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第18天·2023新高考I卷·空间向量与二面角
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第18天·2023新高考I卷·空间向量与二面角 来源：2023年新课标全国I卷·第18题（改编） 考点：线面垂直证明、空间向量建系、二面角计算 分值：12分 建议用时：15-18分钟 难度：⭐⭐⭐ 题目 在正方体ABCD-A₁第18天·2023新高考I卷·空间向量与二面角B₁C₁D₁中，棱长为2，E为CC₁的中点。 （1）证明：BD⊥平面ACC₁A₁； （2）求二面角E-BD-C的余弦值。 手写区 （请先独立完成，再往下翻看解析） 解析 第（1）问：证明BD⊥平面ACC₁A₁ 第一步：建系写坐标 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴建立空间直角坐标系。 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0) A₁(0,0,2)，C₁(2,2,2)。 第二步：求BD的方向向量 BD=D-B=(0-2, 2-0, 0-0)=(-2,2,0)。 第三步：求平面ACC₁A₁内两个不共线的向量 AC=C-A=(2,2,0)。 AA₁=A₁-A=(0,0,2)。 第四步：验证垂直 BD·AC=(-2)×2+2×2+0×0=-4+4=0⇒BD⊥AC。 BD·AA₁=(-2)×0+2×0+0×2=0⇒BD⊥AA₁。 第五步：用线面垂直判定定理 AC∩AA₁=A，AC⊂平面ACC₁A₁，AA₁⊂平面ACC₁A₁。 且BD⊥AC，BD⊥AA₁。 所以BD⊥平面ACC₁A₁。 第（1）问证明完毕。 第（2）问：求二面角E-BD-C的余弦值 第一步：写出E的坐标 E为CC₁的中点：C(2,2,0)，C₁(2,2,2)，所以E(2,2,1)。 第二步：求平面EBD的法向量 平面EBD内两个不共线的向量： BD=(-2,2,0)。 BE=E-B=(2-2, 2-0, 1-0)=(0,2,1)。 设法向量n₁=(x,y,z)。 n₁·BD=0⇒-2x+2y=0⇒x=y。 n₁·BE=0⇒2y+z=0⇒z=-2y。 令y=1，得x=1，z=-2。 所以n₁=(1,1,-2)。 验证：n₁·BD=-2+2+0=0✅，n₁·BE=0+2-2=0✅。 第三步：求平面CBD的法向量 平面CBD就是底面ABCD，法向量垂直于底面，即z轴方向。 取n₂=(0,0,1)。 第四步：计算二面角的余弦值 cosα=|n₁·n₂|/(|n₁|·|n₂|)。 n₁·n₂=1×0+1×0+(-2)×1=-2，绝对值=2。 |n₁|=√(1+1+4)=√6。 |n₂|=1。 cosα=2/(√6×1)=2/√6=√6/3。 第五步：判断锐钝 二面角E-BD-C的半平面EBD和CBD在棱BD的同侧（E和C都在BD的同一侧），所以二面角为锐角，余弦值为正。 第（2）问答案：cosα=√6/3。 易错点提醒 第一个坑：第（1）问忘记写“AC∩AA₁=A”。 线面垂直判定定理要求“垂直于平面内两条相交直线”。必须写清楚AC和AA₁相交于A，否则定理不成立，扣分。 第二个坑：第（2）问建系时E的坐标写错。 E是CC₁的中点，C(2,2,0)，C₁(2,2,2)，所以E(2,2,1)。z坐标是1，不是0或2。 第三个坑：平面CBD的法向量搞错。 平面CBD就是底面ABCD，法向量垂直于底面，即(0,0,1)。不要把它和平面EBD的法向量搞混。 第四个坑：二面角不判断锐钝。 用公式cosα=|n₁·n₂|/(|n₁|·|n₂|)算出的是夹角的余弦值，但二面角可能是钝角。本题中E和C在BD同侧，二面角为锐角，所以余弦值为正。 真题规律总结 2023新高考I卷的立体几何题是“线面垂直证明+空间向量求二面角”的经典组合。 第（1）问的证明思路：建系→求方向向量→求平面内两个向量→验证点积为0→用判定定理证明线面垂直。 第（2）问的标准流程：明确两个平面→分别求法向量→套二面角公式→结合图形判断锐钝。 关键得分点：第（1）问的建系、方向向量、点积验证、相交条件；第（2）问的两个法向量、公式、锐钝判断。 备考建议：空间向量是立体几何大题的“万能解法”。只要坐标系建对，坐标写对，法向量算对，公式套对，就能拿满分。平时多练建系和法向量计算，确保考试时不慌。
