2027 中考数学 · 压轴题每日一题 第 9 题 最远的一点,最省的走法
2027 中考数学 · 压轴题每日一题 第 9 题 最远的一点,最省的走法
请点击上方卡片关注我 ★ 2027 中考数学 · 压轴题每日一题 ★ 第 9 题 最远的一点，最省的走法 距离最大值 ＋ 平移相切 ＋ 将军饮马定长 ＋ 等边三角形存在性 九年级 ｜ 建议用时 40 分钟 ｜ 难度 ★★★★☆ 这一道题，把「最值」的两张面孔摆在了一起。
第（2）① 问求 距离最大 ：动点在曲线上，目标是一条平行线上的斜距。它的钥匙是—— 把那条定线段平移，平移到刚刚碰到曲线为止 。相切那一刻，距离最大。
第（2）② 问求 折线和最小 ：两个动点被一段定长拴着跑。它的钥匙是—— 把定长搬走 。搬完，折线被拉直，还是那句老话：两点之间，线段最短。
两个问，一个「撑到最开」，一个「收到最紧」，用的却都是「平移」这一个动作。看懂这一点，这道题就只剩下计算。
交点式 点线距离 平移相切 将军饮马 定长平移 平行四边形 等边三角形
【2026 · 广安】 如图，二次函数 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 4（a，b 为常数，a ≠ 0）的图象与 x 轴分别交于点 A、点 B，与 y 轴交于点 C，OB ∶ OA ＝ 1 ∶ 2，AB ＝ 6。 （1）求二次函数的解析式； （2）① 连接 AC，点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，当点 P 到 AC 的距离最大时，求点 P 的坐标； ② 在 ① 的条件下，点 M、N 分别是 y 轴和抛物线对称轴上两个动点，且 MN ⊥ y 轴，连接 BM、MN、NP，求 BM ＋ MN ＋ NP 的最小值； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点 Q，使以点 Q、A、P 为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 图 1 抛物线过 B（−2，0）、A（4，0）、C（0，4），对称轴 x ＝ 1。题目给的是「长度比 ＋ 定长」，不是两个交点坐标 题目没有直接告诉你 A、B 的坐标，只说 OB ∶ OA ＝ 1 ∶ 2、AB ＝ 6。别急着设 a、b 硬解， 先把两个交点解出来 ——它们离原点的距离是一个「一倍」和一个「二倍」。
设 B（−m，0）、A（n，0），其中 m ＞ 0、n ＞ 0。 OB ＝ m，OA ＝ n，由 OB ∶ OA ＝ 1 ∶ 2 得 n ＝ 2m ； AB ＝ OA ＋ OB ＝ n ＋ m ＝ 3m ＝ 6，得 m ＝ 2，n ＝ 4 。 所以 B（−2，0）、A（4，0） 。两个交点一到手，剩下的就是初中最常规的活了。 这一步是这道题的「白送分」，也是最容易丢的分。 OB、OA 都是 长度 ，永远是正数；而 B 在 y 轴左边，坐标要带负号。写成 B（2，0）的同学，后面每一问都会跟着错。 AC 是定线段，P 在抛物线上跑。想象手里有一把尺子，始终和 AC 平行，从 AC 开始慢慢往外推： 推到刚好碰到抛物线的那一瞬，尺子和 AC 之间的距离就是最大值 ，而碰到的那一点，就是 P。
「和定线段平行、且与抛物线只有一个交点」的直线，就是切线。 所以做法固定三步： ① 设平行线 y ＝ −x ＋ m（AC 的斜率是 −1）； ② 与抛物线联立，令 Δ ＝ 0 求 m； ③ 切点就是 P，两平行线之间的距离就是最大值。 图 2 把 AC 往上平移到与抛物线相切（绿色直线 l），切点即 P；PH 就是所求的最大距离 第 ② 问里，M 在 y 轴上、N 在对称轴 x ＝ 1 上，而且 MN ⊥ y 轴 ——这句话的意思是 MN 是一条 水平线段 。两条平行直线（x ＝ 0 与 x ＝ 1）之间的距离是固定的，所以
MN ≡ 1 —— 它根本不是变量，是一个常数。 既然 MN 是死的，那「BM ＋ MN ＋ NP 最小」就等价于「 BM ＋ NP 最小 」。 可 BM 和 NP 还是两个动点各管一段。怎么办？ 还是平移 ：
把 P 向左平移 1（正是 MN 的长度），得到 P′（1，4） 。 因为 PP′ ∥ MN 且 PP′ ＝ MN ＝ 1，所以四边形 MNP′P 是平行四边形， 于是 NP ＝ MP′ 。 原式 ＝ BM ＋ MN ＋ NP ＝ BM ＋ MP′ ＋ 1， 而 BM ＋ MP′ 是一条从 B 出发、经 M、到 P′ 的折线， B、P′ 都是定点 。 由两点之间线段最短：BM ＋ MP′ ≥ BP′ ， 所以 BM ＋ MN ＋ NP ≥ BP′ ＋ 1 。定长被「搬」成了一步直线。 图 3 绿色实线 MP′ 与紫色虚线 NP 是平行四边形 MNP′P 的对边，一样长；取最小值时 B、M、P′ 三点共线 为什么平移 P 而不是平移 B？ 因为 MN 的方向是「从 M 指向右」，而 N 在 P 这一侧。要把 NP 变成「从 M 出发」的线段，就得把 N 挪到 M，也就是把整条 NP 向左平移 1——P 跟着一起左移，得到 P′。方向记反了，得到的是 P″（3，4），一算 BP″ ＝ √41，答案就飞了。 由零件①： B（−2，0）、A（4，0） 。 设 y ＝ a（x ＋ 2）（x − 4） ，把 C（0，4）代入： a × 2 × （−4）＝ 4 ⟹ −8a ＝ 4 ⟹ a ＝ −1/2 。 所以 y ＝ −1/2·（x ＋ 2）（x − 4）＝ −1/2·x² ＋ x ＋ 4 。 顺手记下两件事，后面要用： 对称轴 x ＝ −b ÷ （2a）＝ 1 ；顶点（1，9/2）。 为什么不直接列方程组？ 把 B、A、C 三点代入 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 4 也能算：c ＝ 4 已经白给，剩下两个方程解 a、b，一样能做。 但 交点式少解一次方程组 ：已知两个 x 轴交点，写成 a（x − x₁）（x − x₂），一个点就定 a。考场上省下的三分钟，就是最后一道大题的十分钟。 先写下 AC 的解析式：过 C（0，4）、A（4，0），斜率 −1，所以 y ＝ −x ＋ 4 ，即 x ＋ y − 4 ＝ 0 ，长度 AC ＝ 4√2。
解法一（平移相切，最快也最像「解析几何」）
设与 AC 平行的直线 l：y ＝ −x ＋ m 。 与抛物线联立：−1/2·x² ＋ x ＋ 4 ＝ −x ＋ m 整理： x² − 4x ＋ 2m − 8 ＝ 0 相切 ⟺ 只有一个交点 ⟺ Δ ＝ 0： Δ ＝ 16 − 4（2m − 8）＝ 48 − 8m ＝ 0 ⟹ m ＝ 6 。 此时方程是 x² − 4x ＋ 4 ＝ 0，即 （x − 2）² ＝ 0， x ＝ 2 ， 纵坐标 y ＝ −2 ＋ 6 ＝ 4 。 所以 P（2，4） 。 最大距离 ＝ 两条平行线 y ＝ −x ＋ 6 与 y ＝ −x ＋ 4 之间的距离 ＝ |6 − 4| ÷ √2 ＝ √2 。 解法二（点线距离公式，最稳）
设 P（t，−1/2·t² ＋ t ＋ 4），0 ＜ t ＜ 4（第一象限）。 P 到 x ＋ y − 4 ＝ 0 的距离： d ＝ |t ＋ （−1/2·t² ＋ t ＋ 4） − 4| ÷ √2 ＝ |−1/2·t² ＋ 2t| ÷ √2 因为 0 ＜ t ＜ 4，绝对值里是正的，可以直接去掉： d ＝ （−1/2·t² ＋ 2t）÷ √2 分子配方：−1/2·t² ＋ 2t ＝ −1/2·（t − 2）² ＋ 2， 所以 t ＝ 2 时分子最大，等于 2， d 最大 ＝ 2 ÷ √2 ＝ √2 ， 此时 P（2，4） 。 解法三（等面积法，几何味最浓）
△ PAC 的底 AC 是定长，所以 面积最大 ⟺ 高（也就是距离）最大 ，问题等价于求 △ PAC 面积的最大值。 过 P 作竖直线交 AC 于 E，则 E（t，4 − t）， PE ＝ （−1/2·t² ＋ t ＋ 4） − （4 − t）＝ −1/2·t² ＋ 2t 。 S △ PAC ＝ 1/2 × PE × （x A − x C ）＝ 1/2 × PE × 4 ＝ 2PE， PE 最大为 2（t ＝ 2），S 最大为 4， 于是 d ＝ 2S ÷ AC ＝ 8 ÷ 4√2 ＝ √2 。 三种解法算出来都是 √2、都是 P（2，4），互相印证。 考场上建议： 解法一最快 （不用配方）， 解法二最不容易出错 （公式一套就有）， 解法三最好用来验算 （面积是整数，心算就能核）。 还有一个巧合值得记一下： P 的横坐标恰好是 OA 的一半 （2 ＝ 4 ÷ 2）。这不是偶然——凡「y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 与两轴交于 A（n，0）、C（0，c），求抛物线上一点到 AC 距离最大」，那个点永远是 x ＝ n/2。 已知 P（2，4）、B（−2，0），对称轴 x ＝ 1。由零件③的思路，只差最后一步计算。
第一步：把定长摘出来。 M 在 y 轴（x ＝ 0）上，N 在 x ＝ 1 上，MN ⊥ y 轴 ⟹ MN 是水平线段， MN ＝ 1 （两条平行线之间的距离，与 M、N 的具体位置无关）。 第二步：把 NP 搬到 M 身边。 PP′ ∥ MN，PP′ ＝ MN ＝ 1 ⟹ 四边形 MNP′P 是平行四边形 ⟹ NP ＝ MP′ ， 其中 P′（1，4） （P 向左平移 1）。 第三步：拉直。 BM ＋ MN ＋ NP ＝ BM ＋ MP′ ＋ 1 ≥ BP′ ＋ 1 。 BP′ ＝ √［（1 ＋ 2）² ＋ （4 − 0）²］＝ √（9 ＋ 16）＝ 5 。 所以 BM ＋ MN ＋ NP 的最小值 ＝ 5 ＋ 1 ＝ 6 。 第四步：写出取等的位置（有问就要答）。 取等 ⟺ B、M、P′ 三点共线。 BP′ 的斜率 ＝ （4 − 0）÷ （1 ＋ 2）＝ 4/3，直线为 y ＝ 4/3·（x ＋ 2）， 令 x ＝ 0 得 y ＝ 8/3，所以 M（0，8/3） ，从而 N（1，8/3） 。 （8/3 在 0 与 4 之间，M 落在 OC 上 ✓） 验算一句话： M（0，8/3）时，BM ＝ √（4 ＋ 64/9）＝ 10/3，NP ＝ √（1 ＋ 16/9）＝ 5/3， 10/3 ＋ 5/3 ＋ 1 ＝ 5 ＋ 1 ＝ 6 ✓ 先算底边：A（4，0）、P（2，4）， AP ＝ √（4 ＋ 16）＝ 2√5 。
以 AP 为边的等边三角形，第三点 Q 一定在 AP 的垂直平分线 上，而且到 AP 的距离等于等边三角形的高。垂直线两侧各有一个——所以 答案是两个 。（图 4 里一绿一橙。）
设 Q（x，y） 。等边三角形三边相等： QA² ＝ （x − 4）² ＋ y² ＝ 20 ……（1） QP² ＝ （x − 2）² ＋ （y − 4）² ＝ 20 ……（2） （1）−（2）消去平方项： （−8x ＋ 16 ＋ 4x − 4）＋ （8y − 16）＝ 0 化简得 −4x ＋ 8y − 4 ＝ 0，即 x ＝ 2y − 1 ……（3） （这就是「垂直平分线」的方程，Q 必须落在它上面） 把（3）代入（1）：（2y − 5）² ＋ y² ＝ 20 5y² − 20y ＋ 25 ＝ 20 ⟹ y² − 4y ＋ 1 ＝ 0 y ＝ （4 ± √12）÷ 2 ＝ 2 ± √3 。 再回代 x ＝ 2y − 1： y ＝ 2 ＋ √3 时，x ＝ 3 ＋ 2√3 ； y ＝ 2 − √3 时，x ＝ 3 − 2√3 。 图 4 AP 两侧各有一个等边三角形：Q₁ 落在抛物线外侧，Q₂ 落在 y 轴附近（纵坐标约为 0.27） Q₁（3 ＋ 2√3，2 ＋ √3） Q₂（3 − 2√3，2 − √3） 近似值：Q₁（6.46，3.73），Q₂（−0.46，0.27）。 「平面内」三个字，是这道题的暗号。 题目没有限定 Q 只能在哪一侧、只能在第几象限，那就是 两个都要写 。只写一个，扣一半分。 反过来，如果题目说「点 Q 在抛物线上」「Q 在第一象限」，那你就要拿算出来的两个点去筛——条件写在哪儿，答案就砍到哪儿。先算全，再筛。 B 的坐标写成（2，0）
错解： OB、OA 都是 长度 ，恒为正；B 在 y 轴左侧，坐标必须是 （−2，0） 。这一步写错，三问全崩。
把「与 y 轴交于 C」当成 C（4，0）
错解： 常数项 4 是 纵截距 ，所以 C（0，4）。题目给 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 4，已经把 C 送到你手上了，别再自己造一个点。
求 P 时算出端点
错解： t ＝ 0 或 4 时 P 与 C、A 重合，距离是 0，是最小值不是最大值。最大值一定在 中间 取到（本题 t ＝ 2）。
把 m ＝ 6 当成最大距离
错解： m 是切线在 y 轴上的截距，不是距离。距离要用 两平行线间距 |6 − 4| ÷ √2 ＝ √2。
把 MN 当变量去求最值
错解： M、N 分别在两条 平行直线 上，MN ⊥ y 轴 ⟹ MN 恒等于两条线的间距 1。它是常数，可以提到最值外面。
平移方向搞反
错解： 要「把 N 挪到 M」，就得把 P 向左 移 1，得 P′（1，4）；向右移得 P″（3，4），BP″ ＝ √41，还验不过共线。
把三个问拆开，每一问都对应一句「看见就这样想」的话。以后遇到同类题，照表查：
OB ∶ OA ＝ k，AB ＝ L
翻译成什么： 两个交点到原点的距离成比例
用什么工具： 设 B（−m，0）、A（km，0），由 m ＋ km ＝ L 解出
动点到定线段的距离最大
翻译成什么： 过该点的切线平行于定线段
用什么工具： 设平行线，令 Δ ＝ 0；或点线距配方
两点在两条平行线上，连线垂直于它们
翻译成什么： 这段距离是 定值
用什么工具： 提出来当常数，不进最值
求 BM ＋ MN ＋ NP 最小
翻译成什么： 把定长平移，折线两端变定点
用什么工具： 平行四边形搬迁 ＋ 两点之间线段最短
以定线段为边作等边三角形
翻译成什么： 第三点在垂直平分线上， 两解
用什么工具： QA ＝ QP 联立，或「中点 ± 高」
三个可以带走的结论 ① 最值题只有两张脸： 「撑到最开」用相切，「收到最紧」用拉直 。判断标准很简单——目标是一个长度，还是一个和； ② 定长线段是障碍，也是钥匙： 平移一下，障碍就变成桥 ； ③ 等边三角形、等腰三角形这类「形状存在性」，先写出 两条距离等式 ，再相减消平方——永远是初中能算的。 同类题 1 二次函数 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 6 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，OB ∶ OA ＝ 1 ∶ 2，AB ＝ 9。 （1）求二次函数的解析式； （2）① 连接 AC，P 是第一象限内抛物线上的动点，当 P 到 AC 的距离最大时，求 P 的坐标与该最大距离； ② 在 ① 的条件下，M、N 分别是 y 轴和对称轴上的动点，MN ⊥ y 轴，求 BM ＋ MN ＋ NP 的最小值及此时 M 的坐标； （3）平面内是否存在点 Q，使以 Q、A、P 为顶点的三角形为等边三角形？若存在，直接写出 Q 的坐标。 同类题 2（变式：把等边换成等腰直角） 二次函数 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 6 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，OB ∶ OA ＝ 1 ∶ 2，AB ＝ 6。 （1）求二次函数的解析式； （2）① 连接 AC，P 是第一象限内抛物线上的动点，当 P 到 AC 的距离最大时，求 P 的坐标； ② 在 ① 的条件下，M、N 分别是 y 轴和对称轴上的动点，MN ⊥ y 轴，求 BM ＋ MN ＋ NP 的最小值； （3）以 AP 为斜边作等腰直角三角形 APQ，求 Q 的坐标。 （提示：等腰直角三角形的直角顶点，就是「AP 的中点再沿垂直方向挪半个 AP」。） 本题答案
（1）设 B（−m，0）、A（n，0）。由 OB ∶ OA ＝ 1 ∶ 2 得 n ＝ 2m，由 AB ＝ m ＋ n ＝ 6 得 m ＝ 2，n ＝ 4， 所以 B（−2，0）、A（4，0）。设 y ＝ a（x ＋ 2）（x − 4），代入 C（0，4）：−8a ＝ 4，a ＝ −1/2， 所以 y ＝ −1/2·x² ＋ x ＋ 4 （对称轴 x ＝ 1）。 （2）① 设 l：y ＝ −x ＋ m，与抛物线联立得 x² − 4x ＋ 2m − 8 ＝ 0，令 Δ ＝ 48 − 8m ＝ 0 得 m ＝ 6， 此时 x ＝ 2，y ＝ 4，所以 P（2，4） ，最大距离为 √2 。 ② MN ＝ 1（定值）；把 P 向左平移 1 得 P′（1，4），四边形 MNP′P 是平行四边形，NP ＝ MP′， BM ＋ MN ＋ NP ＝ BM ＋ MP′ ＋ 1 ≥ BP′ ＋ 1 ＝ √（9 ＋ 16）＋ 1 ＝ 6 ； 取等时 B、M、P′ 共线，得 M（0，8/3）、N（1，8/3） 。 （3）存在。AP ＝ 2√5，由 QA ＝ QP 得 x ＝ 2y − 1，代回 QA² ＝ 20 得 y² − 4y ＋ 1 ＝ 0， y ＝ 2 ± √3，x ＝ 3 ± 2√3， 所以 Q₁（3 ＋ 2√3，2 ＋ √3），Q₂（3 − 2√3，2 − √3） 。 同类题 1
（1）n ＝ 2m，3m ＝ 9，m ＝ 3，n ＝ 6，B（−3，0）、A（6，0）；设 y ＝ a（x ＋ 3）（x − 6），代入 C（0，6）得 −18a ＝ 6，a ＝ −1/3， 所以 y ＝ −1/3·x² ＋ x ＋ 6 （对称轴 x ＝ 3/2）。 （2）① 设 l：y ＝ −x ＋ m（AC：x ＋ y − 6 ＝ 0），联立得 x² − 6x ＋ 3m − 18 ＝ 0，Δ ＝ 36 − 12（m − 6）＝ 0，m ＝ 9， 切点 x ＝ 3，y ＝ 6，所以 P（3，6） ，最大距离 ＝ |9 − 6| ÷ √2 ＝ 3√2/2 。 ② MN ＝ 3/2；P 向左平移 3/2 得 P′（3/2，6），NP ＝ MP′， BM ＋ MN ＋ NP ≥ BP′ ＋ 3/2 ＝ √（4.5² ＋ 6²）＋ 3/2 ＝ 15/2 ＋ 3/2 ＝ 9 ； 取等时 B、M、P′ 共线，BP′：y ＝ 4/3·（x ＋ 3），令 x ＝ 0 得 M（0，4） ，N（3/2，4）。 （3）存在。AP ＝ 3√5，由 QA ＝ QP 得 x ＝ 2y − 3/2，代回得 y² − 6y ＋ 9/4 ＝ 0， y ＝ 3 ± 3√3/2，x ＝ 9/2 ± 3√3， 所以 Q₁（9/2 ＋ 3√3，3 ＋ 3√3/2），Q₂（9/2 − 3√3，3 − 3√3/2） 。 （验算：QA ＝ QP ＝ 3√5 ≈ 6.708 ✓） 同类题 2
（1）n ＝ 2m，m ＋ n ＝ 6 得 m ＝ 2，n ＝ 4，B（−2，0）、A（4，0）；设 y ＝ a（x ＋ 2）（x − 4），代入 C（0，6）得 −8a ＝ 6，a ＝ −3/4， 所以 y ＝ −3/4·x² ＋ 3/2·x ＋ 6 （对称轴 x ＝ 1）。 （2）① AC：3x ＋ 2y − 12 ＝ 0。设 l：3x ＋ 2y ＝ k，与抛物线联立取 Δ ＝ 0，得 k ＝ 18，切点 P（2，6） ， 最大距离 ＝ |18 − 12| ÷ √13 ＝ 6√13/13 。 ② MN ＝ 1，P 向左平移 1 得 P′（1，6）， BM ＋ MN ＋ NP ≥ BP′ ＋ 1 ＝ √（9 ＋ 36）＋ 1 ＝ 3√5 ＋ 1 ，此时 M（0，4）、N（1，4） 。 （3）AP 的中点（3，3），AP ＝ 2√10，半个 AP 沿垂直方向挪： Q ＝ （3，3）± （3，1），得 Q₁（6，4），Q₂（0，2） 。 （验算：AQ ＝ PQ ＝ 2√5，且 AQ ⊥ PQ ✓） 写在最后 这道题真正要带走的是两句话。 第一句：最值只有两张脸。 要「最大」，就把线往外推，推到相切为止——切点就是答案；要「最小」，就把线拉直，拉到三点共线为止——交点就是答案。 相切与共线，就是初中所有最值题的终点。 第二句：定长不是麻烦，是台阶。 它挡在两个动点之间，看着碍事；可正因为它的长度固定，你才能把一整段搬走，把两个动点变成一个。 能被搬动的东西，从来不是障碍，是工具。 明天第 10 题：圆上的动点 ＋ 定角，把今天学的「相切」换成「相切于圆」再走一遍。 觉得有用，点个「赞」和「在看」，明天继续
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