初三几何中的动点题，看起来变化很多，其实常有固定的解题入口：先找比例，再找对称关系，最后分类讨论。这道题就很适合把这三个知识点串起来。
01｜ 先看原题
如图，点 P 为矩形 ABCD 的对角线 AC 上异于 A、C 的一动点。过点 P 作 PM⊥AD 于点 M，点 N 为点 A 关于 PM 的对称点，连接 PN、NC。若 AB＝3，BC＝4，当 △CPN 为直角三角形时，求 AM 的长。
结构示意图：P 沿 AC 运动，N 随之在射线 AD 上移动。
为什么不是一个答案？因为直角可能出现在不同顶点，而且点 N 不一定始终落在边 AD 上，也可能到达点 D 的外侧。下面一步一步分析。
02｜ 第一步：用相似三角形找固定比例
知识点：平行线产生相似三角形，对应边成比例。
矩形的对边相等，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4。又因为 PM⊥AD，CD⊥AD，所以 PM∥CD。
由于 P 在 AC 上、M 在 AD 上，有：
因此，写出对应边的比例：
即：
方法提醒：看到“矩形对角线上有动点，再向一条边作垂线”，先观察是否出现一对平行线，然后寻找相似三角形。
03｜ 第二步：用轴对称找相等线段
知识点：对称轴垂直平分对应点的连线。
点 N 是点 A 关于直线 PM 的对称点，说明 PM 是线段 AN 的垂直平分线，所以：
又因为 A、M、N 在同一条直线上，并且 M 是 AN 的中点：
这是后面求 AM 的关键：只要先求出 AN，再除以 2 就行。
04｜ 第三步：直角位置必须分类讨论
△CPN 是直角三角形，直角可能在 C、P 或 N。我们不能只看原图中“像不像直角”，而要把可能性逐个检验。
情况一：直角在 N（∠PNC＝90°）
这时 N 位于 A、D 之间，且 PN⊥CN。
因为 PM⊥AD、CD⊥AD，所以 ∠PMN＝∠NDC＝90°。
再根据 PN⊥CN、PM⊥ND，可得 ∠MPN＝∠DNC（两组边分别垂直，所成的锐角相等）。
所以由两角分别相等：
对应边成比例：
由上一部分知道 PM / MN＝3 / 4，DC＝3，因此：
这时 N 在 AD 上，所以要用减法：
因为 AN＝2AM，所以：
情况二：直角在 C（∠PCN＝90°）
这时 N 在 D 的右侧延长线上，AC⊥CN。
因为 A、P、C 在同一直线上，∠PCN＝90°，所以 AC⊥CN。又因为 CD⊥AD，且 A、D、N 共线，得到：
理解这个相似：∠CDN＝∠ADC＝90°；同时 ∠DCN＝∠CAD（两组边分别垂直形成的锐角相等）。
对应边成比例：
代入 CD＝3、AD＝4：
注意，这一次 N 在 D 的外侧，所以要用加法：
利用 AN＝2AM：
情况三：直角在 P，为什么不可能？
假设 ∠CPN＝90°。由于 A、P、C 在同一直线上，则 ∠APN 也等于 90°。
轴对称告诉我们 PA＝PN，所以 △APN 是顶角为 90° 的等腰直角三角形。PM 又是底边 AN 上的高，所以：
可是第一步已经证明 PM＝(3/4)AM。由于 P 不与 A 重合，AM＞0，两式矛盾。
因此，直角不可能在 P。
05｜ 写出完整答案，记得检查范围
因为 P 在对角线 AC 上且不与 A、C 重合，所以 0＜AM＜AD＝4。而 7/8 与 25/8 都在这个范围内，两个答案都符合题意。
06｜ 以后遇到同类动点题，可以这样做
① 找固定比例：先利用矩形、平行线、相似三角形，建立边长关系。
② 找变换关系：出现轴对称，就标出相等线段、中点和垂直关系。
③ 做分类讨论：出现“某三角形是直角三角形”，逐个检查三个顶点。
④ 分清点的位置：点在边内还是延长线上，决定线段是相减还是相加。
⑤ 验证解是否有效：代回几何条件，并检查动点是否在规定范围内。
还有一个备用方法：如果考试中一时找不到相似三角形，可以设 AM＝x，利用 PM＝3x/4、PN＝5x/4、PC＝5(4－x)/4，再按三个直角位置分别列勾股方程。虽然计算较多，但也能系统地检查所有情况。
07｜ 做一道变式题，检验是否真正掌握
变式练习
把原题中的 AB＝3、BC＝4 改成 AB＝3、BC＝5，其余条件不变。问：AM 的值是多少？
先自己思考，再看下方解析。
参考思路：此时 AD＝5、CD＝3。按前面两种情况，均可先求出 DN＝CD²/AD＝9/5（这里的关系可由相似三角形得到）。
同类题能不能做出来，通常不取决于是否记住这道题的数字，而取决于能否主动找到相似比例、对称关系和分类讨论这三条线索。
— END —
