压轴题一：一元二次方程含参综合——判别式＋分类讨论
【经典真题】
已知关于 x 的一元二次方程
x²−(m＋2)x＋2m＝0。
（1）求证：无论 m 取何值，这个方程总有实数根；
（2）若一个等腰三角形的一边长为 3，另外两条边的长恰好是这个方程的两个实数根，求 m 的值和这个三角形的周长。
第（1）问：算判别式（4分）
要看方程有没有实数根，就算 Δ＝b²−4ac：
Δ＝(m＋2)²−4×1×2m
＝m²＋4m＋4−8m
＝m²−4m＋4
＝(m−2)²
因为任何数的平方都不小于 0，所以 (m−2)²≥0 恒成立，即 Δ≥0。
所以无论 m 取何值，方程总有实数根（当 m＝2 时 Δ＝0，有两个相等的实数根；其余情况有两个不相等的实数根）。
方程左边能因式分解：
x²−(m＋2)x＋2m＝(x−2)(x−m)＝0
所以方程的两个根是 x₁＝2，x₂＝m。三角形的三条边就是 3、2、m。
情况①：3 是底边，两条腰是方程的两个根。
这时候两根必须相等，即 m＝2。三边是 3、2、2。
检验：2＋2＞3，能围成三角形。周长＝3＋2＋2＝7。
固定的一根是 2，只能让另一根 m＝3。三边是 3、2、3。
检验：2＋3＞3，能围成三角形。周长＝3＋2＋3＝8。
答案：m＝2 时周长为 7；或 m＝3 时周长为 8。
第（1）问把 Δ 算到 m²−4m＋4 就停笔，没配方成 (m−2)²，就没法说明它恒大于等于 0；
求出 m 之后不用三边关系验证。这一步在本题两种都成立，但它是固定动作——万一三边围不成，那种情况必须舍掉；
含参方程先算 Δ，配成平方看正负；两根出来配等腰，分完情况验三边。
【经典真题】
如图，二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象开口向下，对称轴为直线 x＝1，与 x 轴的一个交点为 (−1，0)，与 y 轴交于正半轴。下列结论：
① abc＜0；② 2a＋b＝0；③ b²−4ac＞0；④ 4a＋2b＋c＞0；⑤ a−b＋c＞0。
其中正确结论的个数是（ ）。
先把图里的信息一条一条翻译成 a、b、c 的符号和关系：
对称轴 x＝−b÷(2a)＝1 → b＝−2a。因为 a＜0，所以 b＞0；
与 y 轴交于正半轴 → c＞0；
① a＜0、b＞0、c＞0，所以 abc＜0，正确；
② 由 b＝−2a，得 2a＋b＝0，正确；
③ 抛物线与 x 轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数根，所以 b²−4ac＞0，正确；
所以正确的是 ①②③④，共 4 个。
不会把"对称轴 x＝1"翻译成 b＝−2a，只会盯着 a 的符号看；
开口看 a、交点看 c，对称轴定 b 的号；字母拼式代 x 值，对着图像分上下。
【经典真题】
如图，△ABC 和 △ADE 都是等边三角形，连接 BD、CE。
（1）求证：BD＝CE；
（2）设 BD 与 CE 相交于点 F，求这两条直线所成锐角的度数。
第（1）问：找旋转带来的全等（5分）
两个等边三角形共顶点 A，这就是典型的"手拉手"。
因为 △ABC、△ADE 都是等边三角形，
所以 AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°。
两个角同时加上中间的 ∠CAD：
∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝60°＋∠CAD，
∠CAE＝∠DAE＋∠CAD＝60°＋∠CAD，
所以 ∠BAD＝∠CAE。
在 △BAD 和 △CAE 中：
AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
所以 △BAD≌△CAE（SAS），
所以 BD＝CE。
设 BD 交 AC 于点 G。由 △BAD≌△CAE，得
∠ABD＝∠ACE，即 ∠ABG＝∠FCG。
在 △ABG 和 △FCG 中：
∠AGB＝∠FGC（对顶角相等），∠ABG＝∠FCG，
所以第三个角也相等：
∠BAG＝∠CFG，也就是 ∠CFG＝∠BAC＝60°。
所以 BD 与 CE 所成的锐角是 60°。
看不出"共顶点的两个等边（等腰）三角形"要证全等，硬去算边长；
共顶两等腰，手拉手全等；加同一个角，夹角等顶角。
【经典真题】
某商店销售一种商品，每件进价 40 元。当售价定为每件 50 元时，每月能卖出 500 件；售价每上涨 1 元，每月就少卖 10 件。物价部门规定，该商品每件售价不得高于 60 元。设每件涨价 x 元（x 为非负整数），每月利润为 W 元。
（1）求 W 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
（2）售价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？
第（1）问：建关系式、写范围（4分）
涨价 x 元后：
每件利润＝售价−进价＝(50＋x)−40＝10＋x；
每月销量＝500−10x。
所以
W＝(10＋x)(500−10x)
＝−10x²＋400x＋5000。
售价不能高于 60 元：50＋x≤60，得 x≤10；又 x 是非负整数，所以
0≤x≤10，且 x 为整数。
这是开口向下的抛物线（a＝−10＜0），对称轴：
x＝−400÷(2×(−10))＝20。
顶点横坐标 x＝20，但题目的取值范围是 0≤x≤10，顶点落在范围外面，不能直接套用"顶点最大"。
W(10)＝−10×100＋400×10＋5000＝8000（元）。
此时售价＝50＋10＝60（元），销量＝500−100＝400（件）。
检验：(60−40)×400＝20×400＝8000（元），一致。
不看限价条件，直接拿顶点 x＝20 算，得出"售价 70 元、利润 9000 元"——70 元已经超过 60 元的规定，这个答案是无效的，是本题最大的坑；
利润等于单件乘销量，列出二次看开口；顶点先看在不在范围，不在就到端点求。
最后说两句
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四季读书网
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