STEP 1

两条半径 ⇒ 等腰 ⇒ 平行（全题的入口）

OD = OB，都是半径 ⇒ △OBD 是等腰三角形 ⇒ ∠ODB = ∠OBD。

而 O 在 AB 上，∠OBD 就是 ∠ABC；又 AB = AC ⇒ ∠ABC = ∠C。

所以 ∠ODB = ∠C。这两个角都在直线 CB 的同侧、对着同一个方向 ⇒ OD ∥ AC。

这一步是全题唯一真正用到「圆」的地方，后面两问都靠它。

⇒ OD = OB ⇒ ∠ODB = ∠ABC = ∠C ⇒ OD ∥ AC

STEP 2

两个中点 ⇒ 中位线 ⇒ 平行四边形

已知 OG = DG，即 G 是 OD 的中点；又 F 是 OB 的中点。

在 △OBD 中，F、G 分别是 OB、OD 的中点 ⇒ FG 是中位线 ⇒ FG ∥ BD。

E、G、F 三点共线（G 在 EF 上），D 在 CB 上 ⇒ GE ∥ CD；再加上第 1 步的 DG ∥ CE。

两组对边分别平行 ⇒ 四边形 CEGD 是平行四边形。

⇒ OG = DG + F 为 OB 中点 ⇒ FG ∥ BD ⇒ GE ∥ CD，又 DG ∥ CE ⇒ CEGD 是平行四边形

STEP 3

同一条平行线，换个截线就是内错角

OD ∥ AC，OE 作截线 ⇒ ∠DOE = ∠AEO（内错角）。

已知 ∠OFE = ∠DOE ⇒ ∠OFE = ∠AEO。又 A、O、F、B 依次共线，射线 FO 与射线 FA 是同一条 ⇒ ∠OFE 就是 ∠AFE。

△AEO 与 △AFE 中：∠AEO = ∠AFE，∠EAO = ∠FAE（公共角）⇒ △AEO ∽ △AFE。

对应边：AE : AF = AO : AE ⇒ AE² = AO · AF。注意是 AE 的平方，不是 AO·AF 之外的东西。

⇒ ∠DOE = ∠AEO = ∠OFE ⇒ △AEO ∽ △AFE ⇒ AE² = AO · AF

STEP 4

一次勾股 + 一次代入，解出 OB

设 OF = FB = a，则 OB = OE = 2a（半径），AF = AO + OF = 4 + a。

∠BAC = 90° ⇒ AO ⊥ AC ⇒ Rt△AEO 中 AE² = OE² − AO² = 4a² − 16。

由第 3 步 AE² = AO · AF = 4(4 + a)，两式相等：4a² − 16 = 16 + 4a ⇒ a² − a − 8 = 0。

a = (1 + √33)/2（负根舍去）⇒ OB = 2a = 1 + √33 ≈ 6.745。

⇒ 4a² − 16 = 4(4 + a) ⇒ a² − a − 8 = 0 ⇒ OB = 1 + √33

答案

(1) 已证：四边形 CEGD 为平行四边形

(2) OB = 1 + √33 ≈ 6.745

(3) OG : OD = 1/2

① 别把「半径相等」当成「OD = CD」

圆上的点是 B、D、E，所以相等的半径是 OD = OB = OE。CD 不是半径。写成 OD = CD 就推不出 ∠ODB = ∠C，整条链子断在第一步。

② 证平行要交代「哪两个角是同位角」

∠ODB = ∠C 必须点明：D 在 CB 上，这两个角都对着射线 DB（即射线 CB）的方向，是同位角。只说「两角相等所以平行」会被扣过程分。

③ 相似比别写反

△AEO ∽ △AFE 的对应是 A↔A、E↔F、O↔E，所以是 AE : AF = AO : AE。写成 AE : AF = AO : AF 就什么都得不到。

④ ∠OFE 与 ∠AFE 是同一个角

因为 A、O、F、B 依次在同一条直线上，射线 FO 与射线 FA 重合。这一句不写，题目给的 ∠OFE = ∠DOE 就没法接到 △AFE 上去。

⑤ 设元只设一个 a，别设两个

OF = FB = a 之后，OB = OE = 2a 是半径给的，AF = 4 + a 是共线给的。三个长度都由同一个 a 表示，方程才只有一个未知数。

题目

联结 BG。如果 △OBG 是以 OB 为腰的等腰三角形，且 AO = OF，求 OG : OD 的值。

提示：此时 AB = AC = 3a，OB = OD = OE = 2a，且 G 落在 EF 上、OD 上。

思路

① 由 AO = OF 记 OF = FB = a ⇒ AO = a、OB = OD = OE = 2a、AB = AC = 3a、AF = 2a。

② OD ∥ AC（第 (1) 问已证）⇒ 在 △FAE 中 G 在 FE 上、O 在 FA 上且 GO ∥ AE ⇒ △FOG ∽ △FAE ⇒ FG : FE = FO : FA = a : 2a = 1 : 2（G 是 EF 中点），且 OG = ½AE。记 AE = t。

③ 「以 OB 为腰」只能是 GB = OB = 2a（若 OG = OB = 2a，则 OG = OD，G 与 D 重合，舍去）。以 O 为原点、OB 为 x 轴：F(a, 0)、E(−a + t·cos∠BAC, t·sin∠BAC)，G 为 EF 中点，于是 GB² = (19a² − 6at·cos∠BAC)/4。令 GB = 2a ⇒ t·cos∠BAC = a/2。

④ 又 OE = 2a ⇒ a² + t² − 2a·t·cos∠BAC = 4a²；代入 t·cos∠BAC = a/2 ⇒ t² = 4a² ⇒ t = 2a、cos∠BAC = 1/4。于是 OG = ½t = a，而 OD = 2a ⇒ OG : OD = 1 : 2。

数值复核：取 a = 1、cos∠BAC = 1/4 作精确图，量得 AE = 2.000、GB = 2.000、OG = 1.000、OD = 2.000 ✔

⇒ OG : OD = 1/2

变式 1 把 OG = DG 换成 OG : DG = 1 : 2

条件同原题（沿用图 1），把 (1) 的「OG = DG」换成「OG : DG = 1 : 2」，其余不变。CEGD 还是平行四边形吗？

思路（逆用中位线定理）：若仍有 FG ∥ BD，那么在 △OBD 中 F 是 OB 的中点、过 F 且平行于 BD 的直线必交 OD 于它的中点，即 G 必须是 OD 的中点 —— 与 OG : DG = 1 : 2 矛盾。

所以 FG ∦ BD ⇒ GE ∦ CD，只剩 DG ∥ CE 一组，不是平行四边形。

⇒ 不成立。中位线定理反过来用：FG ∥ BD 会强迫 G 是 OD 中点

变式 2 把结论换成一个角

条件同第 (2) 问（沿用图 4：∠BAC = 90°、AO = 4、OB = 1 + √33），求 ∠OFE 的度数。

思路：前两步已证 ∠OFE = ∠DOE = ∠AEO，而 ∠BAC = 90° ⇒ △AEO 是直角三角形，sin∠AEO = AO : OE = 4 : (1 + √33)。

分母有理化：4/(1+√33) = 4(√33−1)/32 = (√33−1)/8 ≈ 0.5931 ⇒ ∠OFE ≈ 36.4°。

⇒ ∠OFE = arcsin((√33−1)/8) ≈ 36.4°

变式 3 把结论从 OB 换成 CD（顺手用上「OD ⊥ AB」）

条件同第 (2) 问（沿用图 4：∠BAC = 90°、AO = 4、OB = 1 + √33），求 CD 的长。

思路：OD ∥ AC 且 AC ⊥ AB ⇒ OD ⊥ AB，D 又满足 OD = OB ⇒ D 在过 O 且垂直于 AB 的直线上。以 O 为原点、AB 为 x 轴：D(0, 1+√33)，而 AC = AB = 5 + √33 ⇒ C(−4, 5+√33)。

两点横坐标差 4、纵坐标差 (5+√33) − (1+√33) = 4 ⇒ CD = √(16 + 16) = 4√2 ≈ 5.657。

⇒ CD = 4√2（D 的纵坐标与 B 的横坐标恰是同一个半径，差值正好是 AO）

这道题从头到尾只有一条线索：圆的两条半径相等。它先把 △OBD 变成等腰，等腰的底角又和 △ABC 的底角对上，于是得到 OD ∥ AC —— 一条「白送」的平行线。

有了这条平行线，(1) 问只是把两个中点接上去变成中位线；(2) 问只是把截线从 CB 换成 OE，让内错角把「已知的角相等」搬到 △AFE 里，凑出一对相似三角形。压轴题的骨架往往就这么一根：找到一个不依赖于具体数值的结论，剩下两问都挂在它上面。

⇒ 半径 ⇒ 等腰 ⇒ 等角 ⇒ 平行；平行线是全题唯一的「基础设施」