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蓝字

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NO.01

与秋光欣然相逢

“这道题，老师不是讲过吗？”

“讲过，但上次的图不是这样的。”

讲二次函数时，我们常常听到这样的回答。

上次抛物线开口向上，这次开口向下，孩子不会了。

上次标着顶点坐标，这次只给两个交点，孩子不会了。

上次问方程的根，这次问不等式的解集，孩子又觉得是新题。

家长着急，孩子也委屈：

公式背了，例题看了，怎么换一张图，还是不知道从哪里下手？

问题往往在于：孩子记住了上一道题的做法，却没有读懂图像里的数量关系。

一、看着像一道新题，其实还是那几个关系

二次函数的基本形式是：

y＝ax²＋bx＋c（a≠0）

解析式、图像和题目中的文字，看起来是三种不同的东西，其实说的是同一个函数。

比如：

• “a＞0”，画在图上，就是抛物线开口向上。

• “函数值等于0”，画在图上，就是图像与x轴相交或相切。

• “两个不同的x对应相同的y”，画在图上，就是两个等高点关于对称轴对称。

孩子真正需要练习的，是把这些语言互相翻译。

看到条件，能想到图像；看到图像，能说出关系；找到关系，再选择算式。

这也正是我们一直强调的：数学学习，离不开阅读理解和逻辑推导。

秋风捎来好心情

二、读二次函数图像，先看这五件事

拿到图像，不用急着找公式。

先按顺序看清楚下面五件事，再结合题目筛选有用信息。

1. 看开口：向上，还是向下？

开口向上，a＞0；

开口向下，a＜0。

在自变量取全体实数时：

• 开口向上，顶点是最低点，函数有最小值。

• 开口向下，顶点是最高点，函数有最大值。

但如果题目限制了x的范围，还要看顶点是否在这个范围内，不能直接把顶点的纵坐标当作所求最值。

2. 看对称轴：图像围绕哪条直线对称？

对称轴为：

x＝－b／（2a）

不要只把它当成一条需要背下来的公式。

它还告诉我们：

两个不同的点，如果在抛物线上且高度相同，它们的横坐标的平均数，就是对称轴对应的横坐标。

例如，抛物线经过（－1，0）和（3，0）。

那么对称轴就是：

x＝（－1＋3）÷2＝1。

不必先求出整个解析式，也能得到这个结论。

3. 看顶点：转折发生在哪里？

顶点是图像由下降转为上升，或者由上升转为下降的地方。

若顶点为（h，k），解析式可以写成：

y＝a（x－h）²＋k

这时，对称轴是x＝h，顶点的纵坐标是k。

因此，题目直接给出顶点时，优先考虑顶点式，通常比从一般式开始更方便。

4. 看交点：与哪条坐标轴相交？

与y轴相交时，x＝0。

代入y＝ax²＋bx＋c，得到y＝c。

所以，图像与y轴的交点是（0，c）。

与x轴相交时，y＝0。

所以，交点的横坐标，就是方程：

ax²＋bx＋c＝0

的实数根。

注意，是交点的“横坐标”，不是整个坐标。

5. 看高低变化：从左往右，图像怎样走？

观察增减性，要沿着x增大的方向，也就是从左往右看。

• 开口向上：对称轴左侧下降，右侧上升。

• 开口向下：对称轴左侧上升，右侧下降。

判断函数值大小，比的是点的高低；

判断增减性，看的是从左往右的变化。

这两件事不要混在一起。

三、同一条抛物线，换四种问法试试

假设一条抛物线：

• 开口向下；

• 与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）；

• 顶点为P（1，4）。

先不急着求解析式。

看看仅凭图像信息，能回答多少问题。

第一问：对应的一元二次方程的根是什么？

方程的根，对应图像与x轴交点的横坐标。

所以：

x₁＝－1，x₂＝3。

题目从“图像”换成了“方程”，关系没有变。

第二问：当y＞0时，x的取值范围是什么？

y＞0，表示图像在x轴上方。

这条抛物线开口向下，两交点之间的部分位于x轴上方。

所以：

－1＜x＜3。

如果问y≥0，就要把两个交点也包括进去：

－1≤x≤3。

一个等号，决定端点能不能取到。

第三问：当x＞0时，y一定随x增大而减小吗？

不一定。

因为对称轴是x＝1，不是y轴。

当0＜x＜1时，图像仍在上升；当x＞1时，图像才在下降。

很多孩子在这里出错，是把“y轴右侧”误当成了“对称轴右侧”。

决定抛物线在哪儿改变增减趋势的，是对称轴。

第四问：x＝0与x＝2时，哪个函数值更大？

0和2分别位于对称轴x＝1两侧，且到对称轴的距离相同。

所以：

两个函数值相等。

这道题不需要先求解析式，再分别代入计算。

看懂对称性，就已经找到答案。

你会发现：

四种问法，考的是同一张图里的交点、位置、增减性和对称性。

{ 风起十月，万物成诗 }

四、为什么孩子听讲时会，自己做又不会？

因为听老师讲题时，最关键的判断，常常已经由老师完成了。

老师说：“先看对称轴。”

孩子跟着看，觉得很简单。

老师说：“这两点等高，可以用对称性。”

孩子跟着算，也能算对。

但独立做题时，没有人提醒他先看哪里，他就停住了。

因此，讲完一道题后，不能只问：

“听懂了吗？”

可以换成三个问题：

第一，你是从哪个条件想到这一步的？

第二，这一步用到了二次函数的什么性质？

第三，如果开口方向反过来，哪些结论需要改变？

能把这三个问题说清楚，比照着答案再抄一遍，更能看出是否理解。

五、怎样练，才能换一张图也会做？

建议把一道题练成三个动作。

第一步：先翻译，再计算

在草稿纸上写出条件的含义。

例如：

“与x轴交于两点”→ 这两点的纵坐标都是0。

“两个点的纵坐标相同”→ 如果是两个不同的点，就可以考虑对称性。

“求函数值为正时x的范围”→ 找图像在x轴上方的部分，再读出对应的横坐标范围。

不要把条件看过就算，要把条件变成能使用的信息。

第二步：一次只改变一个条件

做完一道开口向上的题，把它改成开口向下。

做完一道问y＞0的题，把它改成问y＜0。

做完一道给顶点的题，再想想：如果改成给两个与x轴的交点，可以先确定什么？

每次只改一点，孩子更容易发现：

哪些关系一直成立，哪些结论需要重新判断。

第三步：遮住答案，自己讲一遍

不要求把整道题背出来。

只讲清楚：

“我先看到了什么。”

“因此知道了什么。”

“所以接下来做什么。”

比如：

“两个交点的横坐标是－1和3，因此对称轴是x＝1。两个点的横坐标分别是0和2，到对称轴的距离相同，所以它们的函数值相等。”

能把理由讲顺，才更有可能在新图像里认出同样的关系。

探索奇妙小世界

六、给家长的一句话：少问“怎么又错”，多问“你看出了什么”

孩子卡住时，可以先让他指出：

“对称轴在哪里？”

“哪些点的坐标是已知的？”

“题目要你找的是一个点、一个数，还是一段范围？”

先让孩子找到一个能说清楚的关系，再继续往下走。

如果只是不断提醒“这个讲过”“这个背过”，孩子可能更紧张，却仍然不知道第一步该做什么。

二次函数需要记忆，也需要计算。

但从“熟题会做”到“变式会做”，中间还缺少一段训练：

读条件，找关系，说理由。

在学利教育的数学辅导中，我们重视这段过程。既带学生完成一道题，也让学生说明白：这一步为什么这样做，条件变化之后又该怎样判断。

图像可以换，问题可以换。

当孩子真正理解了开口、对称轴、顶点和交点之间的关系，就有了重新分析一道题的依据。

学利教育｜让优秀成为一种习惯。

文末小练习

一条开口向上的抛物线与x轴交于（－2，0）和（4，0）。

请试着回答：

① 对称轴是什么？② 当y＜0时，x的取值范围是什么？③ x＝0和x＝2时，函数值有什么关系？

先在纸上画一张简图，再说明理由。

自查答案：

① x＝1。② －2＜x＜4。③ 两个函数值相等，因为两点关于直线x＝1对称。

给孩子留一个小任务：

把上面的“开口向上”改成“开口向下”，再回答一次。

哪些答案变了？为什么？

END

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