初二基础篇 | 线段的垂直平分线：性质+判定+尺规作图+互逆定理全攻略（12题精练）
初中数学 · 八上第15章 轴对称 · 基础篇
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📌 本讲导读
轴对称一章的"计算担当"来了——线段的垂直平分线（中垂线）。它是"对称"落到线段上的具体形态：一根线，两件事——"谁在上面，谁等距"（性质）和"谁等距，谁在上面"（判定）。这一讲说透五件事：①定义与尺规作法（两弧交点定直线）；②性质定理（中垂线上的点到两端点距离相等，PA=PB）；③判定定理（到两端点距离相等的点在中垂线上）；④互逆命题与互逆定理（题设结论互换，逆命题为真才是逆定理）；⑤周长转化模型（PA=PB 把折线拉直，最常用的得分套路）。⚠️ 本讲最贵的两分："平分线段的直线"不一定是中垂线——还必须垂直。
一、知识清单
1. 定义与尺规作法
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。两个条件缺一不可：只垂直不平分、只平分不垂直都不算。
尺规作法（作线段 AB 的中垂线）：① 分别以 A、B 为圆心，以大于 ½AB 的长为半径作弧，两弧交于两点；② 过这两个交点作直线，即为所求。
⚠️ 半径必须大于一半：太小了两弧不相交，恰好等于一半时只交于中点一个点，都无法确定直线。
2. 性质定理：谁在中垂线上，谁等距
线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离相等。
书写格式：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 ∴ PA = PB。
这个定理的作用是"搬线段"：把 PB 搬成 PA（或反过来），把折线拉直、把分散的线段集中到一个三角形里，是后面所有周长、角度问题的引擎。
3. 判定定理：谁等距，谁在中垂线上
与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
书写格式：∵ PA = PB ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
用法升级：若有两个点 P、Q 都满足"到 A、B 等距"，那么直线 PQ 就是线段 AB 的垂直平分线（两点确定一条直线）。证明"某直线是中垂线"就靠它。
4. 互逆命题与互逆定理
两个命题的题设和结论正好相反，叫互逆命题；其中一个叫原命题，另一个叫它的逆命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，它也是一个定理，叫原定理的逆定理；这样的两个定理叫互逆定理。
⚠️ 不是所有命题的逆命题都成立：如"对顶角相等"的逆命题"相等的角是对顶角"就是假的；"全等三角形对应边相等"的逆命题"对应边相等的三角形全等"成立（SSS）。写逆命题 = 把题设和结论对调，再单独判断真假。
5. 周长转化模型：中垂线最重要的一招
看到"中垂线 + 三角形周长"，立刻用 PA=PB 换边：
中垂线交 AC 于 D ⇒ DB = DA ⇒ △BCD 的周长 = BC + CD + DB = BC + AC（△ABC 周长去掉 AB）。
反过来，知道两个周长就能做减法求某条边：AB = △ABC 周长 − (AC + BC)。
求角度同理：DB = DA ⇒ △ABD 是等腰三角形 ⇒ ∠DAB = ∠DBA，再接三角形内角和或外角定理。
🔑 记忆卡：中垂线一句话——"线上等距（性质），等距在线上（判定）"。作图口诀"两弧一连，大于一半"。周长转化一句话："中垂线一出手，两边和直接有"。
二、题型精讲
题型一性质求长度：周长转化
如图，△ABC 中，DE 是线段 BC 的垂直平分线，交 AC 于点 E、交 BC 于点 D。若 AB=5，AC=9，求 △ABE 的周长。
💡 思路：E 在 BC 的中垂线上 ⇒ EB = EC ⇒ △ABE 周长 = AB + AE + EB = AB + AE + EC = AB + AC = 5 + 9 = 14。不要求出 AE、EB 各是多少——"换边合并"才是正解。
题型二性质求角度：造等腰、用外角
如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D。若 ∠B=40°，求 ∠ADC 的度数。
💡 思路：DA = DB ⇒ ∠DAB = ∠B = 40°；∠ADC 是 △ABD 的外角 ⇒ ∠ADC = ∠B + ∠DAB = 40° + 40° = 80°。中垂线一出现，先连出等腰三角形，角度立刻多一个等量关系。
题型三判定：证明"某直线是中垂线"
已知：如图，PA=PB，CA=CB（A、C 是直线 l 上两点）。求证：直线 l 垂直平分线段 AB。
💡 思路：PA=PB ⇒ 点 P 在 AB 的中垂线上；CA=CB ⇒ 点 C 也在 AB 的中垂线上；两点确定一条直线 ⇒ 直线 l（即直线 PC）就是 AB 的垂直平分线。判定要"凑够两个等距点"，只证一个点只能说明它在线上，不能说明整条直线是中垂线。
题型四互逆命题：写出来、判真假
写出命题"如果两个实数相等，那么它们的平方相等"的逆命题，并判断真假。
💡 思路：逆命题 = "如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等"。它是假命题：反例 (−2)² = 2²，但 −2 ≠ 2。判断逆命题真假必须重新证明或举反例，不能"顺理成章"认为成立。
题型五尺规作图与实际应用
直线 m 同侧有小区 A、B：① 要在 m 上建站点 D，使 DA=DB，如何确定 D？② 要在 m 上建站点 E，使 EA+EB 最小，如何确定 E？
💡 思路：① DA=DB ⇒ D 到 A、B 等距 ⇒ 作线段 AB 的垂直平分线，与 m 的交点即 D；② 作点 B 关于 m 的对称点 B′，连 AB′ 交 m 于 E（将军饮马）。两问两模型：等距找中垂线，最短找对称。
三、考点速查表
四、巩固 12 题
下列说法错误的是（ ）
A．垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，AB=10，PA=7，则 PB = ______。 如图，△ABC 中，DE 是线段 BC 的垂直平分线，交 AC 于 E、交 BC 于 D。若 AB=5，AC=9，则 △ABE 的周长为（ ）
A．14 B．18 C．23 D．9△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D。若 AC=10，DC=4，则 BD = ______。 △ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，∠B=40°，则 ∠ADC = ______°。 △ABC 中，∠A=50°，∠ABC=70°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D、交 BC 于 E，连接 BD，则 ∠BDC = ______°。 △ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D。若 △ABC 的周长为 17，△BCD 的周长为 12，则 AB = ______。 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．等边三角形是锐角三角形 C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D．全等三角形的对应角相等已知：如图，PA=PB，CA=CB。则直线 ______ 是线段 ______ 的垂直平分线。 直线 m 的两侧有小区 A、B，要在 m 上建站点 D，使 D 到 A、B 的距离相等，应作线段 ______ 的垂直平分线，与直线 m 的交点即为 D。 △ABC 中，∠A=60°，∠B=50°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，则 ∠DAC = ______°。 △ABC 中，AB=AC=7，BC=4，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，则 △BCD 的周长为 ______。
五、逐题解析
- D
。垂直平分线必须既垂直又平分，只平分不垂直的直线不是。A、B、C 分别是定义、性质、判定的正确表述。 - 7
。性质定理直接用：中垂线上的点到两端点距离相等 ⇒ PB = PA = 7。 - A
。E 在 BC 中垂线上 ⇒ EB=EC ⇒ 周长 = AB+AE+EB = AB+AE+EC = AB+AC = 5+9 = 14。 - 6
。D 在 AB 中垂线上 ⇒ AD=BD；AD = AC−DC = 10−4 = 6 ⇒ BD = 6。 - 80
。DA=DB ⇒ ∠DAB=∠B=40°；∠ADC 是 △ABD 的外角 ⇒ 40°+40° = 80°。 - 100
。∠C = 180°−50°−70° = 60°；DA=DB ⇒ ∠DAB=∠DBA=∠A=50° ⇒ ∠DBC = ∠ABC−∠DBA = 70°−50° = 20° ⇒ ∠BDC = 180°−20°−60° = 100°（也可用外角：∠BDC = ∠A + ∠DBA = 50°+50° = 100°）。 - 5
。△BCD 周长 = BD+DC+BC = AD+DC+BC = AC+BC = 12；△ABC 周长 = AB+AC+BC = 17 ⇒ AB = 17−12 = 5。两个周长一减，AB 直接现形。 - A
。A 的逆命题"两直线平行，同旁内角互补"是真命题 ✓。B 的逆命题"锐角三角形是等边三角形"假；C 的逆命题"平方相等则相等"假（反例 ±2）；D 的逆命题"对应角相等则全等"假（大小不同的等边三角形）。 - 直线 PC；线段 AB
。PA=PB ⇒ P 在 AB 中垂线上；CA=CB ⇒ C 也在 AB 中垂线上；两点确定一条直线 ⇒ 直线 PC 垂直平分 AB。 - AB
。到 A、B 等距的点在 AB 的垂直平分线上 ⇒ 作 AB 的垂直平分线交 m 于 D。 - 10°
。D 在 AB 中垂线上 ⇒ DA=DB ⇒ ∠DAB=∠B=50° ⇒ ∠DAC = ∠A−∠DAB = 60°−50° = 10°。 - 11
。D 在 AB 中垂线上 ⇒ AD=BD ⇒ △BCD 周长 = BD+DC+BC = AD+DC+BC = AC+BC = 7+4 = 11。
🧠 方法速记卡
① 定义双条件：垂直 + 平分，缺一不可；作图半径"大于一半"；
② 性质：线上点 ⇒ PA=PB，作用是"搬线段、拉直折线"；
③ 判定：等距点在线上；凑够两个等距点才能说整条直线是中垂线；
④ 角度套路：中垂线 ⇒ 等腰 ⇒ 两底角相等 ⇒ 外角/内角和收尾；
⑤ 周长套路：换边合并，△BCD 周长 = AC+BC 型"两边和"；两个周长相减可反求第三边；
⑥ 互逆命题：题设结论对调后要重新判真假，逆命题为真才叫逆定理。
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后续预告 不只这一讲，后面还有一整套
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