初三这一年，你会集中学完三个函数：一次函数、二次函数、反比例函数。
很多同学把它们当成三个独立的章节，学完一个丢一个。到了高中才发现，高中数学里那些让人头疼的“基本初等函数”，追根溯源，全都能在初三这三个函数里找到影子。
不是“有点像”，是直接继承。初中没搞明白的东西，高中会以更难的形式反复出现。
一、函数定义：初中看“变化”，高中看“集合”
初中对函数的定义是描述性的：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数。
这个定义你能背下来，会用一次函数求个函数值，就算过关了。
高中一上来就换了一套语言。人教A版必修第一册给函数的定义是：设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f为从A到B的一个函数。
区别在哪？初中说的是“变量之间的关系”，高中说的是“集合之间的对应”。初中你习惯的是“x变了，y跟着变”，高中要求你理解的是“给定一个集合A，通过规则f，映射到集合B里的唯一值”。
这个思维转换，初三暑假就该开始适应。 学二次函数的时候，不要只想着“x取什么值y是多少”，试着想“这个函数的定义域是什么集合，值域是什么集合”。这个习惯养成了，高中函数概念那节课你就不会觉得陌生。
二、定义域：初中最容易忽略的，高中最先考
初三学三个函数的时候，你对定义域的敏感度够不够？
一次函数y=kx+b，定义域是全体实数。反比例函数y=k/x，定义域是x≠0。二次函数y=ax²+bx+c，定义域也是全体实数，但实际问题里可能有范围限制。
初中考试里，定义域很少单独出大题。所以你很容易养成一个习惯：拿到函数先算，定义域最后再说，或者根本不说。
到了高中，这个习惯会直接让你丢分。高中函数题的第一问经常就是“求定义域”。一次函数和二次函数在高中被归入“基本初等函数”的讨论框架里，定义域和值域是标准考点。高中教材明确写出：一次函数y=ax+b（a≠0）的定义域是R，值域也是R；二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的定义域是R，值域则要根据a的正负来分情况讨论。
更关键的是，高中会出现复合函数求定义域的题。比如已知f(x)的定义域是[2,8]，求f(2x)的定义域。这种题考的就是你对“定义域是自变量的取值范围”这句话的理解深度。如果你初三学反比例函数时，只知道“分母不能为零”，而没有建立起“定义域是函数存在的前提”这个意识，高中这类题你会做得很痛苦。
初三建议：学反比例函数时，把x≠0这个条件当成函数的一部分来对待，不要当成“顺便提一句”的注意事项。学二次函数实际问题时，认真对待题目给出的取值范围。定义域不是附属品，它是函数的身份证。
三、值域：初中“看图象”，高中“算出来”
初三判断值域，主要靠看图。一次函数看直线往哪走，二次函数看开口和顶点，反比例函数看两支曲线。这个方法直观，但粗糙。
高中要求你不画图也能求出值域。二次函数的值域公式是明确的：当a>0时，值域是{y|y≥(4ac-b²)/4a}；当a<0时，值域是{y|y≤(4ac-b²)/4a}。这个公式初三其实接触过，就是顶点纵坐标，但初中你更多是在“求最值”的语境下用它，高中则要求你把它作为值域的精确表达。
一次函数的值域是R，看起来简单，但在复合函数里，一次函数作为内层函数时，它的值域会变成外层函数的定义域。这时候你对“值域”的理解深度就直接影响解题了。
初三建议：学二次函数最值时，不要只记“顶点纵坐标”，试着用不等式的方式表达出来：“这个函数的值域是y≥某个数”。把“最值”和“值域”这两个概念连起来。
四、复合函数：初三的“嵌套”，是高中的“复合”
复合函数这个词，初三没出现过。但你其实见过它的雏形。
二次函数y=a(x-h)²+k，本质上就是两层：先算(x-h)，再平方，再乘a，再加k。如果你把(x-h)看成一个整体，令u=x-h，那么y=au²+k。这就是一个最简单的复合结构。
高中把这件事说清楚了：如果y=f(t)的定义域为A，t=g(x)的值域是A的子集，那么y=f(g(x))就叫复合函数，t叫中间变量，g(x)是内层函数，f(t)是外层函数。
初三学的三个函数，是高中复合函数最常见的“零件”。二次函数经常做外层，反比例函数和一次函数经常做内层。比如y=1/(x-1)，就是反比例函数和一次函数的复合；y=√(x²-1)，是二次函数被开方。
高中复合函数的核心考点是“同增异减”：内外层单调性相同则复合函数递增，相反则递减。这个规则的前提，是你能准确判断每一层函数的单调性。而初三学一次函数时判断k的正负、学二次函数时看对称轴两侧的增减、学反比例函数时看每一支上的变化趋势，练的就是这个基本功。
初三建议：学二次函数顶点式的时候，试着用“内层外层”的眼光看它。学反比例函数时，想一想如果分母不是一个x，而是一个一次式，图象会怎么变。不用深究，有这个意识就够了。
五、奇偶性：初三的“对称”，是高中的“性质”
高中函数奇偶性的定义，是用符号语言写的：f(-x)=f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)是奇函数。但它的几何直观，初三早就见过。
二次函数y=ax²+bx+c，当b=0时，图象关于y轴对称。这就是偶函数。反比例函数y=k/x，图象关于原点对称。这就是奇函数。一次函数y=kx+b，只有b=0时（正比例函数）才关于原点对称，是奇函数。
你在初三看图的时候，其实已经在用对称性判断函数性质了。只是初中没有给它“奇偶性”这个名字，也没有用f(-x)的符号语言来定义。
高中把这件事严格化了。奇偶性的判断前提是定义域关于原点对称，这个条件初中很少强调，高中却是必考点。一个函数图象看起来对称，但如果定义域是[-1,2]，它既不是奇函数也不是偶函数。
初三建议：学二次函数对称轴的时候，多问一句“为什么对称”。学反比例函数的时候，注意它的两支曲线是“关于原点对称”的，不是“关于y轴对称”。这两个对称不一样，高中会反复考。
六、一条线串起来
回头看，初三这三个函数，其实是高中函数体系的三块地基：
一次函数教你“线性变化”和“斜率的意义”，高中导数里直线的斜率、线性近似，都从这里来。
二次函数教你“非线性变化”和“最值”，高中二次函数是最常用的工具函数，值域、单调性、复合、恒成立问题，到处都有它。
反比例函数教你“分式结构”和“渐近行为”，高中指数函数、对数函数、甚至三角函数的某些性质，都能在反比例函数的图象里找到直觉。
初中函数和高中函数的关系，不是“学过了”和“没学过”的关系，是“学得透不透”和“高中跟不跟得上”的关系。
初三现在做的每一道函数题，写的每一个定义域，画的每一张图象，都在为高中那栋楼打桩。桩打得深不深，高一第一次月考就能看出来。
