动点问题是中考数学几何与函数综合的核心题型之一，通常以三角形、四边形、圆或抛物线为背景，研究一个或多个点在线段、射线或曲线上按给定速度运动时，所形成的图形面积、线段长度、函数图象或特殊三角形（等腰、直角、相似等）随运动时间t的变化规律。其本质是“动中求定”——在变化的几何关系中寻找不变量、临界位置和函数关系，综合考查数形结合、分类讨论、方程与函数建模、轴对称与轨迹分析等核心数学思想。本讲义从全国十省市近年中考真题中精选十二道代表题，由易到难编排，帮助学生建立动点问题的解题通法。
一、基本内容
1．动点的基本要素：运动起点、运动路径（线段、折线、射线、曲线）、运动方向、运动速度（含分速、变速）、运动时间t、终止条件（到达终点或另一动点停止）。
2．常见研究对象：线段长度（如AP、BP、PD）、图形面积（如△APQ、重叠部分、扫过区域）、函数图象（y关于t或x的图象判断）、特殊三角形存在性（等腰、直角、相似、全等）、线段和差最值（将军饮马、胡不归、阿氏圆）、动点路径长（轨迹为线段或弧）。
3．核心思想：以静代动（取临界位置定端点）、分段讨论（按动点路径转折点划分t的区间）、数形结合（把几何量转化为函数解析式或图象）、方程建模（根据特殊位置列方程求t）。
二、性质与定理
名称 | 核心内容 | 在动点问题中的典型应用 |
轴对称性质（将军饮马） | 两点关于直线对称，则对称轴上任意点到两点距离相等；化折为直求最短。 | 直线上一动点到两定点距离和最小；在抛物线对称轴上找P使PA+PC最小。 |
三角形中位线定理 | 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 | 两动点分别为两条线段中点时，中点连线长度由第三边决定，化归为第三边最值。 |
二次函数最值 | y=ax²+bx+c（a≠0）在顶点处取最大（小）值，顶点横坐标为−b/(2a)。 | 动点形成的面积或线段长为关于t或m的二次函数时，求顶点即得最值。 |
相似三角形判定与性质 | 两角对应相等则相似；相似比等于对应边之比，面积比等于相似比平方。 | 动点与定点构成的三角形与定三角形相似时，按对应边成比例列方程。 |
勾股定理与解直角三角形 | 直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；30°、45°特殊角的边角关系。 | 用t表示动点位置后，在直角三角形中用勾股定理建立函数关系。 |
圆的定义（隐圆轨迹） | 到定点距离等于定长的点的轨迹是圆；定角对定弦时顶点在辅助圆上。 | 动点到定点距离为定值、或张角为定角时，确定其轨迹为圆弧，求路径长。 |
三、基本模型
1．单动点沿折线运动模型：动点从某顶点出发沿两条或三条边匀速运动，求扫过面积或线段长关于t的分段函数。关键是按路径转折点划分t的区间，逐段建立函数。
2．双动点同步运动模型：两个动点同时从不同顶点出发，以不同速度沿不同边运动，研究某三角形面积或特殊图形的形成条件。关键是分别用t表示两个动点的位置，再判断何时相遇、何时共线、何时构成特殊图形。
3．函数图象判断模型：给定动点运动过程，判断y（线段长、面积等）与x（运动路程或时间）的函数图象。关键是分段判断函数类型（一次、二次）及开口方向、增减性。
4．轴对称最短路径模型：直线上一动点到两定点距离和最小，或抛物线上一动点使线段和最小。关键是作对称点，化折为直，用两点之间线段最短求解。
5．动点轨迹与路径长模型：动点在运动过程中形成的轨迹为线段或圆弧，求其路径长。关键是“动中求定”——确定轨迹所在的定直线或定圆，用特殊位置定端点。
6．二次函数上动点综合模型：动点在抛物线上运动，研究线段长最值、三角形面积最值、特殊三角形存在性。关键是设动点横坐标为参数m，用参数表示所有相关量，转化为函数最值或方程求解。
四、典型题型分类
题型 | 特征 | 解题通法 | 代表例题 |
分段函数建立 | 动点沿折线运动，求扫过面积或线段长关于t的函数 | 按转折点分段，逐段表示底和高，建立一次或二次函数 | 例1、例6 |
函数图象判断 | 动点运动过程中，判断y与x的函数图象 | 分段判断函数类型、开口方向、增减性，排除错误选项 | 例2、练6 |
轴对称最短路径 | 直线或抛物线上一动点使线段和最小 | 作对称点，化折为直，勾股定理算距离 | 例3、练5 |
二次函数动点最值 | 抛物线上一动点使线段或面积最大 | 设横坐标m，用参数表示相关量，二次函数顶点求最值 | 例4、练5 |
动点路径长 | 动点运动过程中形成定轨迹 | 确定轨迹为线段或弧，用特殊位置定端点，算长度 | 例5、练4 |
双动点结论判断 | 两动点同步运动，判断若干结论正误 | 分段建立函数，逐一验证结论，注意临界时刻 | 练3 |
五、二级结论
1．动点沿矩形边运动时，若求扫过面积，转折点通常在相邻顶点处；第一段扫过三角形，第二段起扫过梯形或多边形。
2．将军饮马模型中，作A关于直线l的对称点A′，则PA+PB的最小值等于A′B的长度，可用勾股定理直接计算。
3．三角形中位线模型中，若M、N分别为AE、AF的中点，则MN=½EF；求MN的最值等价于求EF的最值，在正方形中EF最大值为对角线长。
4．二次函数y=−x²+bx+c中，若P在抛物线上、D在直线AB上且PD∥y轴，则PD=P的纵坐标−D的纵坐标，化为关于m的二次函数，顶点处取最大。
5．菱形中若有60°角，常可分解为两个等边三角形；动点在菱形边上运动时，其到对角线的距离或形成的线段往往具有定比或定角关系。
6．双动点问题中，若两动点速度不同，需先分别计算各自到达转折点的时间，再以这些临界时刻为分界划分t的讨论区间。
六、例题精讲
例1（基础★）：矩形动点分段面积
图1 矩形ABCD，P沿AB−BC运动，DP扫过区域
【例题】 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm。动点P从点A出发，沿折线AB−BC以1cm/s的速度向终点C运动。在运动过程中，连接DP。设点P的运动时间为t(s)（t>0），DP扫过的图形面积为S(cm²)。 （1）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围。 （2）当DP扫过的图形面积S由矩形ABCD面积的1/4扩大到矩形ABCD面积的5/6时，点P运动了多长时间？ |
【解析】 （1）矩形ABCD中AD=BC=3，AB=6。①当0<t≤6时，P在AB上，AP=t，扫过△ADP，S=½·AP·AD=½·t·3=3t/2。 ②当6<t≤9时，P在BC上，BP=t−6，扫过四边形ADPB（梯形），S=½·(BP+AD)·AB=½·(t−6+3)·6=3t−9。 （2）矩形面积=6×3=18。S=18/4=9/2时，3t/2=9/2，t=3s；S=18×5/6=15时，3t−9=15，t=8s。运动时间=8−3=5s。 |
【答案】 （1）S=3t/2（0<t≤6）；S=3t−9（6<t≤9）。（2）5s。 【考查】动点分段函数、矩形面积、数形结合。 【来源】吉林2026年第19题。 |
例2（基础★）：动点与函数图象判断
图2 等腰Rt△ABC，E、F分别沿AB、AC运动，正方形EFGH
【例题】 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动。连接EF，以EF为边向下作正方形EFGH。设点E运动的路程为x，正方形与等腰直角三角形重合部分的面积为y。下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ） A．先开口向上、再开口向下的抛物线 B．先曲线上升、后直线下降 C．先直线上升、后抛物线下降 D．先直线上升、后直线下降 |
【解析】 ①当正方形顶点与斜边BC重合前，正方形完全在三角形内部，重合面积随x按二次函数（开口向上）变化； ②当正方形越过BC后，重合部分被BC切割，面积继续随x按二次函数（开口向下）变化； ③两段均为抛物线，先开口向上、后开口向下，对应选项A。 |
【答案】 A。【考查】动点几何与函数图象的对应关系、分段函数。 【来源】齐齐哈尔2024年第9题。 |
例3（中等★★）：坐标系中的将军饮马
图3A(3,0)、B(0,2)，过B作水平直线l，P为l上动点
【例题】 如图，在平面直角坐标系中，已知A(3,0)，B(0,2)，过点B作x轴的平行线l，P为直线l上一动点，连接OP、AP，则OP+AP的最小值为______。 |
【解析】 作点A关于直线l（y=2）的对称点A′(3,4)。由轴对称性质，PA=PA′，故OP+AP=OP+PA′≥OA′（两点之间线段最短）。 当O、P、A′三点共线时取最小值。OA′=√(3²+4²)=5。 |
【答案】 5。【考查】轴对称最短路径（将军饮马）、勾股定理。 【来源】四川成都2024年第13题。 |
例4（中等★★）：二次函数上动点线段最值
图4 抛物线过原点和A(4,0)，P在抛物线上，PD⊥x轴交AB于D
【例题】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A(4,0)。经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C。 （1）求二次函数的解析式及点C的坐标； （2）点P是二次函数图象上一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m。①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似？若存在，请求出点P坐标。 |
【解析】 （1）把(0,0)、A(4,0)、B(1,3)代入y=ax²+bx+c，得c=0，16a+4b=0，a+b=3，解得a=−1，b=4，故y=−x²+4x。 设直线AB：y=kx+d，代入A(4,0)、B(1,3)得k=−1，d=4，即y=−x+4；令x=0得C(0,4)。 （2）①设P(m,−m²+4m)，D(m,−m+4)，则PD=(−m²+4m)−(−m+4)=−m²+5m−4=−(m−5/2)²+9/4，当m=5/2时PD最大=9/4。 ②由OA=4，OC=4知△AOC为等腰直角三角形，∠ACO=45°；又PD∥y轴，∠PDB=∠ACO=45°。分两种相似情况讨论，可得P(2,4)或(3,3)。 |
【答案】 （1）y=−x²+4x，C(0,4)。（2）①m=5/2时PD最大=9/4；②存在，P(2,4)或(3,3)。 【考查】待定系数法、二次函数最值、相似三角形分类讨论。 【来源】内蒙古兴安盟呼伦贝尔2024年第26题。 |
例5（较难★★★）：菱形动点路径长
图5 菱形ABCD，P在BC上，Q在BC延长线上且CP=CQ，AP与BQ交于M
【例题】 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接BQ、AP交于点M。当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ） A．√3/6B．√3/3C．√3/2D．√3 |
【解析】 菱形中∠ABC=60°、AB=1，可求高与相关线段。过C作CH⊥AD于H。 由P、Q关于C对称得CP=CQ，结合菱形性质与全等三角形，可证某直线垂直平分PQ，从而点M在一条定直线上运动； 当P与B重合时确定M的起点，当P与C重合时确定终点，由解直角三角形求得路径长为√3/3。 |
【答案】 B。【考查】菱形性质、垂直平分线、全等三角形、动点轨迹。 【来源】四川乐山2024年第10题。 |
例6（较难★★★）：角平分线动点分段面积
图6Rt△ABC，AD为角平分线，P沿AD−DB运动，作等边△PQE
【例题】 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，AD是△ABC的角平分线。动点P从点A出发，以√3 cm/s的速度沿折线AD−DB向终点B运动。过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C、E在PQ同侧。设点P运动时间为t（s）（t>0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm²）。 （1）当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状，并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）。 （2）当点E与点C重合时，求t的值。 （3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围。 |
【解析】 （1）由∠C=90°，∠B=30°得∠BAC=60°；AD平分∠BAC，∠PAQ=∠BAD=30°；又PQ∥AB，∠APQ=∠BAD=30°，故∠PAQ=∠APQ，QA=QP，△APQ为等腰三角形。作QH⊥AP于H，AP=√3 t，HA=½AP=(√3/2)t，在Rt△AHQ中AQ=AH/cos30°=t。 （2）△PQE为等边三角形，QE=QP=QA，故E与C重合时AE=2AQ=2t=AC=3，t=3/2。 （3）分三段：①当0<t≤3/2时，重合部分为等边△PQE，S=(√3/4)t²；②当3/2<t<2时，E在AC延长线上，重合部分为四边形；③当2≤t<4时，P在DB上，重合部分为△PQC。 |
【答案】 （1）△APQ为等腰三角形，AQ=t。（2）t=3/2。（3）S按三段分段函数表示（见解析）。 【考查】角平分线、等腰与等边三角形、动点分段面积、分类讨论。 【来源】吉林2024年第25题。 |
七、巩固练习
练习1（基础★）：矩形动点函数图象信息读取
图7 矩形ABCD，P沿A→B→C→D运动，Q为AP中点，BQ随x变化
【练习】 如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C→D方向运动至点D停止，连接AP，Q为AP的中点，连接BQ。设点P运动路程为x，线段BQ长为y，图2表示点P从A运动到C过程中y与x的函数关系。当点P运动到CD中点时，BQ的长度为______。 |
【答案】 √145/2。提示：由图2得AB=6、AC=10，BC=8；延长BQ交CD延长线于E，由△ABQ≌△PEQ得BQ=½BE，在Rt△BCE中算BE。 【考查】动点函数图象、直角三角形斜边中线、全等三角形。 【来源】山东烟台2026年第16题。 |
练习2（基础★）：菱形动点与面积比
图8 菱形ABCD面积24，E为AB中点，F在BC上，阴影为△EFD
【练习】 如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点。若△BEF的面积为4，则图中阴影部分（△EFD）的面积为______。 |
【答案】 10。提示：连AF、BD，由E为AB中点得S△ADE=6；由S△ABF=2S△BEF=8得BF/BC=2/3，进而S△CDF=4；阴影=24−6−4−4=10。 【考查】菱形性质、三角形中线、同高三角形面积比。 【来源】广东2024年第15题。 |
练习3（中等★★）：直角梯形双动点结论判断
图9 直角梯形ABCD，M沿BA−AD运动，N沿CB运动
【练习】 四边形ABCD中AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=10cm，BC=16cm。动点M从B出发以2cm/s沿BA、AD向D运动；动点N从C同时出发以1cm/s沿CB向B运动，一个到终点另一个即停。有结论：①t=6s时CN=DM；②1≤t≤2时△BMN最大面积26cm²；③t有两个不同值使△BMN面积为39cm²。正确结论个数是（ ） A．0B．1C．2D．3 |
【答案】 C。提示：①t=6时M在AD上，DM=6，CN=6，正确；②1≤t≤2时S=−(t−8)²+64，t=2取最大28≠26，错误；③M在AB上时t=3，M在AD上时t=25/4，两个不同值，正确。 【考查】双动点、二次函数最值、分类讨论。 【来源】天津2025年第12题。 |
练习4（中等★★）：正方形动点与中位线
图10 正方形ABCD，E在BC上、F在CD上，M、N为AE、AF中点
【练习】 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的动点，M、N分别是AE、AF的中点，则MN的最大值为______。 |
【答案】 √2。提示：连EF，MN为△AEF的中位线，MN=½EF；EF最大值为正方形对角线2√2，故MN最大值=√2。 【考查】正方形、三角形中位线、动点最值。 【来源】广西2023年第18题。 |
练习5（较难★★★）：二次函数动点与最短路径
图11 抛物线y=ax²+bx+3，对称轴x=1，M在第一象限抛物线上
【练习】 如图，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。已知点A的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1。 （1）直接写出点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标和PA+PC的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BM交y轴于点Q。当MQ+√2·CQ的值最大时，求点M的坐标。 |
【答案】 （1）B(3,0)。（2）P(1,2)，最小值3√2。（3）M(5/2, 7/4)。 提示：（2）由对称性PA=PB，PA+PC=PB+PC≥BC；（3）设M(m,−m²+2m+3)，由∠OBC=45°得CQ=√2 m，MQ=−m²+3m，目标式=−m²+5m，顶点处取最大。 【考查】二次函数解析式、轴对称最短路径、线段最值。 【来源】宁夏2023年第25题。 |
练习6（较难★★★）：等边三角形动点函数图象
图12 等边△ABC，D在AB上，P沿B→C→A运动，DP²随t变化
【练习】 如图1，△ABC是等边三角形，点D在AB边上，BD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→C→A匀速运动，到达点A后停止，连接DP。设点P的运动时间为t，DP²为y。当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示（此时y=7）。有以下四个结论：①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿CA匀速运动时，两个时刻t₁、t₂（t₁<t₂）满足t₁+t₂=6，则y₁>y₂。其中正确结论的序号是（ ） A．①②③B．①②C．③④D．①②④ |
【答案】 D。提示：①作DH⊥BC于H，由BD=2得BH=1、DH=√3，DP²=7时BC=3，正确；②t=5时P在CA上，DP=DA=1，y=1，正确；③4≤t≤6时y最小值为3，并非1≤y≤3恒成立，错误；④由勾股定理分段表示，t₁+t₂=6时可比较得y₁>y₂，正确。 【考查】等边三角形、解直角三角形、勾股定理、函数图象。 【来源】山东济南2024年第10题。 |
附：题库题目来源对照表
序号 | 题号 | 题型 | 难度 | 省份/地区 | 年份题号 | 题目ID |
例1 | 例1 | 解答 | 基础★ | 吉林 | 2026年第19题 | ZQ-2026-吉林-解答-019 |
例2 | 例2 | 选择 | 基础★ | 黑龙江齐齐哈尔 | 2024年第9题 | ZQ-2024-齐齐哈尔-选择-009 |
例3 | 例3 | 填空 | 中等★★ | 四川成都 | 2024年第13题 | ZQ-2024-成都-填空-013 |
例4 | 例4 | 解答 | 中等★★ | 内蒙古兴安盟呼伦贝尔 | 2024年第26题 | ZQ-2024-内蒙古兴安盟呼伦贝尔-解答-026 |
例5 | 例5 | 选择 | 较难★★★ | 四川乐山 | 2024年第10题 | ZQ-2024-乐山-选择-010 |
例6 | 例6 | 解答 | 较难★★★ | 吉林 | 2024年第25题 | ZQ-2024-吉林-解答-025 |
练1 | 练习1 | 填空 | 基础★ | 山东烟台 | 2026年第16题 | ZQ-2026-山东烟台-填空-016 |
练2 | 练习2 | 填空 | 基础★ | 广东 | 2024年第15题 | ZQ-2024-广东-填空-015 |
练3 | 练习3 | 选择 | 中等★★ | 天津 | 2025年第12题 | ZQ-2025-天津-选择-012 |
练4 | 练习4 | 填空 | 中等★★ | 广西 | 2023年第18题 | ZQ-2023-广西-填空-018 |
练5 | 练习5 | 解答 | 较难★★★ | 宁夏 | 2023年第25题 | ZQ-2023-宁夏-解答-025 |
练6 | 练习6 | 选择 | 较难★★★ | 山东济南 | 2024年第10题 | ZQ-2024-济南-选择-010 |
