2027 中考数学 · 压轴题每日一题 第 5 题 距离 + 加权线段和
2027 中考数学 · 压轴题每日一题 第 5 题 距离 + 加权线段和
请点击上方卡片关注我 点到直线的距离 ＋ 平行线族 ＋「平方去根号」的配方 九年级 ｜ 建议用时 35 分钟 ｜ 难度 ★★★★☆ 这道题把两件不相干的事结合到一起。
第（2）问是「距离」：动点到一条定直线的距离等于定值，求动点的横坐标。第（3）问是「加权和」：一条线段加上另一条线段的 √5/2 倍，求最小值。两问之间没有推理上的依赖，考的是两种不同的手感。
第（2）问看着要解绝对值方程，其实 真正的做法是画两条平行线 ——距离这个东西，本质上就是「平移多少」。
第（3）问更容易被绕进去：系数 √5/2 比 1 大，套不上「胡不归」的标准模型（那个模型要求系数小于 1）。但这题有个更朴素的门， 平方一下，就变成一个完全平方式 。
点到直线距离 平行线族 加权线段和 配方
【2026 · 烟台】 如图，直线 y ＝ −x − 6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一个交点为 B。抛物线的对称轴为直线 x ＝ −3/2。 （1）求抛物线的表达式； （2）点 D 在抛物线上，横坐标为 t，若点 D 到直线 AC 的距离为 (3/2)√2，求出所有满足条件的 t 的值； （3）若 H 为抛物线的顶点，P 为对称轴上一点，请直接写出 PH ＋ (√5/2)·PO 的最小值。 图 1 直线 y ＝ −x − 6 过 A（−6，0）、C（0，−6）；抛物线也过这两点，对称轴 x ＝ −3/2，顶点 H（−3/2，−27/4） 初中不要求背点到直线距离公式，但这题绕不开。有个只用到「平行线间距」的算法，考场上三行就能推出来：
直线 AC： x ＋ y ＋ 6 ＝ 0 （由 y ＝ −x − 6 移项）。 与它平行、且距离为 d 的直线，是 x ＋ y ＋ 6 ＝ ±d·√2 。 为什么是 d·√2？因为两条平行线 x ＋ y ＋ c₁ ＝ 0 与 x ＋ y ＋ c₂ ＝ 0 的距离是 ｜c₁ − c₂｜÷ √2 。 反过来，想让距离等于 d，常数项就得错开 d·√2。 这条「常数项错开 d√2」的规则，比公式好记，而且它直接把「距离问题」变成了「平行线问题」——第（2）问就靠它。
求 PA ＋ k·PB 的最小值，中考上有两个模型：
胡不归
长什么样： P 在一条直线上动，A 也在这条线上，0 ＜ k ＜ 1
怎么破： 过 B 作一条与直线夹角为 θ 的线（sinθ ＝ k），把 k·PB 变成「P 到这条线的距离」，再用垂线段最短
系数大于 1
长什么样： k ＞ 1，套不上上面那个模型
怎么破： 设点、平方、凑完全平方 （本题走的就是这条）
判断标准很简单： 先看系数。k ＜ 1 想构造角，k ＞ 1 就老老实实设点配方。 本题 k ＝ √5/2 ≈ 1.12，属于后者，硬套胡不归只会把自己绕晕。 思路点拨：三个条件——过 A、过 C、对称轴已知，正好定三个字母。 解法一（一般式，最稳）
由对称轴 x ＝ −3/2 得 −b ÷ 2a ＝ −3/2，即 b ＝ 3a 。 过 C（0，−6）得 c ＝ −6 。 过 A（−6，0）：36a − 6b ＋ c ＝ 0，代入 b ＝ 3a、c ＝ −6： 36a − 18a − 6 ＝ 0，得 18a ＝ 6， a ＝ 1/3 ，于是 b ＝ 1。 所以 y ＝ ⅓x² ＋ x − 6 。 解法二（先求 B，再用交点式，更快）
A、B 关于对称轴对称，A 的横坐标是 −6，对称轴是 −3/2， 所以 B 的横坐标 ＝ 2 × （−3/2）− （−6）＝ 3 ，即 B（3，0）。 设 y ＝ a（x ＋ 6）（x − 3），代入 C（0，−6）： −6 ＝ a × 6 × （−3）＝ −18a，得 a ＝ 1/3 。 所以 y ＝ ⅓（x ＋ 6）（x − 3）＝ ⅓x² ＋ x − 6 。 顺带得到顶点：y ＝ ⅓（x ＋ 3/2）² − 27/4， H（−3/2，−27/4） 。 解法二多算一步 B，但它顺手把顶点也拿出来了。第（3）问要用的正是这个顶点， 所以实战里我更推荐解法二 。
y ＝ ⅓x² ＋ x − 6 A（−6，0） B（3，0） C（0，−6） H（−3/2，−27/4） 思路点拨：先用零件①把「距离」翻译成两条平行线，再让平行线去和抛物线求交。这一步做完，剩下的只是解方程。 第一步：把距离翻译成平行线
d ＝ (3/2)√2，所以常数项要错开 d·√2 ＝ (3/2)√2 × √2 ＝ 3 。 于是两条平行线是： x ＋ y ＋ 6 ＝ 3，即 x ＋ y ＋ 3 ＝ 0 ； x ＋ y ＋ 6 ＝ −3，即 x ＋ y ＋ 9 ＝ 0 。 第二步：分别与抛物线求交
与 x ＋ y ＋ 3 ＝ 0： 把 y ＝ −x − 3 代入 y ＝ ⅓x² ＋ x − 6： ⅓x² ＋ x − 6 ＝ −x − 3 两边乘 3：x² ＋ 3x − 18 ＝ −3x − 9，即 x² ＋ 6x − 9 ＝ 0。 解得 t ＝ −3 ± 3√2 。 与 x ＋ y ＋ 9 ＝ 0： 把 y ＝ −x − 9 代入： ⅓x² ＋ x − 6 ＝ −x − 9 两边乘 3：x² ＋ 3x − 18 ＝ −3x − 27，即 x² ＋ 6x ＋ 9 ＝ 0 。 （x ＋ 3）² ＝ 0，得 t ＝ −3 。 判别式等于 0，说明这条平行线 与抛物线相切 ，只有一个公共点。 图 2 两条绿色、紫色虚线都与 AC 平行且距离为 (3/2)√2；上面那条交抛物线于两点（D₂、D₃），下面那条恰好与抛物线相切于 D₁ 第三步：写成答案
t ＝ −3，或 t ＝ −3 ＋ 3√2，或 t ＝ −3 − 3√2 （共 3 个） 解法二（直接算距离，和上面互为验算）
D（t，⅓t² ＋ t − 6），代入 x ＋ y ＋ 6 得 t ＋ （⅓t² ＋ t − 6）＋ 6 ＝ ⅓t² ＋ 2t ＝ ⅓（t² ＋ 6t）。 距离 ＝ ｜⅓t² ＋ 2t｜ ÷ √2 ＝ (3/2)√2 ⟹ ｜⅓t² ＋ 2t｜ ＝ 3 ⟹ ｜t² ＋ 6t｜ ＝ 9 。 拆成两个方程：t² ＋ 6t − 9 ＝ 0 与 t² ＋ 6t ＋ 9 ＝ 0。 前者的根是 −3 ± 3√2，后者是二重根 −3。 这里最容易漏： 看到绝对值就只解「＝ 9」一个方程，忘了「＝ −9」。 绝对值方程一定要拆成两个 。本题正好一个给两解、一个给一解，合起来 3 个，少一个都算错。 第（3）问：PH ＋ (√5/2)·PO 的最小值 思路点拨：P 在对称轴上，H 也在对称轴上，所以 PH 是一条 竖直线段 。 设 P 的纵坐标，把两个长度都写成一个字母的式子，剩下的就是求最小值。 第一步：把三个长度写成式子
设 P（−3/2，p），H（−3/2，−27/4），O（0，0）。 PH ＝ ｜p ＋ 27/4｜（竖直距离，直接相减） PO ＝ √（9/4 ＋ p²）（O 到对称轴的水平距离是 3/2） 所以 f（p）＝ ｜p ＋ 27/4｜ ＋ (√5/2)·√（p² ＋ 9/4） 。 图 3 H 是顶点，P 在对称轴上上下滑动；PH 是一段竖直线，PO 是一条斜线，两者的「配比」是 1 : √5/2 第二步：先判断 P 在 H 的哪一侧
P 在 H 下方（p ＜ −27/4）时，P 越往下，PH 和 PO 同时变大，显然不是最小。严格一点写：
p ＜ −27/4 时，PH ＝ −27/4 − p， 且 PO ＝ √（p² ＋ 9/4）＞ ｜p｜ ＝ −p， 所以 f ＞ (√5/2)(−p) − p − 27/4 ＝ −p·（√5/2 ＋ 1）− 27/4 ≥ (27/4)（√5/2 ＋ 1）− 27/4 ＝ 27√5/8 ≈ 7.55 ＞ 7.5。 所以最小值一定出现在 P 在 H 上方（p ≥ −27/4）的时候。 第三步：p ≥ −27/4 时，平方去根号
此时 PH ＝ p ＋ 27/4， f ＝ p ＋ 27/4 ＋ (√5/2)√（p² ＋ 9/4）。 要证 f ≥ 15/2，等价于证 (√5/2)√（p² ＋ 9/4）≥ 15/2 − 27/4 − p ＝ 3/4 − p 。 情形一：p ≤ 3/4 。此时右边非负，两边平方： (5/4)（p² ＋ 9/4）≥ （3/4 − p）² 5p²/4 ＋ 45/16 ≥ p² − 3p/2 ＋ 9/16 p²/4 ＋ 3p/2 ＋ 9/4 ≥ 0 (p ＋ 3)² ÷ 4 ≥ 0 ，恒成立，等号在 p ＝ −3 。 情形二：p ＞ 3/4 。此时 f ≥ p ＋ 27/4 ＞ 3/4 ＋ 27/4 ＝ 15/2， 严格大于，不可能取到最小。 所以当 p ＝ −3 时取到最小值： PH ＝ 27/4 − 3 ＝ 15/4，PO ＝ √（9/4 ＋ 9）＝ 3√5/2， f ＝ 15/4 ＋ (√5/2)(3√5/2) ＝ 15/4 ＋ 15/4 ＝ 15/2 。 PH ＋ (√5/2)·PO 的最小值为 15/2 ，此时 P（−3/2，−3） 。 解法二（设角，不用平方）
设 PO 与对称轴的夹角为 γ（0 ＜ γ ＜ 90°）。 因为 O 到对称轴的水平距离恒为 3/2，所以 sinγ ＝ (3/2) ÷ PO，即 PO ＝ (3/2) ÷ sinγ ； P 在 O 下方，PA 方向的竖直距离是 (3/2)cotγ， 所以 PH ＝ 27/4 − (3/2)·cotγ 。 代入：f ＝ 27/4 ＋ (3/2)·（√5/2 − cosγ）÷ sinγ。 只要证明 （√5/2 − cosγ）÷ sinγ ≥ 1/2，即 √5 ≥ sinγ ＋ 2cosγ 。 设 tanγ ＝ m ＞ 0，则 sinγ ＝ m ÷ √(1＋m²)，cosγ ＝ 1 ÷ √(1＋m²)， 不等式变成 √5·√(1＋m²) ≥ m ＋ 2，两边平方： 5（1 ＋ m²）≥ m² ＋ 4m ＋ 4，即 4m² − 4m ＋ 1 ≥ 0 ， 也就是 (2m − 1)² ≥ 0 ，恒成立，等号 m ＝ 1/2。 所以 f ≥ 27/4 ＋ (3/2)(1/2) ＝ 15/2 ，等号 tanγ ＝ 1/2， 此时 PO ＝ (3/2)÷(1/√5) ＝ 3√5/2，P（−3/2，−3）。 两种解法都在同一个地方收口： 一个完全平方式 。第一种是 (p＋3)²，第二种是 (2m−1)²，本质上是同一件事的两种讲法。
（1）求表达式
解法： 一般式 ＋ 对称轴
核心动作： b ＝ 3a，再代两点
什么时候用： 最稳，不会想岔
（1）求表达式
解法： 先求 B，再用交点式
核心动作： A、B 关于对称轴对称
什么时候用： 顺手拿到顶点，本题推荐
（2）求 t
解法： 平行线法
核心动作： 常数项错开 d√2
什么时候用： 能一眼看出「有一个解是切点」
（2）求 t
解法： 距离公式 ＋ 绝对值
核心动作： ｜t² ＋ 6t｜ ＝ 9
什么时候用： 验算用，不易漏解
（3）求最小值
解法： 设点 ＋ 平方 ＋ 配方
核心动作： (p ＋ 3)² ≥ 0
什么时候用： 系数大于 1 时的通法
（3）求最小值
解法： 设角 ＋ 平方
核心动作： (2tanγ − 1)² ≥ 0
什么时候用： 想看出几何意义时用
「抛物线 ＋ 一条直线 ＋ 距离或加权和」，无论怎么变，都是这三步：
① 定解析式 ：抓「过点」和「对称轴」，能先求另一个交点就先求 ② 翻距离 ：距离 d ⟹ 平行线，常数项错开 d·√（1 ＋ k²） ③ 收最值 ：设点成单变量，平方去根号，凑完全平方式 对称轴 x ＝ −3/2
翻译成什么： b ＝ 3a
用什么工具： 对称轴公式
A、B 关于对称轴对称
翻译成什么： x B ＝ 2 × （−3/2）− x A
用什么工具： 中点坐标
到 AC 的距离为 d
翻译成什么： 两条平行线 x ＋ y ＋ 6 ＝ ±d√2
用什么工具： 平行线间距
PH ＋ k·PO 最小
翻译成什么： 单变量函数求最小值
用什么工具： 设点 ＋ 配方
k ＞ 1
翻译成什么： 不是胡不归，别硬套
用什么工具： 平方 ＋ 完全平方
第②步是这题的分水岭。很多人一看到「距离」就去背公式，其实 距离就是平移 ——平移到相切、平移出两个交点，几何图景一下就清楚了。
绝对值只解一半
错解： 只解 t² ＋ 6t ＝ 9
正解： 拆成 ＝ 9 和 ＝ −9，共 3 个解
平行线常数算错
错解： 写成 x ＋ y ＋ 6 ＝ ±(3/2)√2
正解： 常数项错开 d√2 ＝ 3，即 c ＝ 3 或 9
对称轴用错符号
错解： 写成 b ＝ −3a
正解： −b ÷ 2a ＝ −3/2 ⟹ b ＝ 3a
硬套胡不归
错解： 给 √5/2 找一个 sinθ，找不到
正解： 系数大于 1 时改走「设点 ＋ 配方」
忽略 P 可能在 H 下方
错解： 直接用 PH ＝ p ＋ 27/4
正解： 先说明最小值在 P 在 H 上方时取得
平方后忘记检验
错解： 直接平方，引入增根
正解： 平方前先确认两边非负（本题分了 p ≤ 3/4）
第一题换了直线上移 2 个单位，对称轴也变了，但三个动作一个没变；第二题把抛物线换成过 A、C 的另一条，第（2）问会多出一个解——正好检验你是不是真的在解绝对值。
同类题 1（换直线、换对称轴） 直线 y ＝ −x − 4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C。抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 经过 A、C 两点，对称轴为直线 x ＝ −1。 （1）求抛物线的表达式； （2）点 D 在抛物线上，横坐标为 t，若点 D 到直线 AC 的距离为 (3/2)√2，求所有满足条件的 t 的值； （3）若 H 为抛物线的顶点，P 为对称轴上一点，求 PH ＋ (√5/2)·PO 的最小值。 同类题 2（换抛物线，第（2）问四个解） 直线 y ＝ −x − 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C。抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 经过 A、C 两点，对称轴为直线 x ＝ −1。 （1）求抛物线的表达式； （2）点 D 在抛物线上，横坐标为 t，若点 D 到直线 AC 的距离为 √2，求所有满足条件的 t 的值； （3）若 H 为抛物线的顶点，P 为对称轴上一点，求 PH ＋ (√5/2)·PO 的最小值。 本题答案
（1） y ＝ ⅓x² ＋ x − 6 ，B（3，0）， H（−3/2，−27/4）。 （2） t ＝ −3，或 t ＝ −3 ＋ 3√2，或 t ＝ −3 − 3√2 。 （3）最小值 15/2 ，此时 P（−3/2，−3）。 同类题 1
（1）由对称轴 x ＝ −1 得 b ＝ 2a；过 C（0，−4）得 c ＝ −4； 过 A（−4，0）：16a − 8a − 4 ＝ 0，得 a ＝ 1/2，b ＝ 1。 所以 y ＝ ½x² ＋ x − 4 ，即 y ＝ ½（x ＋ 1）² − 9/2， H（−1，−9/2） ， B（2，0）。 （2）AC：x ＋ y ＋ 4 ＝ 0。距离 d ＝ (3/2)√2 ⟹ 常数项错开 3 ⟹ 平行线 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0、x ＋ y ＋ 7 ＝ 0。 与 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0： ½x² ＋ x − 4 ＝ −x − 1 ⟹ x² ＋ 4x − 6 ＝ 0 ⟹ t ＝ −2 ± √10 ； 与 x ＋ y ＋ 7 ＝ 0： ½x² ＋ x − 4 ＝ −x − 7 ⟹ x² ＋ 4x ＋ 6 ＝ 0，Δ ＝ 16 − 24 ＜ 0， 无解 。 所以 t ＝ −2 ＋ √10 或 t ＝ −2 − √10 （共 2 个）。 （3）设 P（−1，p）。PH ＝ ｜p ＋ 9/2｜， PO ＝ √（1 ＋ p²）。 p ≥ −9/2 时，f ＝ p ＋ 9/2 ＋ (√5/2)√（1 ＋ p²）。 证 f ≥ 5 ⟺ (√5/2)√（1 ＋ p²）≥ 1/2 − p； p ≤ 1/2 时平方得 (5/4)(1 ＋ p²) ≥ 1/4 − p ＋ p²，即 p²/4 ＋ p ＋ 1 ≥ 0， 即 (p ＋ 2)² ÷ 4 ≥ 0 ✓； p ＞ 1/2 时 f ＞ 5。 等号 p ＝ −2 ，此时 PH ＝ 5/2，PO ＝ √5， f ＝ 5/2 ＋ (√5/2)·√5 ＝ 5 。 所以最小值 5 ，P（−1，−2）。 同类题 2
（1）由对称轴 x ＝ −1 得 b ＝ 2a；过 C（0，−3） 得 c ＝ −3； 过 A（−3，0）：9a − 6a − 3 ＝ 0，得 a ＝ 1，b ＝ 2。 所以 y ＝ x² ＋ 2x − 3 ，即 y ＝ （x ＋ 1）² − 4， H（−1，−4） ，B（1，0）。 （2）AC：x ＋ y ＋ 3 ＝ 0。距离 d ＝ √2 ⟹ 常数项错开 2 ⟹ 平行线 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0、x ＋ y ＋ 5 ＝ 0。 与 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0： x² ＋ 2x − 3 ＝ −x − 1 ⟹ x² ＋ 3x − 2 ＝ 0 ⟹ t ＝ （−3 ± √17）÷ 2 ； 与 x ＋ y ＋ 5 ＝ 0： x² ＋ 2x − 3 ＝ −x − 5 ⟹ x² ＋ 3x ＋ 2 ＝ 0 ⟹ t ＝ −1 或 −2 。 所以 t ＝ （−3 ＋ √17）÷ 2、或 （−3 − √17）÷ 2、或 −1、 或 −2 （共 4 个）。 （3）设 P（−1，p）。PH ＝ ｜p ＋ 4｜， PO ＝ √（1 ＋ p²）。 p ≥ −4 时，f ＝ p ＋ 4 ＋ (√5/2)√（1 ＋ p²）。 证 f ≥ 9/2 ⟺ (√5/2)√（1 ＋ p²）≥ 1/2 − p； p ≤ 1/2 时平方得 (5/4)(1 ＋ p²) ≥ 1/4 − p ＋ p²， 即 (p ＋ 2)² ÷ 4 ≥ 0 ✓； p ＞ 1/2 时 f ＞ 9/2。 等号 p ＝ −2 ，此时 PH ＝ 2，PO ＝ √5， f ＝ 2 ＋ (√5/2)·√5 ＝ 9/2 。 所以最小值 9/2 ，P（−1，−2）。 写在最后 这道题最值得带走的不是 15/2 这个数，而是两句话。 第一句：距离就是平移。 「到直线的距离等于 d」在代数上是一个绝对值方程，在几何上是「两条平行线」。会看图的人先画线，再解方程；只会算的人容易漏掉「＝ −9」那一支。 第二句：系数大于 1，别硬套模型。 胡不归是很好用，但它只管 0 ＜ k ＜ 1 的那一段。系数一旦超过 1，最可靠的路永远是 设点、平方、凑完全平方 ——看着笨，但从不失手。 明天第 6 题：抛物线与圆联手——这次不是「直径对直角」那种圆，而是圆与抛物线的交点个数问题，答案会随着参数变化而「跳变」，正好练一次「按参数讨论」。 觉得有用，点个「赞」和「在看」，明天继续
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