初三数学 | 剪成三块再拼成菱形:这道几何题的突破口在哪里?

这道题看起来像一幅拼图：把一个直角三角形分成三块，再拼出一个菱形。题目没有直接告诉我们哪条线段相等，也没有标出中点。应该从哪里开始？

其实，最重要的一步，是把拼接前后的同一块图形对应起来。一旦找到对应边，相等的线段就会一个接一个出现。

题目

如图（1），在△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝5。将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后重新拼成图（2）所示的菱形PQMN（不重叠、无缝隙）。若NH－PG＝1，求QH的长。

先给出答案：QH＝7/5。
下面重点讲清楚：这一步步是怎样推出来的，而不是直接把计算结果写出来。

把两幅图对照起来观察，同一种颜色表示同一块图形。由于没有拉伸、缩放，每一块图形的对应边长度保持不变。

Ⅰ号三角形：AC＝NH，AD＝HM，CD＝MN。

Ⅱ号四边形：DE＝QH，CF＝PG，CD＝PQ。

Ⅲ号三角形：FB＝PG，EB＝PN。

其中最值得注意的是：拼接后的PG，同时来自原图中Ⅱ号块的CF、Ⅲ号块的FB。于是立即得到：

CF＝PG＝FB

因为F在BC上，且CF＝FB，所以F是BC的中点。这就是第一个隐藏条件。

菱形PQMN的四条边相等，因此底边QM与上边PN相等。

QM＝PN

看图（2），H位于QM上。将QM拆成两段，再换成原图对应边：

QM＝QH＋HM＝DE＋AD＝AE

另一方面，Ⅲ号块告诉我们 PN＝BE。因此：

AE＝QM＝PN＝BE

E在AB上，由AE＝BE，可以确定：E是AB的中点，所以：

AE＝BE＝AB/2＝5/2

到这里，我们不是“猜测”两个中点，而是依靠拼图对应边＋菱形性质，严格证明了它们。

由Ⅰ号块 NH＝AC；由Ⅱ号块 PG＝CF；又因为F是BC的中点，CF＝BC/2。

所以题目给出的 NH－PG＝1，实际上就是：

AC－BC/2＝1

设 BC/2＝x（x＞0），那么 BC＝2x，AC＝x＋1。

在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝5，由勾股定理：

(x＋1)²＋(2x)²＝5²

5x²＋2x－24＝0

(x－2)(5x＋12)＝0

因为 x＞0，所以 x＝2。因此：

AC＝3，BC＝4，AB＝5

不要因为看到AB＝5，就直接认定另外两边一定是3和4。先用已知条件建立方程，再得到3－4－5，才是规范做法。

第一步先求出CD。因为菱形PQMN四边相等：

CD＝PQ＝PN＝BE＝5/2

E是直角三角形ABC斜边AB的中点。根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半：

CE＝AB/2＝5/2

所以：

CD＝CE

这说明△CDE是等腰三角形。过点C作 CT⊥AB，垂足为T。因为D、T、E在同一直线上，等腰三角形底边上的高平分底边：

DT＝TE，   DE＝2TE

接下来只需求TE。注意△ACT与△ABC都是直角三角形，并且有公共角A，因此：

△ACT ∽ △ABC

根据相似三角形对应边成比例：

AT/AC＝AC/AB

AT＝AC²/AB＝9/5

已知 AE＝5/2，所以：

TE＝AE－AT＝5/2－9/5＝7/10

最后：

QH＝DE＝2TE＝7/5

最终答案

QH＝7/5

由拼接关系可知：CF＝PG＝FB，DE＝QH，AD＝HM，AC＝NH，CD＝PQ，BE＝PN。

∴ CF＝FB，即F为BC的中点。

∵ PQMN为菱形，∴ QM＝PN，PQ＝PN。

又QM＝QH＋HM＝DE＋AD＝AE，PN＝BE，∴ AE＝BE＝5/2，即E为AB的中点。

∵ NH－PG＝1，∴ AC－BC/2＝1。

设BC/2＝x，则AC＝x＋1，BC＝2x。由勾股定理得 (x＋1)²＋4x²＝25，解得x＝2（负根舍去）。∴ AC＝3，BC＝4。

∵ CD＝PQ＝PN＝BE＝5/2，又E为斜边AB的中点，∴ CE＝5/2，即CD＝CE。

过C作CT⊥AB，垂足为T。∵ CD＝CE，∴ DT＝TE。

∵ △ACT∽△ABC，∴ AT＝AC²/AB＝9/5。

∴ QH＝DE＝2TE＝2(AE－AT)＝2(5/2－9/5)＝7/5。

这道题值得记住的，不是某个长度，而是从图形移动后的对应关系，一步步找到原来没有标出来的条件。以后碰到剪拼、旋转、折叠、拼图题，先检查以下顺序：

① 找同一块图形：哪些边只是换了位置？

② 把相等关系写出来：同一条新边可能连接原来的两条线段。

③ 找隐藏性质：中点、等腰、平行、垂直等。

④ 再用数学工具计算：勾股定理、相似三角形、等腰三角形性质。

本题最后看似在求菱形上的QH，实际上我们一直在原来的三角形中计算DE。把要求的线段换到熟悉的图形中，往往就是几何题最有效的突破方式。

留给学生一个小问题：不翻看推导，你能说出为什么 CF＝FB、为什么 AE＝EB、以及为什么 CD＝CE 吗？如果这三步都能解释清楚，这道题的方法就真正掌握了。