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★ 2027 中考数学 · 压轴题每日一题 ★第 6 题 外心 ＋ 等距截线外心落在边上 ＋ 斜边中线 ＋ 铅锤法 ＋ 设而不求九年级 ｜ 建议用时 40 分钟 ｜ 难度 ★★★★★这道题的两种问法，一个考「看见」，一个考「不看」。
第（2）问考看见：外心落在 CD 上，这句话一读就要在脑子里变成CD 是直径，再变成∠CBD ＝ 90°，最后变成斜边上的中线等于斜边的一半。三步走完，方程只有一行。
第（3）问反过来了，考「不看」。M、N 是两个交点，但你不能去求它们的坐标——C₂ 里带着 p、q，根本求不出来。正确的做法是承认「交点在哪我不知道」，只用一件事：它们同时满足两条抛物线。剩下的全是因式分解。
这道题最妙的地方在第（3）问的结论：不管 C₂ 是什么样，PT 和 TQ 永远一样长。也就是说，公共弦 MN 一定平分那条竖截线。这个结论一旦记住，很多题都能一眼看穿。
三角形外心斜边中线铅锤法设而不求点参法线参法
【2026 · 武汉】抛物线 C₁：y ＝ −x² ＋ 2x ＋ 3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧）。（1）求 A、B 两点的坐标。（2）如图 1，直线 y ＝ d（d ＜ 0）交抛物线 C₁ 于 C、D 两点，△BCD 的外心 E 在边 CD 上，求 d 的值。（3）如图 2，抛物线 C₂：y ＝ x² ＋ px ＋ q 与抛物线 C₁ 交于 M、N 两点，连接 MN。T 是线段 MN 上一点，过点 T 作 y 轴的平行线分别交抛物线 C₁、C₂ 于 P、Q 两点，连接 PM、PN、QM、QN。求证：△PMN 与△QMN 的面积相等。
图 1 直线 y ＝ d 与 C₁ 交于 C、D，B 在 x 轴上；△BCD 的外心 E 正好落在 CD 上
图 2 C₁ 开口向下、C₂ 开口向上，交于 M、N；过 MN 上的 T 作竖直线，交 C₁ 于 P、交 C₂ 于 Q外心是三条中垂线的交点，到三个顶点的距离相等。它在哪儿，直接反映三角形的形状：
在三角形内部
三角形形状：锐角三角形
关键结论：外接圆把三条边都「包」住
落在某条边上
三角形形状：直角三角形
关键结论：这条边是斜边，也就是直径
在三角形外部
三角形形状：钝角三角形
关键结论：外心跑到最长边的另一侧去了
第（2）问的全部秘密就在中间那一行。外心 E 在边 CD 上 ⟹ CD 是外接圆的直径 ⟹ 直径所对的圆周角是直角 ⟹∠CBD ＝ 90°。一句话，把「外心」这个陌生条件翻译成了「直角」这个熟悉条件。直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半。这个定理的逆定理同样好用：
若 M 是 CD 的中点，且BM ＝ ½CD，则 ∠CBD ＝ 90°。为什么？因为「到线段两端距离相等的点」在这条线段的垂直平分线上，反过来「中点到三顶点等距」就意味着 M 是外心，自然 CD 是直径。正反两条路是通的。
第（3）问要证两个三角形面积相等。如果去算面积，一定会卡死——C₂ 的系数 p、q 是字母，面积算出来是一大坨。要换个说法：
同底的两个三角形，面积比 ＝ 高的比。△PMN 与△QMN 共用底边 MN，所以只要证「P 到 MN 的距离 ＝ Q 到 MN 的距离」。再往下一步：P、Q 在同一条竖直线上，它们到同一条斜线 MN 的距离，与它们到 MN 的竖直距离成正比（比例系数就是「竖直线与 MN 夹角的正弦」，两边是同一个数）。所以：
而 PT、TQ 恰好是铅锤法里的那两个「铅锤高」。顺带把铅锤法复习一遍：
铅锤法：设 P 在 MN 上方，T 是过 P 的竖直线与 MN 的交点。连 PM、PN，把△PMN 沿 PT 切成两块：△PMT 的面积 ＝ ½ × PT × （P 到 M 的水平距离）△PNT 的面积 ＝ ½ × PT × （P 到 N 的水平距离）两块加起来 ＝ ½ × PT × （M 到 N 的水平距离）＝ ½ × PT × |x₂ − x₁|。即S ＝ ½ × 水平宽 × 铅锤高。竖直的 PT 是「铅锤高」，MN 在 x 方向的跨度是「水平宽」。这是全题最重要的一句话，也是「设而不求」的全部内容：
设抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 与直线 y ＝ kx ＋ m 交于横坐标为 x₁、x₂ 的两点。把两式相减，得到一个二次三项式 ax² ＋（b−k）x ＋（c−m），它的两个零点正是 x₁、x₂。所以它一定能写成a（x − x₁）（x − x₂）——首项系数就是 a，不用展开、不用解方程。本题的 C₁ 是 y ＝ −x² ＋ 2x ＋ 3，二次项系数−1；C₂ 是 y ＝ x² ＋ px ＋ q，二次项系数＋1。两条抛物线与同一条直线 MN 都交于 M、N，于是：
C₁ 与 MN 相减 ＝−（x − x₁）（x − x₂）C₂ 与 MN 相减 ＝＋（x − x₁）（x − x₂）两个式子只差一个负号。这就是第（3）问为什么成立的根源——它跟 p、q 完全无关，只跟「两抛物线开口方向相反、开口大小相同」有关。
解法一（因式分解，最快）
令 y ＝ 0：−x² ＋ 2x ＋ 3 ＝ 0，两边同乘 −1 得 x² − 2x − 3 ＝ 0，分解为（x − 3）（x ＋ 1）＝ 0。
所以A（−1，0），B（3，0）。
解法二（配方，顺便把顶点也拿到）
y ＝ −（x² − 2x）＋ 3 ＝ −（x − 1）² ＋ 4。
顶点（1，4），对称轴 x ＝ 1。所以 A、B 关于直线 x ＝ 1 对称，各自到对称轴的距离都是 2，即A（−1，0）、B（3，0）。
解法三（韦达，不解方程）
x² − 2x − 3 ＝ 0 的两根之和为 2、之积为 −3，一眼看出是 3 和 −1。
三种解法都指向同一组答案。但请注意解法二白送了一个信息：顶点是（1，4），这在第（2）问里马上要用——因为 C、D 关于 x ＝ 1 对称，中点就是（1，d）。先做一件准备工作。设 C（x₁，d）、D（x₂，d），由 −x² ＋ 2x ＋ 3 ＝ d 得：
x² − 2x ＋（d − 3）＝ 0 ⟹x₁ ＋ x₂ ＝ 2，x₁x₂ ＝ d − 3用不着真解出 x₁、x₂，只要这两条关系就够了。另外 CD 的长也能用韦达表示：
CD ＝ |x₂ − x₁| ＝ √［（x₁＋x₂）² − 4x₁x₂］＝ √［4 − 4（d − 3）］＝2√（4 − d）
图 3 d ＝ −1 时的真实情形：以 CD 为直径作半圆，B 恰好在圆上，∠CBD ＝ 90°，圆心 M 是 CD 中点外心 E 在 CD 上，所以 E 就是 CD 的中点，也就是M（1，d），并且 MB ＝ ½CD。MB² ＝（3 − 1）² ＋（0 − d）² ＝ 4 ＋ d²½CD ＝ √（4 − d）两式相等：4 ＋ d² ＝ 4 − d ⟹d² ＋ d ＝ 0⟹ d（d ＋ 1）＝ 0因为 d ＜ 0，所以d ＝ −1。∠CBD ＝ 90° ⟹ BC² ＋ BD² ＝ CD²。BC² ＝（x₁ − 3）² ＋ d²，BD² ＝（x₂ − 3）² ＋ d²两式相加 ＝（x₁² ＋ x₂²）− 6（x₁ ＋ x₂）＋ 18 ＋ 2d²其中 x₁² ＋ x₂² ＝（x₁ ＋ x₂）² − 2x₁x₂ ＝ 4 − 2（d − 3）＝ 10 − 2d代入得：BC² ＋ BD² ＝（10 − 2d）− 12 ＋ 18 ＋ 2d² ＝2d² − 2d ＋ 16CD² ＝ 4（4 − d）＝ 16 − 4d令两者相等：2d² − 2d ＋ 16 ＝ 16 − 4d ⟹ 2d² ＋ 2d ＝ 0 ⟹d ＝ −1。∠CBD ＝ 90° ⟺BC ⟶ · BD ⟶ ＝ 0（两个向量都从 B 出发，这一点千万别弄错）BC ⟶ ＝（x₁ − 3，d），BD ⟶ ＝（x₂ − 3，d）点积 ＝（x₁ − 3）（x₂ − 3）＋ d²＝ x₁x₂ − 3（x₁ ＋ x₂）＋ 9 ＋ d²＝（d − 3）− 6 ＋ 9 ＋ d² ＝d² ＋ d所以 d（d ＋ 1）＝ 0，取 d ＜ 0 得d ＝ −1。CB ⊥ DB ⟹ kCB· kDB＝ −1。kCB＝ d ÷（x₁ − 3），kDB＝ d ÷（x₂ − 3）相乘：d² ÷［（x₁ − 3）（x₂ − 3）］＝ −1而（x₁ − 3）（x₂ − 3）＝ x₁x₂ − 3（x₁ ＋ x₂）＋ 9 ＝（d − 3）− 6 ＋ 9 ＝ d所以 d² ＝ −d，即 d（d ＋ 1）＝ 0，取d ＝ −1。四个解法，最后都落到同一个式子 d² ＋ d ＝ 0。这不是巧合——它们说的其实是同一件事，只是语言不同：斜边中线说的是「外心在斜边中点」，勾股说的是「直角三角形的边关系」，点积和斜率说的是「垂直」。考场上推荐解三（点积），因为它一步到位，还顺手用上了韦达，不用算 CD 的长度。如果你对向量不熟，就用解二，计算量大一点但绝对不会错。最容易丢分的地方：d ＝ 0。方程 d（d ＋ 1）＝ 0 有两个根，很多同学直接写「d ＝ −1」，把 d ＝ 0 忘了。d ＝ 0 时直线就是 x 轴，C、D 两点正好是 A（−1，0）、B（3，0），△BCD 变成了三点共线的「三角形」，根本不存在。题目限定 d ＜ 0，就是替你把这个坑堵上。但答题时一定要写出「因为 d ＜ 0，所以舍去 d ＝ 0」这句话，这是给分点。先说明一件事：为什么「P 在上、Q 在下」。C₁ 开口向下，弦 MN 一定在抛物线下方（在 x₁ 与 x₂ 之间）；C₂ 开口向上，弦 MN 一定在抛物线上方。所以同一条竖直线上，P 在最上、T 居中、Q 在最下。
图 4 同一竖直线上的三段：P 在 C₁ 上、T 在 MN 上、Q 在 C₂ 上，且 PT ＝ TQ△PMN 与△QMN 共用底边 MN：S△PMN＝ ½ × MN × d（P，MN）， S△QMN＝ ½ × MN × d（Q，MN）要证面积相等，只需证d（P，MN）＝ d（Q，MN）。而 P、Q 都在直线 x ＝ t 上，这条直线与 MN 的夹角是定值 θ（同一条线，同一个角）。d（P，MN）＝ PT · sinθ， d（Q，MN）＝ TQ · sinθ所以只需证 PT ＝ TQ。（也可以用铅锤法直接写：S△PMN＝ ½ × |x₂ − x₁| × PT，S△QMN＝ ½ × |x₂ − x₁| × TQ，同样归结到 PT ＝ TQ。）第二步 用「设而不求」证明 PT ＝ TQ（点参法）设 M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），直线 MN 为 y ＝ kx ＋ m，T 的横坐标为 t（x₁ ＜ t ＜ x₂）。
① C₁ 与直线 MN 相减（−x² ＋ 2x ＋ 3）−（kx ＋ m）＝ −x² ＋（2 − k）x ＋（3 − m）这是二次项系数为 −1、零点为 x₁、x₂ 的二次三项式，所以（−x² ＋ 2x ＋ 3）−（kx ＋ m）＝−（x − x₁）（x − x₂）② C₂ 与直线 MN 相减（x² ＋ px ＋ q）−（kx ＋ m）＝ x² ＋（p − k）x ＋（q − m）同理，二次项系数为 ＋1、零点为 x₁、x₂：（x² ＋ px ＋ q）−（kx ＋ m）＝＋（x − x₁）（x − x₂）③ 代入 x ＝ tPT ＝ P 的纵坐标 − T 的纵坐标 ＝ −（t − x₁）（t − x₂）TQ ＝ T 的纵坐标 − Q 的纵坐标 ＝ −（t − x₁）（t − x₂）两个式子的右边一模一样，所以PT ＝ TQ。（因为 x₁ ＜ t ＜ x₂，所以（t − x₁）（t − x₂）＜ 0，上面两式的值都是正数，可以直接当长度用。）这一步为什么能这么顺？因为两条抛物线的二次项系数是 −1 和 ＋1。系数互为相反数，相减后得到的两个式子就只差一个负号，竖直线上的两段自然相等。如果题目把 C₂ 改成 y ＝ 2x² ＋ px ＋ q，那 PT 和 TQ 就是 1 : 2 的关系，面积比也就变成了 1 : 2。这一点在后面同类题里会看到。由 PT ＝ TQ 且 P、T、Q 三点共线，知T 是线段 PQ 的中点。所以 P、Q 到直线 MN 的距离相等，两个三角形同底等高：S△PMN＝ S△QMN。 证毕。同一步也可以从直线入手。设 MN：y ＝ kx ＋ m，把它和两条抛物线分别相减、比较一次项系数：
由 ① ：2 − k ＝ x₁ ＋ x₂ ⟹k ＝ 2 −（x₁ ＋ x₂）由 ② ：p − k ＝ −（x₁ ＋ x₂） ⟹p ＝ 2 − 2（x₁ ＋ x₂）再由常数项：3 − m ＝ −x₁x₂，q − m ＝ x₁x₂ ⟹q ＝ 3 ＋ 2x₁x₂顺带得到了 p、q 与两个交点横坐标的关系——这在「已知交点求 C₂」的题目里能直接用。取 C₂：y ＝ x² − 3x（即 p ＝ −3，q ＝ 0）。与 C₁ 联立：
−x² ＋ 2x ＋ 3 ＝ x² − 3x ⟹ 2x² − 5x − 3 ＝ 0 ⟹ （2x ＋ 1）（x − 3）＝ 0所以M（−½，7/4）、N（3，0），MN：y ＝ 3/2 − x/2取 t ＝ 3/2（此时 Q 恰好是 C₂ 的顶点）：
T
坐标：（3/2，3/4）
说明：在 MN 上，y ＝ 3/2 − 3/4 ＝ 3/4
Q
坐标：（3/2，−9/4）
说明：在 C₂ 上，恰好是顶点（3/2，−9/4）
PT ＝ 15/4 − 3/4 ＝3TQ ＝ 3/4 −（−9/4）＝3✓用公式核对：−（t − x₁）（t − x₂）＝ −（3/2 ＋ 1/2）（3/2 − 3）＝ −2 ×（−3/2）＝ 3 ✓
再算面积：S△PMN＝ ½ × |3 −（−½）| × 3 ＝ ½ × 7/2 × 3 ＝21/4，与 S△QMN相同。
把「外心在 CD 上」读成「外心在 CD 内部」
错解：外心在边上才算特殊，这是直角三角形的标志；在「内部」只是普通的锐角三角形。一字之差，整题报废。
d（d ＋ 1）＝ 0 只写 d ＝ −1
错解：漏了 d ＝ 0。必须写「由 d ＜ 0 舍去」，否则扣步骤分。而且 d ＝ 0 时△BCD 三点共线，本就不成立。
点积写成（B − C）·（D − C）
错解：那算的是 ∠BCD，不是 ∠CBD。向量必须都从直角顶点出发，本题是从 B 出发。
第（3）问去求△PMN 的面积
错解：p、q 是字母，面积求不出来。看到「两个面积相等」就该想到同底比高。
把 C₁ 的分解写成 ＋（x − x₁）（x − x₂）
错解：C₁ 的二次项系数是 −1，符号反了会得出 PT ＝ −TQ 的荒谬结论。写的时候盯住二次项系数。
不说明 t 的范围就直接｜PT｜＝｜TQ｜
错解：T 在线段 MN 上，才有 x₁ ＜ t ＜ x₂，才能保证两个式子同为正。这一步要写一句。
把这道题的两问放在一起看，会发现它们共用同一套动作。以后遇到「两条二次曲线 ＋ 一条截线」的题，按这三步走就行：
第一步 把交点「挂账」，不解出来。只记 x₁ ＋ x₂、x₁x₂（韦达），或者干脆只写「x₁、x₂ 是某方程的两根」。第二步 把「距离／面积」翻译成「竖直距离」。斜线上的垂距 ∝ 竖直距离，比例系数是同一条线的夹角正弦；同底三角形的面积比 ＝ 高的比 ＝ 竖直距离的比。第三步 用「相减 ＋ 因式分解」比较竖直距离。曲线减直线 ＝ 首项系数 ×（x − x₁）（x − x₂）。系数是谁，比值就是谁。外心在 CD 上
翻译成什么：CD 是直径，外心是 CD 中点，MB ＝ ½CD
用什么工具：斜边中线
∠CBD ＝ 90°
翻译成什么：BC ⟶ · BD ⟶ ＝ 0，或 BC² ＋ BD² ＝ CD²
用什么工具：点积 / 勾股
△PMN 与△QMN 面积相等
翻译成什么：同底 MN，只要两高相等
用什么工具：铅锤法
P、Q 在同一条竖直线上
翻译成什么：PT ＝ 曲线纵坐标 − 直线纵坐标
用什么工具：设而不求
C₁、C₂ 二次项系数互为相反数
翻译成什么：竖截线被公共弦平分（PT ＝ TQ）
用什么工具：因式分解比系数
最后一行的结论值得单独记住：y ＝ ax² ＋ … 与 y ＝ −ax² ＋ … 的公共弦，会平分任何一条竖直截线。系数相等（a 与 a）：竖截线被分成 1 : 1；系数是 a 与 2a：竖截线被分成 1 : 2；一句话，比值就是二次项系数之比。同类题 1抛物线 y ＝ −x² ＋ 6x − 5 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），直线 y ＝ d（d ＜ 0）交抛物线于 C、D 两点，△BCD 的外心在边 CD 上。（1）求 d 的值；（2）做完之后回答：答案和抛物线有关吗？为什么？（3）若把条件改成「外心在 CD 的下方」，求 d 的取值范围。同类题 2抛物线 C₁：y ＝ −x² ＋ 2x ＋ 3 与 C₂：y ＝ x² − 3x 交于 M、N 两点。T（t，3/2 − t/2）是线段 MN 上一点，过 T 作 y 轴的平行线交 C₁ 于 P、交 C₂ 于 Q。（1）用 t 表示 PT 与 TQ 的长，并验证它们相等；（2）求△PMN 的面积（用 t 表示），并求当 t ＝ 3/2 时的面积；（3）若把 C₂ 换成 y ＝ 2x² − 6x，PT 与 TQ 的比是多少？两个三角形的面积比是多少？本题答案
（1）A（−1，0），B（3，0）。（2）d ＝ −1。（3）证明见正文第五节（PT ＝ TQ ⟹ 同底等高 ⟹ 面积相等）。同类题 1
（1）令 y ＝ 0：−x² ＋ 6x − 5 ＝ 0 ⟹ x² − 6x ＋ 5 ＝ 0 ⟹ x ＝ 1 或 5，所以 A（1，0）、B（5，0）。设 C（x₁，d）、D（x₂，d），由 −x² ＋ 6x − 5 ＝ d 得 x² − 6x ＋（5 ＋ d）＝ 0，x₁ ＋ x₂ ＝ 6，x₁x₂ ＝ 5 ＋ d。CD ＝ √［36 − 4（5 ＋ d）］＝ 2√（4 − d），½CD ＝ √（4 − d）。外心是 CD 中点 M（3，d），MB² ＝（5 − 3）² ＋ d² ＝ 4 ＋ d²。由 MB ＝ ½CD：4 ＋ d² ＝ 4 − d ⟹ d² ＋ d ＝ 0 ⟹ d ＝ 0 或 −1；由 d ＜ 0 得d ＝ −1。（2）无关。设抛物线为 y ＝ −（x − a）（x − b），则 C、D 的横坐标满足（x − a）（x − b）＝ −d，即（x − m）² ＝ m² − d（m 是 A、B 距离的一半），所以 ½CD ＝ √（m² − d）；而 B（b，0）到中点 M（m，d）的距离 MB² ＝ m² ＋ d²。令 MB ＝ ½CD：m² ＋ d² ＝ m² − d ⟹ d² ＋ d ＝ 0。m 被消掉了——所以只要 d ＜ 0，答案永远是 −1。这就是「结构决定答案」。（3）外心在 CD 下方 ⟺△BCD 是钝角三角形（钝角在 B）⟺ BC ⟶ · BD ⟶ ＜ 0。由正文解三：（x₁ − 5）（x₂ − 5）＋ d² ＝ d² ＋ d ＜ 0 ⟹−1 ＜ d ＜ 0。（d ＝ −1 时是直角三角形，外心正好在 CD 上；d ＜ −1 时是锐角三角形，外心跑到 CD 上方。）同类题 2
（1）由 −x² ＋ 2x ＋ 3 ＝ x² − 3x 得 2x² − 5x − 3 ＝ 0，即（2x ＋ 1）（x − 3）＝ 0，所以 M（−½，7/4）、N（3，0），MN：y ＝ 3/2 − x/2。C₁ 与 MN 相减：−x² ＋ 2x ＋ 3 −（3/2 − x/2）＝ −x² ＋ 5x/2 ＋ 3/2 ＝ −（x ＋ ½）（x − 3）C₂ 与 MN 相减：x² − 3x −（3/2 − x/2）＝ x² − 5x/2 − 3/2 ＝（x ＋ ½）（x − 3）代入 x ＝ t（−½ ＜ t ＜ 3）：PT ＝ TQ ＝ −（t ＋ ½）（t − 3），展开即−t² ＋ 5t/2 ＋ 3/2。（t ＝ 3/2 时值为 3，与正文验算一致 ✓）（2）S△PMN＝ ½ × 水平宽 × 铅锤高 ＝ ½ × |3 −（−½）| × PT ＝ ½ × 7/2 ×（−t² ＋ 5t/2 ＋ 3/2）＝（7/4）（−t² ＋ 5t/2 ＋ 3/2），即−7t²/4 ＋ 35t/8 ＋ 21/8。t ＝ 3/2 时，−t² ＋ 5t/2 ＋ 3/2 ＝ −9/4 ＋ 15/4 ＋ 6/4 ＝ 3，所以 S ＝ 7/4 × 3 ＝21/4。（3）C₂ 改为 y ＝ 2x² − 6x 时，与 MN 相减得 2（x ＋ ½）（x − 3），所以PT : TQ ＝ 1 : 2，从而S△PMN: S△QMN＝ 1 : 2。（比值就是两个二次项系数之比：|−1| : |2| ＝ 1 : 2。）写在最后这道题真正该带走的是两句话。第一句：几何条件要「翻译」成代数条件。「外心在边上」这五个字，值一个直角三角形；「面积相等」这四个字，值一个「高相等」。不会翻译的人，会拿着原话发呆；会翻译的人，题目读完方程就写出来了。第二句：求不出来的东西，就别求。第（3）问里 M、N 的坐标带着 p、q，永远算不出具体数字。但它不需要具体数字——只需要「它是交点」这一条身份。把身份用足，比把数字算出来有用得多。明天第 7 题：把「铅锤法」用到极致——动点在抛物线上跑，求四边形面积的最大值，中间会用到一次「设而不求」和一个隐藏的定点。觉得有用，点个「赞」和「在看」，明天继续
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