域 $D$ 由直线 $y=0$、$y=x$ 与 $x=1$ 围成。

21．解答题（12分）

求微分方程 $y''+4y=0$ 满足初值条件 $y(0)=0$、$y'(0)=2$ 的特解。

22．解答题（12分）

设矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$。（Ⅰ）求 $A$ 的特征值；（Ⅱ）求 $A$ 的对应于每个特征值的特征向量；（Ⅲ）判断 $A$ 是否可对角化，并说明理由。